## 27009 - Ordinary Differential Equations

### Syllabus Information

2023/24
Subject:
27009 - Ordinary Differential Equations
Faculty / School:
Degree:
453 - Degree in Mathematics
ECTS:
9.0
Year:
2
Semester:
Annual
Subject type:
Compulsory
Module:
---

### 1. General information

This is a compulsory course whose objective is to introduce the concept of ordinary differential equations, providing the student with the main tools for the analysis and resolution of this type of equations. The student will be put in contact with real problems that can be described by means of this type of equations.

The approaches and objectives of this module are aligned with the Sustainable Development Goals (SDGs) of the United Nations 2030 Agenda; the learning activities could contribute to some extent to the achievement of the goals 4 (quality education), 5 (gender equality), 8 (decent work and economic growth), and 10 (reducing inequality).

### 2. Learning results

• Distinguish a differential equation from other types of equations and classify it according to its linearity and other characteristics.
• Analyze the existence, uniqueness and regularity of the solutions.
• Apply the different methods of solving such equations when this is possible and analyze qualitatively the form of the solutions when it is not possible to find the solution.

### 3. Syllabus

1. Linear systems: constant coefficients.
1. Linear differential equations with constant coefficients.
• First-order homogeneous equation.
• First-order nonhomogeneous equation.
2. Linear systems: introduction.
• Terminology and first properties.
• Eigenvectors and eigensolutions.
• Generalized eigenvectors and generalized eigensolutions.
3. Exponential matrix.
• Convergence.
• Exponential matrix definition and first properties.
• Exponential matrix via generalized eigensolutions.
• Differential of the exponential matrix.
4. Linear systems.
• Solution of homogeneous system.
• Solution of a nonhomogeneous system.
• Higher-order differential equations.
5. Higher-order differential equations.
• Solution of the homogeneous equation.
• Solution of the non homogeneous equation.
• Undetermined coefficients.
6. Qualitative theory.
• Notion of stability.
• Stability and spectrum.
• Phase portrait. Classification of 2-d systems.
7. Laplace transform.
• Laplace transform defined.
• Calculus of Laplace transform.
• Calculus of inverse Laplace transform.
• Solution of initial value problems.
• Stability.
2. Linear systems: general case.
1. Linear equations.
• Homogeneous equations.
• Nonhomogeneous equations.
• Grönwall inequality.
2. Linear systems.
• Existence and uniqueness of solutions (homogeneous system).
• Superposition principle. Resolvent matrix.
• Nonhomogeneous equations.
• Higher-order equations.
• Stability.*
3. Periodic systems.*
• Periodic solutions.
• Structure of the solution.
• Stability and resonance.
3. Nonlinear systems.
1. Autonomous equations.
• Some examples and properties.
• Existence and uniqueness. Asymptotes.
• Qualitative analysis.
2. Nonautonomous equations.
• Exact equations.
• Integrating factors.
• Other methods (separable, homogeneous...).
3. Existence and uniqueness.
• Lipschitz functions.
• Existence and uniqueness: Picard theorem.
• Maximal solution.
• Global solution.
4. Numerical methods.
• Euler methods. Taylor method.
• Convergence.
• Runge-Kutta method.
• Multistep methods.*
5. Regularity of the general solution.
• Continuous dependence.
• Smooth dependence.
• The variational equation.
• Trivialization.*
6. Qualitative theory.
• Autonomous systems.
• Stability of equilibria: linearization method.
• Stability of equilibria: Lyapunov functions.*
• Phase diagram.

Topics marked with * will be included only if time allows.

Master classes: 60 hours.
Problem solving: 30 hours.
Project: 40 hours.
Study: 90 hours.
Assessment tests: 5 hours.

### 5. Assessment system

There will be a theory and problems exam at the end of each semester, on the dates established by the Faculty of Sciences. This section will represent 80% of the grade. To pass the course it will be necessary to pass each of these exams separately. These grades will be kept for the second call, if applicable.

The student's learning will be evaluated by solving problems and theoretical-practical questions proposed by the teacher in small groups throughout the course. The results will be presented by the students and discussed in class. This section will represent 15% of the grade. This grade will be kept for the second call, if applicable.

A report with the results of a group work must be handed in within the term established by the professor. This section will represent 5% of the grade. This grade will be kept for the second call, if applicable.

According to the current regulations, the student who wishes to do so, may choose to opt for a global test of the subject in the official exams.

## 27009 - Ecuaciones diferenciales ordinarias

### Información del Plan Docente

2023/24
Asignatura:
27009 - Ecuaciones diferenciales ordinarias
Titulación:
Créditos:
9.0
Curso:
2
Periodo de impartición:
Anual
Clase de asignatura:
Obligatoria
Materia:
---

### 1. Información básica de la asignatura

Se trata de una asignatura obligatoria cuyo objetivo es introducir el concepto de ecuación diferencial ordinaria, dotando al alumno de los principales herramientas para el análisis y resolución de este tipo de ecuaciones. Se pondrá al alumno en contacto con problemas reales que pueden ser descritos por medio de este tipo de ecuaciones.

