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Curso : 2019/2020

432 - Programa conjunto en ADE/DERECHO (Grados)

30602 - Matemáticas I


Información del Plan Docente

Año académico:
2019/20
Asignatura:
30602 - Matemáticas I
Centro académico:
109 - Facultad de Economía y Empresa
Titulación:
432 - Programa conjunto en ADE/DERECHO (Grados)
Créditos:
6.0
Curso:
1
Periodo de impartición:
Primer semestre
Clase de asignatura:
Formación básica
Materia:
Matemáticas

1.Información Básica

1.1.Objetivos de la asignatura

Objetivos:

 

Los objetivos de carácter general de la enseñanza de las Matemáticas en este grado pueden englobarse en dos: (1) Formación matemática del estudiante, (2) Capacitación para la utilización de las matemáticas en los problemas que se le planteen en su futura profesión.

 

En la asignatura Matemáticas I se inicia al estudiante en el rigor, la precisión, la capacidad de abstracción y el método científico que caracterizan a la mayor parte de las asignaturas del grado. En cuanto al segundo objetivo, capacitación del estudiante para la resolución de problemas concretos, en esta asignatura se prepara al estudiante para la modelización y resolución de problemas sencillos utilizando técnicas el álgebra lineal y de cálculo diferencial e integral.

En concreto, la asignatura Matemáticas I tiene como objetivo ampliar los conocimientos matemáticos relativos al cálculo matricial y funciones de una variable e introducir el estudio de funciones de varias variables, preparando así al estudiante para asimilar en Matemáticas II las herramientas matemáticas más utilizadas en el análisis económico, fundamentalmente en el campo de la Teoría Económica y de la Econometría. Esta primera asignatura ayuda al estudiante a despegar de sus conocimientos fundamentalmente calculísticos, propios de las matemáticas en enseñanzas medias, hacia el rigor y la abstracción propios del campo científico de la Matemática, lo que le permitirá enfrentarse a otras asignaturas del grado que utilicen aparato matemático y a futuros retos dentro de su profesión. Al finalizar la asignatura el estudiante conocerá con cierta precisión el lenguaje matemático, que le permitirá entender conceptos económicos e interpretar resultados con cierto rigor, y conocerá un conjunto de instrumentos y métodos de cálculo que le permitirán la resolución de problemas económicos sencillos.

 

 

 

1.2.Contexto y sentido de la asignatura en la titulación

La asignatura Matemáticas I es una asignatura de formación básica de 6 créditos, ubicada en el primer semestre del primer curso; pertenece al Módulo 1 "Entorno de Economía y Empresa", y forma parte de la Materia 5 "Instrumentos".

La docencia de esta materia está adscrita al departamento de Análisis Económico de la Universidad de Zaragoza que tiene además responsabilidad docente en otras materias estrechamente relacionadas con la Matemática, como son: Microeconomía, Macroeconomía y Econometría.

El objetivo general de estas materias es estudiar los problemas económicos desde un punto de vista formal, es decir, modelar la realidad económica para poder entenderla y dar una explicación científica de lo que ha ocurrido así como intentar predecir lo que va a ocurrir. En este marco, para poder alcanzar este objetivo, las matemáticas proporcionan.

  • Un lenguaje sin ambigüedad que permita definir conceptos económicos y resultados económicos con el rigor necesario.
  • Un conjunto de instrumentos y métodos de cálculo que faciliten la resolución de problemas económicos.
  • Un método de razonamiento que permita estructurar los enunciados y sus interrelaciones, precisando los supuestos iniciales y dando validez a las conclusiones obtenidas a partir de éstos por deducción.

Las asignaturas de matemáticas son, para los futuros graduados en Administración y Dirección de Empresas, un instrumento metodológico de trabajo que debe servir de apoyo a otras asignaturas, como Microeconomía, Macroeconomía, Econometría, etc. Se pondrá un empeño especial en acercar las matemáticas a los problemas de carácter empresarial, y se proporcionarán los fundamentos para que el resto de materias puedan desarrollarse con éxito.

 

En este primer curso se abordarán los elementos constitutivos de un modelo: variables, constantes, parámetros, ecuaciones, identidades, dominios, tipos de funciones; sistemas de ecuaciones lineales y su resolución mediante técnicas de álgebra lineal. En la segunda parte de la asignatura se introduce el análisis estático-comparativo con el estudio del cálculo tanto en una variable como en varias, que se aplicará más adelante (en Matemáticas II y Microeconomía) en la resolución de problemas de optimización.

