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Curso : 2020/2021

447 - Graduado en Física

26908 - Cálculo diferencial


Información del Plan Docente

Año académico:
2020/21
Asignatura:
26908 - Cálculo diferencial
Centro académico:
100 - Facultad de Ciencias
Titulación:
447 - Graduado en Física
Créditos:
6.0
Curso:
1
Periodo de impartición:
Segundo semestre
Clase de asignatura:
Formación básica
Materia:
Matemáticas

1.Información Básica

1.1.Objetivos de la asignatura

La asignatura y sus resultados previstos responden a los siguientes planteamientos y objetivos:

En general, el  objetivo  de las asignaturas de Álgebra I, Análisis Matemático y Cálculo Diferencial es lograr que el alumno adquiera la capacidad de análisis, abstracción y síntesis adecuadas y que aprenda a expresar los conceptos científicos con el rigor necesario.

Junto a ello, este bloque de asignaturas deberá proporcionarles a los alumnos  las técnicas matemáticas básicas necesarias para el estudio de la Física.

Dentro de estos objetivos generales, la asignatura de Cálculo Diferencial presenta una generalización a funciones de varias variables de la asignatura de Análisis Matemático (con funciones de una variable) que los alumnos han visto en el primer semestre  y usa algunos de los conceptos de la asignatura de Álgebra I.

Se comenzará por estudiar los espacios métricos y las sucesiones en espacios métricos y viendo el concepto de espacio métrico completo. A continuación se darán unas breves nociones de espacios topológicos (topología métrica) para pasar a estudiar la continuidad y diferenciabilidad de funciones en Rn, los operadores gradiente, rotacional y laplaciano y sus expresiones en diferentes sistemas de coordenadas, el desarrollo de Taylor en funciones de varias variables y se terminará viendo como calcular los extremos, condicionados o no, de funciones de varias variables y los teoremas de la función implícita e inversa y la transformada de Legendre.

1.2.Contexto y sentido de la asignatura en la titulación

Esta asignatura se enmarca en el módulo de Métodos Matemáticos del Grado en Física y constituye junto con Álgebra I, Álgebra II, y Análisis Matemático el subgrupo de asignaturas, del primer curso del Grado en Física, con  contenidos relacionados específicamente con las Matemáticas.

1.3.Recomendaciones para cursar la asignatura

Se recomienda haber asistido a las asignaturas de Álgebra I y Análisis Matemático. También la asistencia y participación activa de los alumnos en las clases y actividades docentes como resolución de trabajos prácticos, tutorías etc.

2.Competencias y resultados de aprendizaje

2.1.Competencias

Al superar la asignatura, el estudiante será más competente para...

Comprender el concepto de límite de sucesiones y funciones en espacios métricos y en particular en Rn con la métrica euclídea

Obtener la diferencial de una función y entender su significado geométrico

Conocer los operadores vectoriales, sus propiedades y su uso en distintos contextos de la Física

Aplicar el método de multiplicadores de Lagrange para obtener extremos condicionados

Calcular la transformada de Legendre de una función y conocer sus propiedades fundamentales

2.2.Resultados de aprendizaje

El estudiante, para superar esta asignatura, deberá demostrar los siguientes resultados...

Determinar la existencia del límite de una sucesión en un espacio métrico y en su caso calcularlo

Discutir la continuidad y diferenciabilidad de funciones de varias variables y calcular sus derivadas direccionales y su diferencial

Calcular la serie de Taylor de funciones en varias variables y determinar su convergencia

Obtener gradientes, divergencias, rotacionales y Laplacianos de campos en distintos sistemas de coordenadas

Aplicar a ejemplos concretos el cálculo de extremos condicionados

2.3.Importancia de los resultados de aprendizaje

La asignatura de Cálculo Diferencial es una asignatura de formación básica dentro del Grado de Físicas en las que los alumnos deben adquirir, no solo capacidad de análisis  abstracción y síntesis y a expresar los conceptos matemáticos con el rigor necesario,  sino también diferentes técnicas que van a usar en prácticamente todas las demás asignaturas que verán a lo largo de sus estudios de Grado (continuidad, y diferenciabilidad de funciones, operadores gradiente, rotacional y laplaciano, desarrollo de Taylor, extremos y extremos condicionados, etc.).

