## 27508 - Mathematics II

### Teaching Plan Information

2024/25
Subject:
27508 - Mathematics II
Faculty / School:
109 - Facultad de Economía y Empresa
Degree:
449 - Degree in Finance and Accounting
ECTS:
6.0
Year:
1
Semester:
Second semester
Subject type:
Basic Education
Module:
---

### 1. General information

Mathematics instruction in this course has two main objectives: to train students in mathematics and to train them for use in their future profession. In addition to the goals covered in Mathematics I, the aim is to develop a rigorous approach , abstraction capacity and the scientific method characteristic of Mathematics.  Modeling techniques related to classical optimization, linear programming and dynamic analysis will be introduced.

These approaches and goals are aligned with the Sustainable Development Goals (SDGs) of the United Nations Agenda 2030 (https://www.un.org/sustainabledevelopment/es/), in particular, the activities planned in the subject will contribute to the achievement of goals 4, 8 and 9.

It is recommended to have acquired the necessary knowledge to pass the subject Mathematics I.

### 2. Learning results

The student, in order to pass this subject, must demonstrate the following results:

1. Has acquired proficiency in the use of mathematical language, both in its comprehension and writing.

2. Identifies the fundamental elements of an optimization problem: variables, objective function and constraints.

3. It poses static optimization problems without constraints and with equality and inequality constraints.

4. Solve graphically, where possible, an optimization problem.

5. Assesses whether a mathematical program meets the conditions to be solved using the techniques studied.

6. Distinguish between critical and extreme or optimal points.

7. Distinguishes between local optima and global optima

8. Distinguishes between necessary conditions and sufficient conditions of local optimality

9.  Calculate the critical points by solving the system of equations obtained by posing the first order conditions of local optimality, both in the unconstrained case and in the case of equality constraints.

10.  It studies the critical points obtained using the second-order conditions, both in the case of problems of unconstrained optimization as in the case of problems with equality constraints.

11. It applies the conditions that ensure the globality of the optima.

12. Interpret the economic significance of the Lagrange multipliers obtained in an optimization problem with equality constrains.

13- Evaluates if a mathematical program is linear and solves it graphically, if possible, and by means of the algorithm of the simplex.

14- Analyzes the variation in the solution of a linear optimization problem in the face of a change in some data of the problem without the need to solve a new problem.

15- Solves, using appropriate computer programs, an optimization problem and interprets the results obtained.

16- Identify a dynamic process in an economic phenomenon and represent it if possible by means of an ordinary differential equation.

17- Understands the concept of solution of an ordinary differential equation and distinguishes between general solution and particular solution.

18- Distinguish between first order differential equation and linear differential equation of order n.

19- Solve some first order differential equations using the appropriate method.

20- Distinguish in a linear differential equation of constant coefficients, the associated homogeneous equation and calculate its general solution.

21- Calculate a particular solution of a linear differential equation of constant coefficients.

22- Calculate the general solution of a linear differential equation of constant coefficients.

23- Calculate the solution of a linear differential equation of constant coefficients of order n with n initial conditions.

24- Is able to relate the different topics covered in the course.

### 3. Syllabus

Unit 1: Mathematical programs

1.1. General formulation of a mathematical program. Classification.

1.2. Definitions and properties. Weierstrass theorem.

1.3. Graphic resolution.

1.4. Introduction to convexity:

c1    Convex sets. Definition and properties.

c1    Convex and concave functions. Definitions and properties.

c2    Convex programs.

Unit 2: Unrestricted programming

2.1. Problem formulation.

2.2. Optimal points:

2.2.1. First-order conditions for the existence of local optimality.

c3   Second-order conditions for the existence of local optimality.

2.3. Global optima: Convex programs.

Unit 3: Programming with equality constraints

3.1. Problem formulation.

3.2. Optimal points:

3.2.1.-First-order conditions for the existence of local optimality.

c.4. Second-order conditions for the existence of local optimality.

3.3. Global optima: Convex programs and Weierstrass Theorem.

3.4. Economic interpretation of Lagrange multipliers.

Unit 4: Linear programming

4.1. Formulation of a linear programming problem.

4.2. Solutions of a linear program. Basic feasible solutions.

4.3. Characterization of the optimal basic solutions. Simplex algorithm.

4.4. Introduction to sensitivity analysis.

4.5. Introduction to the dual program.

Unit 5: Introduction to ordinary differential equations

5.1. Introduction to dynamic analysis.

5.2. Concept of differential equation, solution and types of solutions.

5.3. First order ordinary differential equations:

c1    Equations in separate variables.

c1    First order linear equations.

