## 30605 - Mathematics II

### Syllabus Information

2023/24
Subject:
30605 - Mathematics II
Faculty / School:
109 - Facultad de Economía y Empresa
Degree:
ECTS:
6.0
Year:
1
Semester:
Second semester
Subject type:
Basic Education
Module:
---

### 1. General information

Mathematics in the degree of Business Administration and Management will support other key subjects such as Microeconomics, Macroeconomics and Econometrics.

Mathematics instruction in this course has two main objectives: to train students in mathematics and to train them for use in their future profession. In addition to the goals covered in Mathematics I, the aim is to develop a rigorous approach , abstraction capacity and the scientific method characteristic of Mathematics.  Modeling techniques related to classical optimization, linear programming and dynamic analysiswill be introduced at.

These approaches are aligned with the Sustainable Development Goals (SDGs) of the UN's 2030 Agenda, as the mathematical modeling can be applied to all 17 goals.

It is recommended to have taken Mathematics I.

### 2. Learning results

At the end of the subject the students will be able to:

1.- Acquire skills in the use of mathematical language, both in comprehension and writing.

2.- Identify the fundamental elements of an optimization problem: variables, objective function and constraints.

3.- Pose static optimization problems with and without equality and inequality constraints.

4.- Solve optimization problems graphically, when possible.

5.- Evaluate whether a mathematical program meets the conditions to be solved by means of the techniques studied.

6.- Distinguish between critical and extreme or optimal points.

7.- Distinguish between local optima and global optima.

8.- Distinguish between necessary and sufficient conditions of local optimality.

9.- Calculate the critical points by solving the system of equations obtained by posing the first order conditions of local optimality, both in unconstrained and constrained problems.

10.- To study the critical points using the second order conditions, in problems without constraints and with equality constraint.

11.- Apply conditions that ensure the globality of the optimums.

12.- Interpret the economic significance of Lagrange multipliers in optimization problems with equality constraints.

13.- Assess whether a mathematical program is linear and solve it graphically, if possible, and by means of the simplex algorithm.

14.- Analyze the variation in the solution of a linear optimization problem in response to changes in the data, without solving a new problem

15.- Identify a dynamic process in an economic phenomenon and represent it by means of an ordinary differential equation, if possible

16.- Understand the concept of solution of an ordinary differential equation and distinguish between general solution and particular solution

17.- Distinguish between first order differential equation and linear differential equation of order n.

18.- Solve some first order differential equations using the appropriate method.

19.- To distinguish in a linear differential equation of constant coefficients the associated homogeneous equation and to calculate its general solution.

20.- Calculate a particular solution of a linear differential equation of constant coefficients.

21.- Calculate the general solution of a linear differential equation of constant coefficients.

22.- Calculate the solution of a linear differential equation of constant coefficients of order n with n initial conditions.

23.- Use qualitative analysis in simple dynamic models in an economic context to identify equilibrium and its long-run extent

24.- Identify the fundamental elements in an economic problem, formalize it as a mathematical problem, solve it with the most appropriate tool and interpret the results in the original economic context

### 3. Syllabus

Unit 1: Mathematical programs

1.1. General formulation of a mathematical program. Classification.

1.2. Definitions and properties. Weierstrass theorem.

1.3. Graphic resolution.

1.4- Introduction to convexity:

1.4.1. Convex sets. Definition and properties.

1.4.2. Convex and concave functions. Definitions and properties.

1.4.3. Convex programs.

Unit 2: Unrestricted programming

2.1- Problem formulation.

2.2- Optimal premises:

2.2.1. First-order conditions for the existence of local optimality.

2.2.2. Second-order conditions for the existence of local optimality.

2.3- Global optimums: Convex programs.

Unit 3: Programming with equality constraints

3.1- Problem formulation.

3.2- Optimal premises:

3.2.1. First-order conditions for the existence of local optimality.

3.2.2. Second-order conditions for the existence of local optimality.

3.3- Global optimums: Convex programs and Weierstrass Theorem.

3.4- Economic interpretation of Lagrange multipliers.

Unit 4: Linear programming

4.1- Formulation of a linear programming problem.

4.2- Solutions of a linear program. Basic feasible solutions.

4.3- Characterization of the optimal basic solutions. Simplex algorithm.

4.4- Introduction to sensitivity analysis.

4.5- Introduction to the dual program.

Unit 5: Introduction to ordinary differential equations

5.1- Introduction to dynamic analysis.

5.2- Concept of differential equation, solution and types of solutions.

5.3- First order ordinary differential equations:

5.3.1. Equations in separate variables.

5.3.2. First order linear equations.

5.4- Linear differential equations of order n with constant coefficients.

5.5- Qualitative analysis: break-even points and stability.

Proposed:

Master classes: 30 hours. It will combine the presentation of concepts, results and participatory resolution of exercises, in where the theoretical aspects will be applied immediately. Classes will be face-to-face and will be given to the whole group.

Practical classes: 30 hours, solving exercises and problems of an economic nature with the help of the teacher. The exercises will be available at the url. Classes will be face-to-face and will be given to half of the group.