1.3.Recomendaciones para cursar la asignatura

Es aconsejable que al inicio de esta asignatura los estudiantes tengan destreza en el manejo de operaciones aritméticas, de matrices y de funciones reales de una variable real, a nivel de los conocimientos adquiridos en la asignatura de Bachillerato Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Más concretamente, facilitará notablemente la comprensión de esta asignatura que los estudiantes hayan adquirido habilidad en:

  • Cálculo operacional.
  • Cálculo de raíces de polinomios con coeficientes reales.
  • La resolución de sistemas de ecuaciones no lineales de dos variables.
  • Operaciones con matrices.
  • Operaciones elementales de matrices aplicadas al cálculo de rangos y a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales.
  • Operaciones con funciones; en este sentido sería aconsejable además que el estudiante pudiera establecer con claridad la diferencia entre composición y producto de funciones y que para una función real de una variable real distinguiera entre afirmaciones del tipo “estar definida” y “ser continua” ...
  • La derivación de un amplio abanico de funciones y la representación gráfica de las mismas.
  • Cálculo de algunas primitivas elementales.

2.Competencias y resultados de aprendizaje

2.1.Competencias

Al superar la asignatura, el estudiante será más competente para...

Competencias

Al superar la asignatura el estudiante será más competente para:

          1.         La resolución de problemas.

          2.         El análisis y síntesis.

          3.         Tomar decisiones.

          4.         Aplicar los conocimientos en la práctica.

 

Importancia de los resultados de aprendizaje 

 

Las técnicas del Algebra Lineal permiten estudiar tanto sencillos modelos de equilibrio económico como teorías más sofisticadas relacionadas con el análisis intersectorial de una economía (modelos input-output). El Cálculo Diferencial en una y en varias variables permite introducir el enfoque marginalista en la economía. En este contexto, conceptos como los de función y relaciones funcionales (variable(s) exógena(s) y variables endógena(s)), elasticidad, productividad marginal, relación marginal de sustitución, rendimientos a escala,...etc., que van a formar parte de la jerga habitual del estudiante, se fundamentan gracias al cálculo (en especial, al cálculo diferencial). El Cálculo Integral permite también definir medidas del bienestar (como el excedente del consumidor) y es útil para el análisis de modelos financieros.

 

En resumen, la asignatura Matemáticas I, favorece la comprensión de conceptos y modelos teóricos que se estudian en otras disciplinas afines con las que el estudiante se va a encontrar a lo largo del grado.

 

 

 

2.2.Resultados de aprendizaje

El estudiante, para superar esta asignatura, deberá demostrar los siguientes resultados...

1: Ha adquirido cierta destreza en el uso del lenguaje matemático, tanto en su comprensión como en su escritura.

2: Distingue cuándo las relaciones entre las variables de un problema son lineales o no lineales y utiliza para su representación el instrumento matemático adecuado en cada caso.

3: Utiliza la notación y el cálculo matricial para representar y resolver un problema de carácter económico en el que las relaciones entre las variables son lineales.

4: Resuelve un sistema de ecuaciones lineales compatible utilizando el método más adecuado e interpreta sus soluciones en el contexto del que provenga si es el caso.

5: Identifica una matriz cuadrada diagonalizable.

6: Diagonaliza una matriz cuadrada cuando esto sea posible.

7: Aplica la diagonalización de matrices cuadradas en el contexto económico, por ejemplo en el estudio de un proceso dinámico a largo plazo.

8: Identifica una forma cuadrática y es capaz de determinar su signo con el procedimiento más adecuado.

9: Diferencia en un fenómeno económico las variables endógenas y exógenas y es capaz de representar mediante funciones las relaciones entre ellas.

10: Comprende el significado de los conceptos matemáticos de continuidad y diferenciabilidad en el contexto económico.

11: Tiene destreza en el cálculo de derivadas parciales y en su interpretación en el ámbito económico.

12: Reconoce la dependencia en cadena de diferentes variables y es capaz de calcular la variación de las variables finales respecto a cualquiera de las iniciales.