5.4. Linear differential equations of order n with constant coefficients.

5.5. Qualitative analysis: break-even points and stability.

Master classes: 30 hours

Practical classes: 30 hours

Other Activities (Tutorials, Personal Study, Papers, Seminars, Evaluation Tests, ...): 90 hours

6 ECTS= 150 hours

In principle, the teaching methodology and its evaluation is planned to be based on face-to-face classes . However, if circumstances so require, they may be carried out online

### 5. Assessment system

The evaluation will be GLOBAL, both in first and second call.

Two types of evaluation activities are foreseen:

• Computer test (PI) to be carried out in the computer classroom, in which students must apply the computer tools to the mathematical concepts developed in the course (Chapters 1 to 5) with the Free Software wxMaxima, GeoGebra or other legally licensed software. In the computer tests, the use of the functions of these programs related to the mathematics of the subject, the numerical and/or symbolic results obtained, as well as and their interpretation and conclusions will be assessed. The level of exigence will be similar to that of the material seen in class.
• Written test (PE) in which the students will have to solve several theoretical, theoretical-practical and practical questions and problems related to the application of the mathematical techniques presented in Chapters 1 to 5. In each problem there will be several sections in the resolution of which the mathematical approach to the problem, the use of mathematical notation and terminology, the correct numerical and/or symbolic solving and the interpretation/comparison of the results obtained will be evaluated. The level of exigence will be similar to that of the material seen in class.

Each test will be graded on a scale of 0 to 10 points.

The part of the subject evaluated by means of computer tests (PI) will have a weight of 60% in the overall grade, while the part evaluated by means of a written test (PE) will have the remaining 40%.  In order to pass the course a minimum of 3 points in each of the parts (PI and PE) and a score of 5 points or more out of 10 in the final grade will be required. The final grade will be obtained as follows: FINAL_GRADE = 0.6*PI + 0.4*PE.

In addition, in the FIRST CALL there is the possibility of taking a voluntary intermediate test valued 5 points, which includes both the computer and written parts. This test will evaluate the knowledge on the subject corresponding to the chapters 1 to 3 of the program of the subject and will take place during class time. If a grade higher or equal to 50% of the grade is obtained in this test (2.5 points out of 5 in total, weighting 60% the computer part and 40% the written part), the student may choose to eliminate this material from the global exam of the first call and examine only the remaining contents (valued 5 points); in this case the grade corresponding to the eliminated subject will be transferred to the grade of the global exam. If the student obtains a grade higher or equal to 50% of the grade (2.5 points out of 5) and wants to take the whole of the global test, the better of the two grades in the first part will be considered to calculate the total maximum.

In order to be eligible for the intermediate voluntary test, it is mandatory to actively participate and solve the questions, exercises and tests that will be proposed in the face-to-face classes (minimum 75%), according to the indications that the professor responsible for each group of the subject will tell the day of the presentation of the subject.

It should be taken into account that academic years close the evaluation processes, which means that merits from one year cannot be claimed for evaluations in subsequent academic years.

Valuation Criteria:

It will be assessed whether the student has acquired the learning results outlined above. In particular, the following aspects will be assessed::

1. The correct use of writing mathematical language.

2. Logical reasoning in the approach and resolution of problems.

3. The reference to the theoretical content used is noteworthy.

4. The choice of the appropriate method for solving the problem

5. Clarity in the application of mathematical concepts and procedures.

6. Calculations carried out with care.

7. The correct expression in the results obtained when solving problems.

### 6. Sustainable Development Goals

4 - Quality Education
8 - Decent Work and Economic Growth
9 - Industry, Innovation and Infrastructure

## 27508 - Matemáticas II

### Información del Plan Docente

2024/25
Asignatura:
27508 - Matemáticas II
109 - Facultad de Economía y Empresa
Titulación:
Créditos:
6.0
Curso:
1
Periodo de impartición:
Segundo semestre
Clase de asignatura:
Formación básica
Materia:
Matemáticas

### 1. Información básica de la asignatura

La enseñanza matemática en este curso tiene dos objetivos principales: formar a los estudiantes en matemáticas y capacitarlos para su uso en su futura profesión. Además de los objetivos cubiertos en Matemáticas I, se busca desarrollar un enfoque riguroso, capacidad de abstracción y el método científico característico de las Matemáticas. Se introducirán técnicas de modelización relativas a la optimización clásica, programación lineal y al análisis dinámico.