Personal work: 84 hours

• Teaching assignments: up to 24 hours, in which various activities directed and reviewed by the faculty may be carried out faculty.
• Study: from 60 hours.

Assessment tests. 6 hours

6 ECTS = 150 hours

In principle, the teaching methodology and its evaluation is planned to be based on face-to-face classes . However, if circumstances so require, they may be carried out online.

### 5. Assessment system

The assessment will be global, both in first and second call, and will consist of a final exam to be taken in the period established by the Center. This test will be written and will evaluate the proposed learning results by means of theoretical, practical and/or theoretical-practical questions that will be adjusted to the subject matter. Scoring out of 10 points.

In addition, in the first call, there is the possibility of  taking a voluntary intermediate test valued at 5 points. This test will assess the knowledge on the subject corresponding to units 1, 2 and 3 of the program, and will be carried out on the date and place that the teacher, with sufficient advance notice, will indicate in the classroom and/or teaching platforms of faculty. Students who obtain in this test a grade higher or equal to 50% of the grade (2.5 points out of 5) may choose to eliminate this subject from the global exam of the first call and take only the remaining contents (valued at 5 points); in which case the grade corresponding to the eliminated subject will be transferred to the grade of the global exam. To pass the subject the student must obtain a minimum of 5 points out of 10. In order to be eligible for this form of assessment it is mandatory to actively participate and solve the questions, exercises and tests that will be carried out in the classroom classes according to the indications that the teacher responsible for each group of the subject will expose the day of the presentation of the same. In this case it is necessary to participate in at least 75% of the proposed activities.

Evaluation criteria

It will be assessed whether the student has acquired the learning results outlined above. In particular, the following aspects will be assessed:

1. The correct use of writing mathematical language.

2. Logical reasoning in the approach and resolution of problems.

3. The reference to the theoretical content used is noteworthy.

4. The choice of the appropriate method for solving the problem.

5. Clarity in the application of mathematical concepts and procedures.

6. The correct expression in the results obtained when solving problems.

7. Interpretation of the results in the context of the problem posed, if applicable.

## 30605 - Matemáticas II

### Información del Plan Docente

2023/24
Asignatura:
30605 - Matemáticas II
109 - Facultad de Economía y Empresa
Titulación:
432 - Programa conjunto en Derecho-Administración y Dirección de Empresas
Créditos:
6.0
Curso:
1
Periodo de impartición:
Segundo semestre
Clase de asignatura:
Formación básica
Materia:
Matemáticas

### 1. Información básica de la asignatura

Las Matemáticas en el grado de Administración y Dirección de Empresas darán respaldo a otras asignaturas clave como Microeconomía, Macroeconomía y Econometría.

La enseñanza matemática en este curso tiene dos objetivos principales: formar a los estudiantes en matemáticas y capacitarlos para su uso en su futura profesión. Además de los objetivos cubiertos en Matemáticas I, se busca desarrollar un enfoque riguroso, capacidad de abstracción y el método científico característico de las Matemáticas. Se introducirán técnicas de modelización relativas a la optimización clásica, programación lineal y al análisis dinámico.

Estos enfoques están alineados con los Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS) de la Agenda 2030 de la ONU, ya que las modelizaciones matemáticas pueden aplicarse a los 17 objetivos.

Se recomienda haber cursado Matemáticas I.

Al final de la asignatura el estudiantado será capaz de:

1.-    Adquirir destreza en el uso del lenguaje matemático, tanto en comprensión como en escritura.

2.-    Identificar los elementos fundamentales de un problema de optimización: variables, función objetivo y restricciones.

3.-    Plantear problemas de optimización estática con y sin restricciones de igualdad y desigualdad.

4.-    Resolver gráficamente, cuando sea posible, problemas de optimización.

5.-    Evaluar si un programa matemático cumple las condiciones para ser resuelto mediante las técnicas estudiadas.

6.-    Distinguir entre puntos críticos y extremos u óptimos.

7.-    Distinguir entre óptimos locales y óptimos globales.

8.-    Distinguir entre condiciones necesarias y suficientes de optimalidad local.

9.-    Calcular los puntos críticos resolviendo el sistema de ecuaciones obtenido al plantear las condiciones de primer orden de optimalidad local, tanto en problemas sin restricciones como con restricciones de igualdad.

10.- Estudiar los puntos críticos utilizando las condiciones de segundo orden, en problemas sin restricciones y con restricciones de igualdad.

11.- Aplicar condiciones que aseguren la globalidad de los óptimos.

12.- Interpretar el significado económico de los multiplicadores de Lagrange en problemas de optimización con restricciones de igualdad.

13.- Evaluar si un programa matemático es lineal y resolverlo gráficamente, si es posible, y mediante el algoritmo del simplex.

14.- Analizar la variación en la solución de un problema de optimización lineal ante modificaciones en los datos, sin resolver un nuevo problema.

15.- Identificar un proceso dinámico en un fenómeno económico y representarlo mediante una ecuación diferencial ordinaria, si es posible.