13: Reconoce si una función está dada en forma explícita o implícita y es capaz de obtener las derivadas parciales en cualquier caso.

14: Reconoce cuando una función es homogénea y las implicaciones de esta propiedad, en particular en el contexto de las funciones de producción.

15: Reconoce la herramienta matemática que permite determinar una magnitud total a partir de la correspondiente parcial

16: Comprende los conceptos de primitiva de una función e integral indefinida.

17: Reconoce si la integral indefinida de una función es inmediata y la resuelve con la aplicación de la tabla de integrales inmediatas. Identifica el método más adecuado para calcular la integral indefinida de una función.

18: Comprende el significado geométrico de la integral definida: integral de Riemann.

19: Aplica la regla de Barrow para el cálculo de la integral definida.

2.3.Importancia de los resultados de aprendizaje

Las técnicas del Algebra Lineal permiten estudiar tanto sencillos modelos de equilibrio económico como teorías más sofisticadas relacionadas con el análisis intersectorial de una economía (modelos input-output). El Cálculo Diferencial en una y en varias variables permite introducir el enfoque marginalista en la economía. En este contexto, conceptos como los de función y relaciones funcionales (variable(s) exógena(s) y variables endógena(s)), elasticidad, productividad marginal, relación marginal de sustitución, rendimientos a escala,...etc., que van a formar parte de la jerga habitual del estudiante, se fundamentan gracias al cálculo (en especial, al cálculo diferencial). El Cálculo Integral permite también definir medidas del bienestar (como el excedente del consumidor) y es útil para el análisis de modelos financieros.

En resumen, la asignatura Matemáticas I, favorece la comprensión de conceptos y modelos teóricos que se estudian en otras disciplinas afines con las que el estudiante se va a encontrar a lo largo del grado.

3.Evaluación

3.1.Tipo de pruebas y su valor sobre la nota final y criterios de evaluación para cada prueba

  1. La evaluación será GLOBAL, tanto en primera como en segunda convocatoria, y consistirá en un examen final a realizar en el periodo establecido por el Centro. Dicho examen se realizará de forma escrita y evaluará los resultados de aprendizaje propuestos mediante preguntas teóricas, prácticas y/o teórico-prácticas que se ajustarán a la materia impartida. Se puntuará sobre 10 puntos.

    Además, en la PRIMERA CONVOCATORIA de la asignatura se realizará una prueba voluntaria intermedia valorada en 5 puntos. Esta prueba evaluará los conocimientos sobre la materia correspondiente a los temas 1 y 2 del programa de la asignatura y se llevará a cabo en la fecha y lugar que el profesor, con suficiente antelación, indique en el aula y/o plataformas docentes del profesorado.

    Los estudiantes que obtengan en dicha prueba una calificación superior o igual al 50% de la nota (2,5 puntos sobre 5) podrán optar por eliminar dicha materia del examen global de la primera convocatoria y examinarse únicamente de los restantes contenidos (valorados en 5 puntos); en este caso la nota correspondiente a la materia eliminada será traspasada a la nota del examen global. Para superar la asignatura el estudiante debe obtener un mínimo de 5 puntos sobre 10. Si el o la estudiante obtuviera una calificación superior o igual al 50% de la nota (2,5 puntos sobre 5) y quisiera realizar la totalidad de la prueba global, se le considerará la mejor de las dos calificaciones en la primera parte para calcular la nota total.

    Para poder optar a esta forma de evaluación es obligatorio participar activamente y resolver las cuestiones, ejercicios y pruebas que se realizarán en las clases presenciales, según las indicaciones que el profesor responsable de cada grupo de la asignatura expondrá el día de la presentación de la misma. En tal caso es necesario asistir y participar en al menos el 75% de las sesiones presenciales y/o de actividades propuestas. El estudiante que al final del semestre no cumpla con este requisito no podrá optar a este procedimiento de evaluación.

    Debe tenerse en cuenta que los cursos académicos cierran los procesos de evaluación, lo que hace que no puedan reclamarse méritos de un año para evaluaciones de años académicos posteriores.

    La evaluación de los estudiantes de 5ª y 6ª convocatoria se realizará según el acuerdo del 22 de diciembre de 2010 del Consejo de Gobierno en el que se aprueba el Reglamento de Normas de Evaluación del Aprendizaje de la Universidad de Zaragoza.

