## 26914 - Differential Equations

### Syllabus Information

2022/23
Subject:
26914 - Differential Equations
Faculty / School:
100 - Facultad de Ciencias
Degree:
447 - Degree in Physics
ECTS:
6.0
Year:
2
Semester:
First semester
Subject Type:
Compulsory
Module:
---

### 1.1. Aims of the course

The aims of the course are aligned with the following Sustainable Development Goals (SDGs):

• Goal 4: Quality Education
• Goal 5: Gender Equality
• Goal 10: Reducing Inequality

### 4.1. Methodological overview

The methodology followed in this course is oriented towards the achievement of the learning objectives. It is based on:

Theory sessions: 40 hours of master classes, to provide the students with the structure of contents that will allow them to conduct, interpret and solve problems that will be presented in the practice sessions and carrying out the proposed tasks and autonomous works.

Practice sessions: There will be a total of 20 hours in each group, where problems will be solved jointly with the students. The proposed exercises will  reinforce, apply, and extend upon concepts introduced in theory sessions. The students must have devoted time to study previously the problems proposed.

These problems should also be considered as a self-evaluation mechanism for the students. Students must come to the practice sessions prepared to participate actively.

Practical task and work: There will be a total of 6 hours in which students will do work and/or proposed task, in a tutored way, such that these can provide more depth on specific topics that may be of particular interest to only a few students.

Tutorials: A resource of great value to students is the tutoring sessions. The students will receive the complementary information needed to complete their autonomous training and work.

### 4.2. Learning tasks

The learning activities of this subject are theory sessions, practice sessions or problems and practical task and work.

### 4.3. Syllabus

The course will address the following topics:

First order differential equations. General solution. Separable equations. Exact Equations, integrating factors. Change of variables.

Linear equations with constant coefficients.

Linear equations with variable coefficients. Euler equation. Legendre equation. Method of variation of parameters. Green function.

Non-linear equations. Reduction of Order. Symmetries.

Series solutions to differential equations. Ordinary points and regular singular points. Hermite, Legendre and Bessel equations.

Systems of differential equations. Linear Systems of first order differential equations.

Partial differential equations. Physics problems. General and particular solutions. Boundary conditions and existence of solutions. Separation of variables.

### 4.4. Course planning and calendar

Calendar/Schedule of basic activities

The distribution of the different programmed activities is as follows:

Theory/Practice sessions: 40 hours of theory and 20 of problems.

Practical task and work: Six hours to complete your training.

Exams: A theory-practical test at the end of the semester.

Theory and practice sessions are taught throughout the first semester (September - January) of the second year of the Physics Degree. The practical task and works will be also developed throughout this semester.

Examination sessions: The global assessments are those that the Faculty of Sciences determines and publishes each year on the website.

The practical works will be evaluated by the teachers of the subject.

### 4.5. Bibliography and recommended resources

http://psfunizar10.unizar.es/br13/egAsignaturas.php?codigo=26914

## 26914 - Ecuaciones diferenciales

### Información del Plan Docente

2022/23
Asignatura:
26914 - Ecuaciones diferenciales
100 - Facultad de Ciencias
Titulación:
Créditos:
6.0
Curso:
2
Periodo de impartición:
Primer semestre
Clase de asignatura:
Obligatoria
Materia:
---

### 1.1. Objetivos de la asignatura

La asignatura y sus resultados previstos responden a los siguientes planteamientos y objetivos:

El objetivo de esta asignatura es conocer las herramientas básicas para la resolución de ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones en la Física. El alumno conoce ya las nociones necesarias de Cálculo Diferencial, tanto en una como en más variables, que son un requisito imprescindible para abordar la solución de este tipo de ecuaciones. Tras una introducción al concepto mismo de ecuación diferencial y de solución particular o general, se estudian las ecuaciones diferenciales de primer orden, y distintos tipos especiales cuya solución puede llevarse a cabo, como las ecuaciones lineales, las separables, las ecuaciones diferenciales exactas con la teoría de los factores integrantes, las de Bernoulii, de  Riccati o que carecen de alguna variable, y se mostrarán diversos cambios de variables adecuados a la solución de ejemplos concretos. Se estudiarán a continuación las ecuaciones de segundo orden por su interés en Física, y en particular en la Mecánica, con especial énfasis en las lineales, y en métodos de resolución mediante reducción una vez conocida una solución  particular, los métodos de los coeficientes indeterminados y de variación de los parámetros, la transformada de Laplace y la solución mediante desarrollos en serie de potencias, métodos muy usados en diversos problemas de la Física. Se incluirá una explicación de diversos problemas de la teoría de sistemas de ecuaciones diferenciales y de las  soluciones de ecuaciones en derivadas parciales.