3.Evaluación

3.1.Tipo de pruebas y su valor sobre la nota final y criterios de evaluación para cada prueba

El estudiante deberá demostrar que ha alcanzado los resultados de aprendizaje previstos mediante las siguientes actividades de evaluacion

Evaluación continua del aprendizaje del alumno se realizará mediante la resolución de problemas, cuestiones y otras actividades propuestas por el profesor de la asignatura y por la participación activa del alumno en las clases, tanto teóricas como de problemas ( 20 % de la nota final)

Realización de una prueba teórico‐práctica a lo largo del curso ( 80% de la nota final). La nota de esta prueba escrita se compondrá de dos partes, la de problemas (75% de la nota) y la de teoría (25% de la nota). En el caso de los alumnos que opten por la evaluación continuada será necesario alcanzar una nota mínima de 4 sobre 10 para poder aprobar la asignatura.

Superación de la asignatura mediante una prueba global única

Para realizar un seguimiento continuado de las actividades de evaluación planteadas es conveniente que los alumnos asistan con regularidad al curso. Debido al variado perfil de los alumnos es posible que algunos, por motivos profesionales, no puedan asistir a las clases con la regularidad deseada. En cualquier caso, será posible obtener la máxima calificación optando a la realización de un examen final único que abarcará todos los contenidos vistos en la asignatura, que figuran en el programa incluido en el apartado de actividades de aprendizaje.

4.Metodología, actividades de aprendizaje, programa y recursos

4.1.Presentación metodológica general

Las metodologías de enseñanza-aprendizaje que se ofrecen para conseguir los objetivos planteados y adquirir las competencias son: clases de teoría, clases de problemas, exposición de trabajos prácticos propuestos y tutorías.

4.2.Actividades de aprendizaje

Las actividades docentes y de evaluación se llevarán a cabo de modo presencial salvo que, debido a la situación sanitaria, las disposiciones emitidas por las autoridades competentes y por la Universidad de Zaragoza dispongan realizarlas de forma telemática.

Las actividades de aprendizaje propuestas en esta asignatura son las siguientes:

Clases de teoría: Son clases presenciales (3 horas a la semana) en las que se expondrán los conceptos fundamentales de la asignatura.

Clases de problemas: son clases presenciales (una hora a la semana) con la participación de varios profesores que tutelarán a los alumnos en la resolución de los problemas prácticos propuestos.

Exposición de los trabajos prácticos propuestos: Son sesiones en las que los alumnos expondrán los trabajos que vayan realizando y responderán a preguntas sobre los mismos.

Tutorías.

4.3.Programa

El programa que se ofrece al estudiante para ayudarle a lograr los resultados previstos comprende las siguientes actividades...

Espacios métricos. Bolas abiertas

Sucesiones en espacios métricos

Límite y continuidad de funciones de varias variables

Derivada direccional. Derivada parcial. Diferencial. Cambio de variable, regla de la cadena y otras propiedades

Teoremas de la función inversa e implícita

Serie de Taylor en varias variables

Campos escalares y vectoriales

Cálculo vectorial. Identidades fundamentales

Sistemas de coordenadas curvilíneas: cilíndricas, esféricas,...