    Criterios de valoración

    Se evaluará si el estudiante ha adquirido los resultados de aprendizaje expuestos anteriormente. En particular se valorarán los siguientes aspectos:

        1. El uso correcto de la escritura del lenguaje matemático.
        2. El razonamiento lógico en el planteamiento y en la resolución de los problemas.
        3. La referencia al contenido teórico que se utiliza, si es destacable.
        4. La elección del método adecuado para la resolución del problema
        5. La claridad en la aplicación de los conceptos y procedimientos matemáticos.
        6. Cálculos llevados a cabo con cuidado.
        7. La expresión correcta en los resultados obtenidos al resolver problemas.

     


     

4.Metodología, actividades de aprendizaje, programa y recursos

4.1.Presentación metodológica general

 

Con esta asignatura se persigue que el estudiante desarrolle la capacidad analítica, el rigor y la intuición en el uso de los conceptos y resultados matemáticos y los sepa aplicar al análisis de problemas de índole económico. Es por esto que la formación del estudiante debe ir orientada en la dirección de dotarle de unos sólidos conocimientos matemáticos e inculcarle una sistemática en el razonamiento que posteriormente le permita encarar con éxito la solución de un amplio abanico de problemas en el contexto económico.

4.2.Actividades de aprendizaje

 

 

Clases teóricas, en las que se combinará la clase magistral para exponer los conceptos y resultados de los contenidos de la asignatura con la resolución participativa de ejercicios, en los que se aplicará de forma inmediata los aspectos teóricos explicados para ayudar a los estudiantes a asimilarlos. Estas clases serán presenciales y se impartirán a todo el grupo.

Cuantificación temporal: 1,2 créditos ECTS (30 horas).

Clases prácticas, en las que los estudiantes irán resolviendo, con la ayuda del profesor, ejercicios más completos y problemas de carácter económico en los que se apliquen los resultados matemáticos vistos. Estos ejercicios y problemas estarán en las hojas de problemas de la asignatura (http://dae.unizar.es/docencia/grade/mate1/mate1.html) y se anunciará con antelación cuáles se van a resolver en cada clase práctica para que el estudiante los pueda preparar. Estas clases serán presenciales y se impartirán a la mitad del grupo.

Cuantificación temporal: 1,2 créditos ECTS (30 horas).

Seminarios (prácticas tipo P6) en los que, para mejorar el proceso de aprendizaje, se podrán realizar diversas actividades: seguimiento del desarrollo de pequeños trabajos que se habrán propuesto a un grupo de estudiantes y defensa del mismo; tutorías colectivas de determinados temas; desarrollo de problemas de carácter económico en cuya resolución se utilicen herramientas matemáticas explicadas en la asignatura. Estos seminarios podrían dedicarse además a la ampliación de conocimientos mostrando a los estudiantes que estén interesados otras herramientas matemáticas que permitan resolver problemas más generales. Se pone así de manifiesto que tanto la Ciencia Matemática como la Ciencia Económica son ciencias vivas y por tanto con muchos aspectos para estudiar.

 

Cuantificación temporal: (Pendiente de acuerdo de Consejo de Departamento) el profesor dispondrá de unas horas para esta actividad en el Campus Paraiso (Zaragoza), 4 horas en el Campus de Huesca y 0 horas en el Campus de Teruel.

 

Actividades no presenciales: 3,6 créditos.

 

 

4.3.Programa

CONTENIDOS DE LA ASIGNATURA:

 

Preliminares: Determinantes. Aplicaciones: cálculo del rango de una matriz, cálculo de la matriz inversa y Regla de Cramer