Estos planteamientos y objetivos están alineados con los siguientes Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS) de la Agenda 2030 de Naciones Unidas (https://www.un.org/sustainabledevelopment/es/), de tal manera que la adquisición de los resultados de aprendizaje de la asignatura proporciona capacitación y competencia para contribuir en cierta medida a su logro:

• Objetivo 4: Educación de calidad.
• Objetivo 5: Igualdad de género.
• Objetivo 10: Reducción de las desigualdades.

### 1.2. Contexto y sentido de la asignatura en la titulación

Esta asignatura se enmarca en el módulo de Métodos Matemáticos del grado de Física y constituye junto con Métodos Matemáticos para la Física, Cálculo Integral y Geometría y Física Computacional el subgrupo de asignaturas, del segundo curso del Grado en Física, con  contenidos relacionados específicamente con las Matemáticas. El conocimiento de los temas que abarca esta asignatura es imprescindible para poder seguir el desarrollo de las demás enseñanzas de la física, ya que en todas sus ramas se hace un uso intensivo de dichas ecuaciones. Además sirve para practicar con algunos de los conceptos de Cálculo Diferencial desarrollados en primer curso y de Cálculo Integral y Geometría de segundo curso, lo que permite al alumno una mejor comprensión de dichos problemas y que le situarán en mejores condiciones para abordar las restantes asignaturas del Grado.

### 1.3. Recomendaciones para cursar la asignatura

Se recomienda haber cursado y aprobado las asignaturas de Álgebra I, Álgebra II, Análisis Matemático y Cálculo Diferencial

### 2.1. Competencias

Al superar la asignatura, el estudiante será más competente para...

Reconocer el tipo de ecuación diferencial y la estrategia adecuada para su resolución

Determinar la forma de la solución general de una ecuación diferencial y saber obtenerla en casos sencillos

Reconocer las propiedades de simetría de una ecuación y saber explotarlas para reducir el orden

Conocer las ecuaciones diferenciales ordinarias de uso más común en Física, la forma de sus soluciones y el método para obtenerlas

Saber aplicar condiciones iniciales y condiciones de contorno en problemas de ecuaciones en derivadas parciales

Resolver problemas de Física o de otros ámbitos planteando la ecuación diferencial asociada

### 2.2. Resultados de aprendizaje

El estudiante, para superar esta asignatura, deberá demostrar los siguientes resultados...

Hallar la solución de ecuaciones de primer orden usando los métodos más comunes: separación de variables, factor integrante, cambio de variable, etc.

Resolver ecuaciones lineales homogéneas y no homogéneas, y comprender la naturaleza del espacio de sus soluciones

Saber aplicar los desarrollos en serie de potencias para resolver ecuaciones diferenciales y establecer el dominio de validez de la solución

Comprender la equivalencia entre ecuaciones diferenciales de orden superior y sistemas de ecuaciones de primer orden

Aplicar métodos algebraicos para resolver sistemas de ecuaciones lineales

Resolver problemas sencillos de las ecuaciones en derivadas parciales más comunes (ecuación de ondas, ecuación de difusión, ecuación de Laplace)

Saber utilizar programas de ordenador para resolver ecuaciones diferenciales y usarlos para explorar la forma de sus soluciones

### 2.3. Importancia de los resultados de aprendizaje

Como ya se ha indicado previamente, los contenidos de esta asignatura son imprescindibles para poder seguir el desarrollo de las demás enseñanzas de la física, ya que en todas sus ramas se hace un uso intensivo de dichas ecuaciones. Deben ser considerados como un medio para entender el resto de asignaturas, ya que es la manera de estudiar como las variaciones de unas magnitudes se ven afectadas por los valores y variaciones de las otras.

### 3.1. Tipo de pruebas y su valor sobre la nota final y criterios de evaluación para cada prueba

El estudiante deberá demostrar que ha alcanzado los resultados de aprendizaje previstos mediante las siguientes actividades de evaluacion

Evaluación continua del aprendizaje del alumno mediante la resolución de problemas, cuestiones, prueba teórico-práctica y otras actividades propuestas por el profesor de la asignatura (30% de la nota final).