Extremos y extremos condicionados

Transformada de Legendre

4.4.Planificación de las actividades de aprendizaje y calendario de fechas clave

Calendario de sesiones presenciales y presentación de trabajos

La distribución, en función de los créditos, de las distintas actividades programadas es la  siguiente:

  • Clases teórico-prácticas: 4 horas semanales durante los meses de Febrero a Mayo (unas 56 horas/estudiante cada semestre).
  • Trabajos prácticos: Durante el periodo lectivo del segundo semestre, los alumnos entregarán y expondrán ante los profesores los trabajos prácticos que vayan realizando (con una carga aproximada de 18 horas/estudiante al semestre).
  • Exámenes: Unas 5 horas dedicadas a la realización del ejercicio teórico-práctico.

Las sesiones presenciales vienen definidas en los horarios que anualmente publica el Decanato de la Facultad.

La presentación de los trabajos se realizará a lo largo del semestre de forma continuada.

Las fechas de las distintas convocatorias de exámenes vienen fijadas por el Decanato de la Facultad al principio de cada curso.

4.5.Bibliografía y recursos recomendados


Curso : 2020/2021

447 - Degree in Physics

26908 - Differential Calculus


Información del Plan Docente

Academic Year:
2020/21
Subject:
26908 - Differential Calculus
Faculty / School:
100 -
Degree:
447 - Degree in Physics
ECTS:
6.0
Year:
1
Semester:
Second semester
Subject Type:
Basic Education
Module:
---

1.General information

1.1.Aims of the course

1.2.Context and importance of this course in the degree

1.3.Recommendations to take this course

2.Learning goals

2.1.Competences

2.2.Learning goals

  1. Ability to determine existence of the limit of a sequence in metric space, and to compute it when pertinent

  2. Ability to discuss continuity and differentiability of functions. Computing of deriva- tives

  3. Computing of Taylor series of functions and ability to discuss their eventual con- vergence

  4. Computing of gradients, divergences, curls and Laplacians of fields in different co- ordinate systems

  5. Application of constrained extrema theory to concrete problems 

2.3.Importance of learning goals

3.Assessment (1st and 2nd call)

3.1.Assessment tasks (description of tasks, marking system and assessment criteria)

4.Methodology, learning tasks, syllabus and resources

4.1.Methodological overview

The methodology followed in this course is oriented towards achievement of the learning objectives. A wide range of teaching and learning tasks are implemented, such as lectures and practice sessions, among others. 

4.2.Learning tasks

This 6 ECTS course includes the following learning tasks: 

  • Lectures (45 hours): Three weekly sessions of one hour each, to explain the main concepts of the course. In our experience, most people do not follow all the details of a lecture in real time. In a lecture, we expect to witness the big picture of what is going on. The student should pay attention to the lecture's advice on what is important and what is not. Lectures spend a long time thinking on how to deliver a presentation of an immense amount of material; they do not expect students to follow every step, but they do expect them to do some autonomous work and study. Not attending lectures really spoil their chances of a deep understanding of the material. Thus we expect students to attend every lecture, even if there is no formal obligation to do so since it is highly difficult to succeed in this course without attending these sessions. 
  • Practice sessions (14 hours): One-hour of weekly sessions in which students work under the supervision of professors. This alternates with sessions in which the students espose their own works. Periodic submission of homework. 

4.3.Syllabus

The course will address the following topics:

  1. Metric spaces. Open and closed balls
  2. Sequences in metric spaces
  3. Limits and continuity for functions of several variables
  4. Differential. Directional and partial derivatives. Changes of variables. The chain rule. Other differentiation properties
  5. The inverse function theorem. The implicit function theorem
  6. Taylor series in several variables
  7. Scalar and vector fields
  8. Vector calculus and its fundamental identities
  9. Systems of curvilinear coordinates (cylindrical, spherical. . . )
  10. Problems of constrained extrema
  11. The Legendre transform 

4.4.Course planning and calendar

The course runs from February to May. No more than 45 hours for lectures, and 14 hours of practice sessions. 

Further information concerning the timetable, classroom, office hours, assessment dates and other details regarding this course, will be provided on the first day of class or please refer to the Faculty of Science website. 

4.5.Bibliography and recommended resources