Tema 1. Matrices

1.1. Determinantes. Aplicaciones: cálculo del rango de una matriz, cálculo de la matriz inversa y Regla de Cramer.

1.2. Rn: Sistemas generadores. Bases.

1.3. Diagonalización de matrices cuadradas:

       1.3.1. Valores propios y vectores propios de una matriz cuadrada: definición y cálculo.

       1.3.2. Diagonalización de una matriz cuadrada.

       1.3.3. Aplicación al cálculo de potencias de matrices.

Tema 2. Formas cuadráticas reales

2.1. Formas cuadráticas: definición. Expresión matricial y expresión polinómica.

2.2. Expresión diagonal de una forma cuadrática.

2.3. Clasificación de una forma cuadrática según su signo.

2.4. Formas cuadráticas restringidas.

Tema 3. Funciones de  en

3.1. Preliminares: conceptos topológicos.

3.2. Funciones: dominio, rango y grafo. Conjuntos de nivel de funciones escalares.

3.3. Continuidad de una función.

3.4. Derivación de una función. Derivadas parciales. Vector gradiente. Matriz jacobiana.

3.5. Función diferenciable. Derivada direccional de funciones diferenciables.

3.6. Derivación de funciones compuestas: Regla de la cadena. Diagramas de árbol.

3.7. Derivadas de orden superior. Teorema de Schwartz. Matriz hessiana. Teorema de Taylor.

3.8. Teorema de la función implícita. Derivación de funciones implícitas.

3.9. Funciones homogéneas. Teorema de Euler.

3.10. Métodos básicos de integración de una función de una variable. Regla de Barrow.

 

 

 

4.4.Planificación de las actividades de aprendizaje y calendario de fechas clave

Calendario de sesiones presenciales y presentación de trabajos

El día de la presentación de la asignatura se expondrá, en cada grupo, el calendario detallado de la asignatura según las características del curso académico.

 

-          Presentación de la asignatura en la primera sesión de clase

-          Asistencia y aprovechamiento continuado a las clases teóricas y prácticas.

-          Asistencia a las prácticas P6 (según calendario del grupo).

-          Realización, según calendario indicado el día de la presentación de la asignatura, de pruebas intermedias de evaluación.

-          Prueba global según calendario de los Centros.

4.5.Bibliografía y recursos recomendados


Curso : 2019/2020

432 - Joint Law - Business Administration and Management Programme

30602 - Mathematics I


Información del Plan Docente

Academic Year:
2019/20
Subject:
30602 - Mathematics I
Faculty / School:
109 -
Degree:
432 - Joint Law - Business Administration and Management Programme
ECTS:
6.0
Year:
1
Semester:
First semester
Subject Type:
Basic Education
Module:
---

1.General information

1.1.Aims of the course

The general objectives of the mathematical subjects in this Degree are included in the following two main goals: (1) Mathematical education, (2) Training to apply Mathematics to the challenges that the students will encounter in their careers.

 

In the subject Mathematics I, students are introduced to the rigour, the precision, the capacity for abstraction and the scientific method that characterise most of the subjects in the Degree. Regarding the second goal -to train the students to solve specific problems-, in this subject, the students are taught to model and solve simple problems by using techniques of linear algebra and differential and integral calculus.

 

In particular, the course Mathematics I is intended to extend mathematical knowledge of the matrix calculation and functions of one variable and introducing the study of functions of several variables, thus preparing the student to assimilate in Mathematics II mathematical tools used in economic analysis, mainly in the field of economic theory and Econometrics. This first course helps the students to take off their knowledge of mainly operational tools of mathematics in high school, to the rigor and abstraction of the scientific field of mathematics, allowing them to deal with other subjects of the degree that use mathematical apparatus and future challenges within their profession. At the end of the course the student will know with some precision the mathematical language, which will allow the students to understand economic concepts and interpret results with some rigor, and meet a set of instruments and methods that will allow them the resolution of simple economic problems.

1.2.Context and importance of this course in the degree

For prospective graduates in Business Administration and Management, Mathematics is a working tool that aids the learning of other subjects such as Microeconomics, Macroeconomics and Econometrics. Special attention will be paid to bringing Mathematics closer to problems in a Management scenario, and a basis for the successful learning of other subjects in the Degree will be established.

 

The teaching of this subject is given by the Department of Economic Analysis of Zaragoza University that moreover takes charge of other closely related subjects to Mathematics, like Microeconomics, Macroeconomics and Econometrics.

The general aim of these subjects is to study the economic problems from a formal point of view, that is to say, to model the economic reality in order to understand it, and to provide  a scientific explanation of what happened and also to try to predict what is going to happen. In this framework, in order to achieve this goal, Mathematics provide

 

  • A language without ambiguity that allows defining economic concepts and economic results with the necessary rigour.
  • A set of instruments and calculus methods that ease the solving of economic problems.
  • A method of reasoning that allows modeling the economic texts and their interrelations, making precise the initial assumptions and providing validity to the obtained conclusions by deduction.