Realización de una prueba teórico-práctica a lo largo del curso  (70% de la nota final).

Será necesario alcanzar una nota de 4 sobre 10 tanto en las actividades y evaluaciones propuestas durante el curso como en la prueba teórico-práctica para poder superar la asignatura.

Superación de la asignatura mediante una prueba global única

En el caso de que el estudiante opte por la  no realización de las actividades propuestas por el profesor anteriormente mencionadas, se le realizará una prueba global única al final del curso en las fechas publicadas por la Facultad de Ciencias.

### 4.1. Presentación metodológica general

El proceso de aprendizaje que se ha diseñado para esta asignatura se basa en lo siguiente:

Las metodologías de enseñanza-aprendizaje que se plantean para conseguir los objetivos planteados y adquirir las competencias son las siguientes:

Clases de teoría:  40 horas de clases magistrales, que son las que  deben proporcionar al alumno la estructuración de contenidos que luego le permitan afrontar la resolución de problemas que se la presentarán en las clases de problemas y la realización de los trabajos prácticos propuestos

Clases de problemas: 20 horas en cada grupo, en  donde se resolverán conjuntamente con los alumnos los problemas propuestos con anterioridad y a los que el alumno ha debido dedicar un tiempo para estudiar previamente. Estos problemas deben servir también como mecanismo de autoevaluación para el alumno y es por eso que la participación en las clases de problemas se convierte en una  herramienta muy importante

Trabajos prácticos: un total de 6 horas en los que los alumnos realizarán, de forma tutorizada, trabajos que puedan proporcionar una mayor profundidad en temas específicos y  que puedan resultar de especial interés sólo a algunos alumnos.

Tutorías: En ellas los alumnos recibirán la información complementaria que precisen para completar su formación de forma individualizada

### 4.2. Actividades de aprendizaje

Las actividades docentes y de evaluación se llevarán a cabo de modo presencial salvo que, debido a la situación sanitaria, las disposiciones emitidas por las autoridades competentes y por la Universidad de Zaragoza dispongan realizarlas de forma telemática o semi-telemática con aforos reducidos rotatorios.

Las actividades de aprendizaje de esta asignatura son clases de teoría, clases de problemas y trabajos prácticos.

### 4.3. Programa

El programa que se ofrece al estudiante para ayudarle a lograr los resultados previstos comprende las siguientes actividades...

Ecuaciones diferenciales de primer orden. Solución general. Ecuaciones separables. Ecuaciones exactas, factores integrantes. Cambios de variable

Ecuaciones lineales con coeficientes constantes

Ecuaciones lineales con coeficientes variables. Ecuaciones de Euler y de Legendre. Método de la variación de los parámetros. Funciones de Green

Ecuaciones no lineales. Métodos para simplificar o reducir el grado de la ecuación. Simetrías

Solución en serie de potencias de ecuaciones diferenciales. Puntos regulares y singulares. Ecuaciones de Hermite, Legendre y Bessel

Sistemas de ecuaciones diferenciales. Sistemas de ecuaciones lineales de primer orden

Ecuaciones en derivadas parciales. EDP en Física. Solución general y solución particular. Condiciones de contorno y existencia de soluciones. Separación de variables

### 4.4. Planificación de las actividades de aprendizaje y calendario de fechas clave

Calendario de sesiones presenciales y presentación de trabajos

La distribución, en función de los créditos, de las distintas actividades programadas es la  siguiente:

Clases teórico-prácticas: 40 horas de teoría y 20 de problemas

Trabajos prácticos: Seis horas para completar su formación

Exámenes: Una prueba teórico-práctica al  final del semestre

Las clases de teoría y de problemas se imparten a lo largo del primer semestre del segundo curso del Grado de Física. Igualmente los Trabajos Prácticos se desarrollarán a lo largo de dicho semestre.

Sesiones de evaluación: Las sesiones de evaluación mediante una prueba escrita global son las que el Decanato de la Facultad de Ciencias determina y publica cada año en su página web.

Los trabajos prácticos serán evaluados por los Profesores de la asignatura

### 4.5. Bibliografía y recursos recomendados

http://psfunizar10.unizar.es/br13/egAsignaturas.php?codigo=26914