Los planteamientos y objetivos de la asignatura están alineados con los Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS) de la Agenda 2030 de Naciones Unidas; en concreto, las actividades de aprendizaje previstas en esta asignatura contribuirán en alguna medida al logro de los objetivos 4 (educación de calidad), 5 (igualdad de género), 8 (trabajo decente y crecimiento económico) y 10 (reducción de las desigualdades).

• Distinguir una ecuación diferencial de otros tipos de ecuaciones y clasificarla de acuerdo a su linealidad y otras características.
• Aplicar los distintos métodos de resolución a dichas ecuaciones cuando esto sea posible y analizar cualitativamente la forma de las soluciones cuando no sea posible encontrar la solución.

### 3. Programa de la asignatura

1. Sistemas lineales con coeficientes constantes.
1. Ecuaciones lineales.
• Ecuaciones de orden 1.
• Existencia y unicidad de soluciones.
• Ecuaciones complejas.
2. Sistemas lineales: introducción.
• Notación y nomenclatura.
• Soluciones propias.
3. Exponencial de una matriz.
• Convergencia de sucesiones de matrices.
• Exponencial de una matriz.
• Cálculo de la exponencial.
4. Sistemas lineales con coeficientes constantes.
• Solución del sistema homogéneo.
• Estructura de la solución.
• Solución del sistema no homogéneo.
• Ecuaciones de orden superior.
• Sistemas con impulsos instantáneos.*
5. Ecuaciones de orden superior.
• Sistema equivalente de primer orden.
• Solución de la ecuación homogénea.
• Solución de la ecuación no homogénea.
• El método de los coeficientes indeterminados.
6. Teoría cualitativa.
• Diagrama de fases y clasificación de los sistemas bidimensionales.
• Aplicación a la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias.
2. Sistemas lineales con coeficientes variables.
1. Ecuaciones lineales.
• Ecuaciones con coeficientes variables.
2. Sistemas lineales.
• Sistemas homogéneos: existencia y unicidad de soluciones.
• Matriz resolvente.
• Solución del problema no homogéneo.
• Dependencia de parámetros.
• Ecuaciones de orden superior.
3. Sistemas lineales con coeficientes periódicos.*
• Soluciones periódica del sistema homogéneo.
• Estructura de la solución.
• Soluciones periódica del sistema homogéneo.
3. Sistemas no lineales.
1. Ecuaciones escalares autónomas.
• Análisis cualitativo.
2. Ecuaciones escalares no autónomas.
• Ecuaciones exactas.
• Factores integrantes.
• Otros métodos de integración.
3. Existencia y unicidad de soluciones.
• Condición de Lipschitz.
• Existencia y unicidad: teorema de Picard.
• Solución global.
4. Métodos numéricos para problemas de valor inicial.
• Métodos de Euler y de Taylor.
• Convergencia.
• Método de Runge-Kutta.
• Métodos multipaso.*
• Dependencia continua.
• Dependencia diferenciable.
• La ecuación variacional.
• Trivialización.*
6. Teoría cualitativa.
• Sistemas autónomos.
• Caso escalar.
• Estabilidad de puntos de equilibrio: método de linealización.
• Estabilidad de puntos de equilibrio: funciones de Lyapunov.*
• Diagrama de fases de un sistema en el plano.

* Estos temas se estudiarán si hay tiempo y el profesor lo estima oportuno.

Clases magistrales: 60 horas.
Resolución de problemas y casos: 30 horas.
Trabajos docentes: 40 horas.
Estudio: 90 horas.
Pruebas de evaluación: 5 horas.

### 5. Sistema de evaluación

Se realizará un examen de teoría y problemas al finalizar cada semestre, en las fechas establecidas por la Facultad de Ciencias. Este apartado representará un 80% de la nota. Para superar la asignatura será necesario aprobar cada uno de estos exámenes por separado. Estas notas se guardarán para la segunda convocatoria, en su caso.

Se evaluará el aprendizaje del alumno mediante la resolución de problemas y cuestiones teórico-prácticas propuestas por el profesor en grupos reducidos a lo largo del curso. Los resultados serán presentados por los alumnos y discutidos en clase. Este apartado representará un 15% de la nota. Esta nota se guardará para la segunda convocatoria, en su caso.

Se debe entregar, dentro del plazo establecido por el profesor, un informe con los resultados de un trabajo en grupo. Este apartado representará un 5% de la nota. Esta nota se guardará para la segunda convocatoria, en su caso.

Según la normativa vigente, el alumno que lo desee podrá prescindir de lo anterior y optar por una prueba global de la asignatura en las convocatorias oficiales.