This subject of the first semester deals with the fundamental parts of a model: variables, constants, parameters, equations, identities, domains, types of functions, solving systems of linear equations by means of linear-algebra techniques, etc. In the second part of the subject, Comparative Statics Analysis will be introduced with the study of calculus, both with one and several variables. This topic will be applied later on (in Mathematics II and Microeconomics) to solve optimization problems.

1.3.Recommendations to take this course

Students should have the level of skills required by the subject “Mathematics Applied to Social Sciences II” (Spanish Secondary Education) in arithmetic operations, matrix theory, and calculus of real-valued functions of one real-valued variable. A good command of the following topics will significantly facilitate the comprehension of this subject:

 

  • Basic operations with fractions, powers, roots, logarithms, etc.
  • Calculation of the roots of a polynomial with real coefficients.
  • Solving a system of non-linear equations with two unknowns.
  • Matrix operations.
  • Working out the rank of a matrix and the solution of a system of linear equations by way of elementary matrix operations.
  • Operations with functions. The student should clearly understand the difference between function composition and the product of functions, and between concepts like “to be defined for” and “to be continuous in” for a real-valued function of one real-valued variable.
  • Derivatives and graphs of a wide variety of functions.
  • Calculation of some basic primitive functions.

2.Learning goals

2.1.Competences

After completing the course, the student will be competent in the following skills:

Problem solving.

Analysis and synthesis

Decision-making

Applying knowledge to practice

2.2.Learning goals

The student, in order to pass the course, will have to show her/his competence in the following skills:

  1. To have gained a certain ability in using mathematical language, both in comprehension and writing.
  2. To be able to distinguish whether the relations between variables in a problem are linear or non-linear, and to be able to represent the different cases by means of a suitable mathematical tool.
  3. To be able to use matrix notation to represent a problem of an economic nature with linear relations between variables and to be able to apply matrix algebra to solve the problem.
  4. To be able to study a system of linear equations making use of the Rouché-Frobenius theorem.
  5. To know how to solve a consistent system of linear equations by the most suitable method and be able to interpret the solutions in accordance with the underlying context.
  6. To be able to identify a diagonalisable square matrix.
  7. To know how to diagonalise a square matrix when this is possible.
  8. To be able to apply matrix diagonalisation to an economic context, such as the study of a dynamical process in the long run.
  9. To be able to identify a quadratic form and determine its sign by the most suitable method.
  10. To be able to distinguish the endogenous and exogenous variables of an economic system and to know how to use functions to represent the relations between these variables.
  11. To understand the concepts of continuous and differentiable function applied to an economic context.
  12. To be skilled in calculating partial derivatives and in their interpretation in Economics.
  13. To be able to identify a differentiable function and to know the implications of differentiability.
  14. To be able to identify the chained dependency between different variables and to know how to calculate the variation in the final variables with respect to any of the initial ones.
  15. To be able to distinguish whether a function is written in explicit or implicit form and to know how to obtain the partial derivatives in both cases.
  16. To be able to identify a homogeneous function and its implications, in particular, in the scenario of production functions.
  17. To know which mathematical tool allows the recovery of a total magnitude from the corresponding marginal magnitude.
  18. To understand the concepts of primitive function and indefinite integral.
  19. To identify whether the indefinite integral of a function can be obtained by basic integration and to be able to work it out by using the table of basic integrals.
  20. To be able to choose the most suitable method to calculate the indefinite integral of a function; more specifically, to be able to decide whether this requires a change of variables, integration by parts or integration of rational functions.
  21. To understand the geometrical interpretation of the Riemann definite integral.
  22. To know how to apply the main properties of the definite integral
  23. To be able to relate the concepts of indefinite integral and definite integral.
  24. To be able to able to apply the second fundamental theorem of calculus to obtain the value of a definite integral.
  25. To know how to make a change of variables in a definite integral.

2.3.Importance of learning goals

The techniques of linear algebra allow the study of both simple models of economic equilibrium and more elaborate theories related to the inter-sector analysis of an economy (input-output models). Differential Calculus, with one and several variables, permits the introduction of the marginalist approach in Economics. In that context, concepts such as function and functional relationship (exogenous and endogenous variable(s)), elasticity, marginal product, marginal rate of substitution, returns to scale, etc. –which will be part of the students’ daily jargon– are founded on Calculus (especially  on Differential Calculus). Integral Calculus allows the definition of welfare measures (such as consumer surplus) and it is useful for financial model analysis.