Estos enfoques están alineados con los Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS) de la Agenda 2030 de la ONU, ya que las modelizaciones matemáticas pueden aplicarse a los 17 objetivos.

Se recomienda haber adquirido los conocimientos necesarios para superar la asignatura Matemáticas I.

El estudiante, para superar esta asignatura, deberá demostrar los siguientes resultados:

1. Ha adquirido destreza en el uso del lenguaje matemático, tanto en su comprensión como en su escritura.
2. Identifica los elementos fundamentales de un problema de optimización: variables, función objetivo y restricciones.
3. Plantea problemas de optimización estática sin restricciones y con restricciones de igualdad y de desigualdad.
4. Resuelve gráficamente, en los casos en que sea posible, un problema de optimización.
5. Valora si un programa matemático cumple las condiciones para ser resuelto mediante las técnicas estudiadas.
6. Distingue entre puntos críticos y extremos u óptimos.
7. Distingue entre óptimos locales y óptimos globales
8. Distingue entre condiciones necesarias y condiciones suficientes de optimalidad local
9. Calcula los puntos críticos resolviendo el sistema de ecuaciones obtenido al plantear las condiciones de primer orden de optimalidad local, tanto en el caso sin restricciones como en el caso de restricciones de igualdad
10. Estudia los puntos críticos obtenidos utilizando las condiciones de segundo orden, tanto en el caso de problemas de optimización sin restricciones como en el caso de problemas con restricciones de igualdad.
11. Aplica las condiciones que aseguran la globalidad de los óptimos.
12. Interpreta el significado económico de los multiplicadores de Lagrange obtenidos en un problema de optimización con restricciones de igualdad.
13. Evalúa si un programa matemático es lineal y lo resuelve gráficamente, si es posible, y por medio del algoritmo del simplex.
14. Analiza la variación en la solución de un problema de optimización lineal ante una modificación en algún dato del problema sin necesidad de resolver un nuevo problema.
16. Identifica un proceso dinámico en un fenómeno económico y lo representa si es posible mediante una ecuación diferencial ordinaria.
17. Comprende el concepto de solución de una ecuación diferencial ordinaria y distingue entre solución general y solución particular.
18. Distingue entre ecuación diferencial de primer orden y ecuación diferencial lineal de orden n.
19. Resuelve algunas ecuaciones diferenciales de primer orden utilizando el método adecuado.
20. Distingue en una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes, la ecuación homogénea asociada y calcula su solución general.
21. Calcula una solución particular de una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes.
22. Calcula la solución general de una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes.
23. Calcula la solución de una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes de orden n con n condiciones iniciales.
24. Es capaz de relacionar los distintos temas tratados en la asignatura.

### 3. Programa de la asignatura

Tema 1: Programas matemáticos

1.1.  Formulación general de un programa matemático. Clasificación.

1.2.  Definiciones y propiedades. Teorema de Weierstrass.

1.3.  Resolución gráfica.

1.4.1.        Conjuntos convexos. Definición y propiedades.

1.4.2.        Funciones convexas y cóncavas. Definiciones y propiedades.

1.4.3.        Programas convexos.

Tema 2: Programación sin restricciones

2.1.  Formulación del problema.

2.2.  Óptimos locales:

2.2.1.        Condiciones de primer orden para la existencia de óptimo local.

2.2.2.        Condiciones de segundo orden para la existencia de óptimo local.

2.3.  Óptimos globales: Programas convexos.

Tema 3: Programación con restricciones de igualdad

3.1.  Formulación del problema.

3.2.  Óptimos locales:

3.2.1.        Condiciones de primer orden para la existencia de óptimo local.

3.2.2.        Condiciones de segundo orden para la existencia de óptimo local.

3.3.  Óptimos globales: Programas convexos y Teorema de Weierstrass.

