## 27017 - Galois Theory

### Teaching Plan Information

2024/25
Subject:
27017 - Galois Theory
Faculty / School:
Degree:
453 - Degree in Mathematics
647 - Degree in Mathematics
ECTS:
6.0
Year:
3
Semester:
First semester
Subject type:
Compulsory
Module:
---

### 1. General information

The main goal of this course is to introduce the students to the basic aspects of group theory and of Galois theory. The algebraic structure of groups is the structure that allows the study of the symmetries that appear in algebra, geometry, physics... On the other hand, Galois theory uses group theory to study field extensions and algebraic equations.

### 2. Learning results

• Make computations in some particular groups (cyclic, dihedral, symmetric of small degree) and rings (of numbers, polynomials ans matrices).
• Be familiar with group actions, Sylow theorems and be able to use them to describe the structure of a given group.
• Work with expressions involving algebraic and transcendental elements.
• Compute explicitly some Galois groups.
• Work with the Galois correspondence and learn the characterization of solvability by radicals of polynomial equations.

### 3. Syllabus

1. Groups: basic notions.
2. Groups of permutations.
3. Group actions and simplicity of A5.
4. Rings, fields, polynomials and existence of roots.
5. Field extensions. Algebraic extensions.
6. Normal extensions. The Galois group.
7. The Galois theorem. Solvable groups. Solving equations by radicals.

Master classes: 30 hours.
Problem solving: 30 hours.
Study: 85 hours.
Assessment tests: 5 hours.

### 5. Assessment system

There will be a partial exam P, graded with a maximum of 10 points, and a comprehensive final exam (during the official period for these exams). The final exam will split into two parts, A and B, each one graded with a maximum of 10 points. The final mark obtained by a student will be the maximum of 0.5P + 0.5B and 0.5A + 0.5B. Students who are successful in the partial exam are allowed not to take part A of the final exam.

The final mark in July will be the mark obtained in July's comprehensive final exam.

In the English option, the exams must be written in English. Otherwise they will not be marked.

### 6. Sustainable Development Goals

4 - Quality Education
5 - Gender Equality
8 - Decent Work and Economic Growth

## 27017 - Teoría de Galois

### Información del Plan Docente

2024/25
Asignatura:
27017 - Teoría de Galois
Titulación:
Créditos:
6.0
Curso:
3
Periodo de impartición:
Primer semestre
Clase de asignatura:
Obligatoria
Materia:
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### 1. Información básica de la asignatura

El objetivo principal es ser una introducción a la teoría de grupos y a la teoría de Galois. La estructura algebraica de grupos es la estructura que nos permite estudiar las simetrías presentes en situaciones algebraicas, geométricas, físicas... La teoría de Galois utiliza la teoría de grupos para estudiar extensiones de cuerpos y ecuaciones algebraicas.

• Operar en grupos sencillos (cíclicos, diédricos y simétricos de grado pequeño) y en anillos (preferentemente de números, polinomios y matrices).
• Familiarizarse con las acciones de grupo, los teoremas de Sylow y el uso de éstos para describir la estructura de un grupo.
• Manipular expresiones que involucren elementos algebraicos y trascendentes.
• Hallar el grupo de Galois de ciertas extensiones y polinomios de grado pequeño.
• Manejar la correspondencia de Galois, en especial en la caracterización de la resolubilidad por radicales de las ecuaciones polinómicas.

### 3. Programa de la asignatura

1. Grupos, nociones básicas.
2. Grupos de permutaciones.
3. Acciones de grupos y simplicidad de A5.
4. Anillos, cuerpos y polinomios y existencia de raices.
5. Extensiones de cuerpos, extensiones algebraicas.
6. Extensiones normales. El grupo de Galois.
7. El teorema de Galois. Grupos resolubles. Resolubilidad por radicales de ecuaciones algebraicas.

Clases magistrales: 30 horas.
Resolución de problemas y casos: 30 horas.
Estudio: 85 horas.
Pruebas de evaluación: 5 horas.

### 5. Sistema de evaluación

Habrá una prueba parcial P, calificada entre 0 y 10 puntos, y una prueba final, en las fechas previstas en el calendario académico, que constará de dos partes A y B, cada una calificada sobre 10 puntos. La nota final del estudiante por evaluación continua será el máximo de 0.5P + 0.5B y 0.5A + 0.5B. El alumnado que haya superado con éxito la prueba parcial, podrá presentarse únicamente, si así lo desea, a la parte B de la prueba final.

La calificación de la convocatoria de julio será la calificación obtenida en el examen único de esa convocatoria.

En la opción en inglés, no se evaluarán las pruebas escritas en un idioma distinto al inglés.