In summary, the subject Mathematics I contributes to the comprehension of some theoretical concepts and models which are dealt with in other related subjects in the Degree.

3.Assessment (1st and 2nd call)

3.1.Assessment tasks (description of tasks, marking system and assessment criteria)

The evaluation will be GLOBAL in both the first and second sittings. It will consist of a final exam to be taken on the dates determined by the Faculty. The global exam will be written and will assess the proposed learning outcomes through questions that are theoretical, practical, or of a mixed theoretic-practical character and that will be based on the topics taught. It will be worth 10 points.

In addition, in the first sitting it will take place a voluntary intermediate test worth 5 points. This test will assess the student's knowledge of the Chapters 1 and 2 of the subject, and it will take place on the date indicated by the teacher that will be announced in advance in the classroom and/or the virtual teaching platform.

The students who obtain a mark of at least 50% of the maximum value in this test (2.5 points out of 5) will be able to eliminate the corresponding topics from the global exam at the first sitting, and to take the exam of only the rest of the contents (worth 5 points out of 10). In this case, the mark corresponding to the eliminated topics will be added to the mark of the global exam. In order to pass the subject the student should obtain a minimum of 5 points out of 10. If the student obtains a mark of at least 2.5 points out of 5 in the intermediate test and wants to do the whole global exam anyway, the best of the two marks in the first part of the subject will be considered to compute the final mark.

 

To be eligible for this form of assessment students are required to participate actively and resolve issues, exercises and tests to be carried out in the classroom, according to indications that the teacher in charge of each group of the subject will be exhibiting the same day of the presentation. In such a case, it is necessary to attend and participate in at least 75% of the face-to-face sessions or proposed activities. The student that at the end of the semester does not fulfill this requirement will not be able to be eligible to this procedure of assessment.

It has to be taken into account that the evaluation process closes at the end of the academic year, so it is not possible to claim academic merits from one academic year in a later one.

Students taking their exams at their fifth or sixth opportunity will be marked following the rules established under the Governing Council Agreement on 22 December 2010, which sets out the assessment regulations in the University of Zaragoza.

Evaluation Criteria

Students will be assessed on whether they have acquired the learning outcomes mentioned above. In particular, they will be assessed on the following aspects:

  1. Correct mathematical writing.
  2. Logical reasoning in the posing and solving of the problems.
  3. Reference to the theoretical results used, when relevant.
  4. The choice of the most appropriate method for the solving of problems .
  5. Clarity in the application of mathematical concepts and procedure s.
  6. Computations carried out with care.
  7. The correct expression of the results obtained when solving problems.
 

4.Methodology, learning tasks, syllabus and resources

4.1.Methodological overview

The learning process that has been designed for this course is based on the following activities:

The objective of this subject is that the students should develop the analytical skills, rigour and intuition needed for using mathematical concepts and results and that they should be able to apply these abilities to the analysis of problems of an economic nature. Therefore, the teaching should aim to provide students with a solid mathematical knowledge and to train them in a way of reasoning that will allow them thereafter to successfully solve a wide variety of questions in an economic scenario. To achieve this, the contents taught will consist of:

 

4.2.Learning tasks

The programme offered to the students to help them achieve the learning results includes the following activities :

Theoretical lessons which will be based on lectures to present the concepts and results corresponding to the contents. At the same time, some exercises will be solved with the participation of the students to help them comprehend the theoretical concepts presented. These classes are face-to-face and will be given to the full group. Time allotted: 1.2 ECTS credits (30 hours).

Practical lessons, in which the students will apply the theoretical results in order to solve, with the teacher’s help, more complete exercises, and problems of an economic nature. Problem sheets will be available for the students and the teacher will announce in advance the problems that will be solved in each practical lesson so that the students can prepare them beforehand. These classes are face-to-face and will be given separately to each subgroup. Time allotted: 1.2 ECTS credits (30 hours each subgroup).