3.4.  Interpretación económica de los multiplicadores de Lagrange.

Tema 4: Programación lineal

4.1.  Formulación de un problema de programación lineal.

4.2.  Soluciones de un programa lineal. Soluciones factibles básicas.

4.3.  Caracterización de las soluciones básicas óptimas. Algoritmo del simplex.

4.4.  Introducción al análisis de sensibilidad.

4.5.  Introducción al programa dual.

Tema 5: Introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias

5.1.  Introducción al análisis dinámico.

5.2.  Concepto de ecuación diferencial, solución y tipos de soluciones.

5.3.  Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden:

5.3.2.        Ecuaciones lineales de primer orden.

5.4.  Ecuaciones diferenciales lineales de orden n con coeficientes constantes.

5.5.  Análisis cualitativo: puntos de equilibrio y estabilidad.

Clases magistrales: 30 horas

Clases prácticas: 30 horas

Otras Actividades (Tutorías, Estudio Personal, Trabajos, Seminarios, Pruebas de evaluación, …): 90 horas

6 ECTS= 150 horas

En principio la metodología de impartición de la docencia y su evaluación está previsto que pivote alrededor de clases presenciales. No obstante, si las circunstancias lo requieren, podrán realizarse de forma online.

### 5. Sistema de evaluación

La evaluación será GLOBAL, tanto en primera como en segunda convocatoria.

Las actividades de evaluación previstas son de dos tipos:

- Prueba informática (PI) a realizar en el aula de informática, en las que los alumnos deberán aplicar las herramientas informáticas a los conceptos matemáticos desarrollados en el curso (Temas 1 a 5) con los Software Libres wxMaxima, GeoGebra u otro legalmente licenciado. En las pruebas informáticas se valorará el uso de las funciones de estos programas relacionadas con las Matemáticas de la asignatura, los resultados numéricos y/o simbólicos obtenidos, así como su interpretación y conclusiones. El nivel de exigencia será similar a la del material visto en clase.

- Prueba escrita (PE) en la que los alumnos deberán resolver diversas cuestiones y problemas teóricos, teórico-prácticos y prácticos referentes a la aplicación de las técnicas matemáticas presentadas en los Temas 1 a 5. En cada problema se plantearán diversos apartados en cuya resolución se valorará tanto el planteamiento matemático del problema, el uso de la notación y terminología matemática, la correcta resolución numérica y/o simbólica y la interpretación/comparación de los resultados obtenidos. El nivel de exigencia será similar a la del material visto en clase.

Cada prueba se calificará en una escala de 0 a 10 puntos.

La parte de la asignatura evaluada mediante pruebas informáticas (PI) tendrá un peso del 60% en la calificación global, mientras que la parte evaluada mediante prueba escrita (PE) tendrá el 40% restante. Para superar la asignatura se exigirá un mínimo de 3 puntos en cada una de las partes (PI y PE) y obtener una puntuación superior o igual a 5 puntos sobre 10 en la nota final. La calificación final se obtendrá como: NOTA_FINAL = 0.6*PI + 0.4*PE.

Además, en la PRIMERA CONVOCATORIA cabe la posibilidad de realizar una prueba voluntaria intermedia valorada en 5 puntos, que incluye tanto la parte informática como la escrita. Esta prueba evaluará los conocimientos sobre la materia correspondiente a los temas 1,2 y 3 del programa de la asignatura y se realizará en horario de clase. Si se obtiene en dicha prueba una calificación superior o igual al 50% de la nota (2,5 puntos sobre 5 en total, ponderando un 60% la parte informática y un 40% la parte escrita) se podrá optar por eliminar dicha materia del examen global de la primera convocatoria y examinarse únicamente de los restantes contenidos (valorados en 5 puntos); en este caso la nota correspondiente a la materia eliminada será traspasada a la nota del examen global. Si el o la estudiante obtuviera una calificación superior o igual al 50% de la nota (2,5 puntos sobre 5) y quisiera realizar la totalidad de la prueba global, se le considerará la mejor de las dos calificaciones en la primera parte para calcular la nota total.

Para poder optar a la prueba voluntaria intermedia es obligatorio participar activamente y resolver las cuestiones, ejercicios y pruebas que se propondrán en las clases presenciales (mínimo 75%), según las indicaciones que el profesor responsable de cada grupo de la asignatura expondrá el día de la presentación de la misma.

Debe tenerse en cuenta que los cursos académicos cierran los procesos de evaluación, lo que hace que no puedan reclamarse méritos de un año para evaluaciones de años académicos posteriores.

Criterios de Evaluación:

Se evaluará si el estudiante ha adquirido los resultados de aprendizaje expuestos anteriormente. En particular, se valorarán los siguientes aspectos:

1. El uso correcto de la escritura del lenguaje matemático.
2. El razonamiento lógico en el planteamiento y en la resolución de los problemas.
3. La referencia al contenido teórico que se utiliza, si es destacable.