Seminars (practical classes P6), which may consist of a number of different activities designed to support the learning process, including: follow-up of some simple projects that had been assigned to small teams of students and the presentation of these projects; answering questions that students may have regarding some of the contents taught; solving problems of an economic nature by using some of the mathematical tools taught during the classes, etc. These seminars may also be devoted to the teaching of more advanced topics, intended for the students interested in learning some further mathematical tools that would allow them to deal with more general problems. In this way, the students are shown thatboth Mathematics and Economics are vibrant sciences with many facets to be studied.Time allotted:3 hours each subgroup.

Out of class work: 3.6 ECTS credits.

TABLE OF CONTENTS

PART I. MATRICES

Preliminary chapter: Set Rn.

1.- Matrices, determinants, and systems of linear equations.

1.1.- Elementary  matrices

1.2.- Determinant of a square matrix.

1.3.- Matrix inversion.

1.4.- Rank of a matrix.

1.5.- Systems of linear equations.

    1.5.1.- Rouché-Frobenius theorem.

    1.5.2.- Solving systems of linear equations.

2.- Diagonalisation of square matrices.

2.1.- Eigenvalues and eigenvectors of a matrix.

2.2.- Characteristic polynomial.

2.3.- Diagonalisable matrices.

3.- Real quadratic forms.

3.1.- Quadratic forms: definitions.

3.2.- Diagonal form of a quadratic form.

3.3.- Classification of quadratic forms.

3.4.- Restricted quadratic forms.

PART II. DIFFERENTIAL AND INTEGRAL CALCULUS

Preliminary chapter: Basics of Topology in Rn.

1.      Real-valued functions of one real-valued variable.

1.1.       Real-valued functions of one real-valued variable.

1.2.       Limits and continuity.

1.3.       Differentiability.

1.4.       Higher-order derivatives. Taylor’s theorem.

2.      Introduction to the theory of integration

2.1.       Indefinite integral.

    2.1.1.         Primitive function and indefinite integral. Properties.

    2.1.2.         Some techniques of integration: change of variables, integration by parts, and  integration of rational functions.

2.2.       Definite integral.

    2.2.1.         Riemann integral. Properties.

    2.2.2.         Applications.

3.      Functions from Rn to Rm.

3.1.       Scalar-valued and vector-valued functions. Level set.

3.2.       Limits and continuity. Properties.

3.3.       Derivatives of a function. Properties.

3.4.       Differentiable function. Properties.

3.5.       Function composition. Chain rule.

3.6.       Higher-order derivatives.

3.7.       Derivatives of implicit functions.

3.8.       Homogeneous functions.

4.3.Syllabus

Chapter 1. Matrices

1.1. Determinants. Applications: calculation of the rank of one matrix, calculation of the inverse matrix and Cramer’s Rule

1.2. Rn:Generating systems. Bases.

1.3. Diagonalization of square matrices:

       1.3.1. Eigenvalues and  eigenvectors of a square matrix: definition and calculation.

       1.3.2. Diagonalization of a square matrix.

1.3.3.Application to the calculation of matrix powers.

Chapter 2. Real quadratic forms

 

2.1. Quadratic forms: definition. Matrix expression and polynomial expression.

2.2. Diagonal expression of a quadratic form.

2.3. Classification of a quadratic form according to its sign.

2.4. Constrained quadratic forms.

 

Chapter 3. Functions from Rn to Rm

 

3.1. Preliminaries: topological concepts.

3.2. Functions: domain, range and graph. Level sets of scalar functions.

3.3. Continuity of a function.

3.4. Differentiation of a function. Partial derivatives. Gradient vector. Jacobian matrix.

3.5. Differentiability. Directional derivative of differentiable functions.

 

 

 

 

 

3.6. Differentiation of composed functions: Chain's Rule. Tree diagrams.

3.7. Higher order derivatives. Schwarz's Theorem. Hessian matrix. Taylor's Theorem.

3.8. Implicit function Theorem. Differentiation of implicit functions.

3.9. Homogeneous functions. Euler's Theorem.

3.10. Basic integration methods of function of one variable. Barrow's Rule.

 

4.4.Course planning and calendar

 

 

 

-   Presentation of the subject in the first session of the semester, in accordance with the timetable established by the Faculty.

-          Continual attendance at, and productive use of, theoretical and practical classes.

-          Attendance at practical classes P6.

-          Midterm exams, scheduled in accordance with the academic calendar.

-          Final exam, on the day established by the Faculty.

4.5.Bibliography and recommended resources