16.- Comprender el concepto de solución de una ecuación diferencial ordinaria y distinguir entre solución general y solución particular.

17.- Distinguir entre ecuación diferencial de primer orden y ecuación diferencial lineal de orden n.

18.- Resolver algunas ecuaciones diferenciales de primer orden utilizando el método adecuado.

19.- Distinguir en una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes la ecuación homogénea asociada y calcular su solución general.

20.- Calcular una solución particular de una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes.

21.- Calcular la solución general de una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes.

22.- Calcular la solución de una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes de orden n con n condiciones iniciales.

23.- Utilizar el análisis cualitativo en modelos dinámicos sencillos en un contexto económico para identificar el equilibrio y su alcance a largo plazo.

24.- Identificar los elementos fundamentales en un problema económico, formalizarlo como un problema matemático, resolverlo con la herramienta más adecuada e interpretar los resultados en el contexto económico original.

### 3. Programa de la asignatura

Tema 1: Programas matemáticos

1.1. Formulación general de un programa matemático. Clasificación.

1.2. Definiciones y propiedades. Teorema de Weierstrass.

1.3. Resolución gráfica.

1.4.1. Conjuntos convexos. Definición y propiedades.

1.4.2. Funciones convexas y cóncavas. Definiciones y propiedades.

1.4.3. Programas convexos.

Tema 2: Programación sin restricciones

2.1. Formulación del problema.

2.2. Óptimos locales:

2.2.1. Condiciones de primer orden para la existencia de óptimo local.

2.2.2. Condiciones de segundo orden para la existencia de óptimo local.

2.3. Óptimos globales: Programas convexos.

Tema 3: Programación con restricciones de igualdad

3.1. Formulación del problema.

3.2. Óptimos locales:

3.2.1. Condiciones de primer orden para la existencia de óptimo local.

3.2.2. Condiciones de segundo orden para la existencia de óptimo local.

3.3. Óptimos globales: Programas convexos y Teorema de Weierstrass.

3.4. Interpretación económica de los multiplicadores de Lagrange.

Tema 4: Programación lineal

4.1. Formulación de un problema de programación lineal.

4.2. Soluciones de un programa lineal. Soluciones factibles básicas.

4.3. Caracterización de las soluciones básicas óptimas. Algoritmo del simplex.

4.4. Introducción al análisis de sensibilidad.

4.5. Introducción al programa dual.

Tema 5: Introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias

5.1. Introducción al análisis dinámico.

5.2. Concepto de ecuación diferencial, solución y tipos de soluciones.

5.3. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden:

5.3.2. Ecuaciones lineales de primer orden.

5.4. Ecuaciones diferenciales lineales de orden n con coeficientes constantes.

5.5. Análisis cualitativo: puntos de equilibrio y estabilidad.

Se propone:

Clases magistrales: 30 horas. Se combinará la exposición de conceptos, resultados y resolución participativa de ejercicios, en los que se aplicará de forma inmediata los aspectos teóricos. Las clases serán presenciales y se impartirán a todo el grupo.

Clases prácticas: 30 horas, resolución de ejercicios y problemas de carácter económico con la ayuda del profesorado. Los ejercicios estarán disponibles en la url. Las clases serán presenciales y se impartirán a la mitad del grupo.

Trabajo personal: 84 horas

• Trabajos docentes: hasta 24 horas, en los que se podrán realizar diversas actividades dirigidas y revisadas por el profesorado.
• Estudio: desde 60 horas.

Pruebas de evaluación: 6 horas

6 ECTS = 150 horas

En principio la metodología de impartición de la docencia y su evaluación está previsto que pivote alrededor de clases presenciales. No obstante, si las circunstancias lo requieren, podrán realizarse de forma online.

### 5. Sistema de evaluación

La evaluación será global, tanto en primera como en segunda convocatoria, y consistirá en un examen final a realizar en el periodo establecido por el Centro. Dicho examen se realizará de forma escrita y evaluará los resultados de aprendizaje propuestos mediante preguntas teóricas, prácticas y/o teórico-prácticas que se ajustarán a la materia impartida. Se puntuará sobre 10 puntos.

Además, en la primera convocatoria, cabe la posibilidad de realizar una prueba voluntaria intermedia valorada en 5 puntos. Esta prueba evaluará los conocimientos sobre la materia correspondiente a los temas 1, 2 y 3 del programa, y se llevará a cabo en la fecha y lugar que el profesor, con suficiente antelación, indique en el aula y/o plataformas docentes del profesorado. Los estudiantes que obtengan en dicha prueba una calificación superior o igual al 50% de la nota (2,5 puntos sobre 5) podrán optar por eliminar dicha materia del examen global de la primera convocatoria y examinarse únicamente de los restantes contenidos (valorados en 5 puntos); en cuyo caso la nota correspondiente a la materia eliminada será traspasada a la nota del examen global. Para superar la asignatura el estudiante debe obtener un mínimo de 5 puntos sobre 10. Para poder optar a esta forma de evaluación es obligatorio participar activamente y resolver las cuestiones, ejercicios y pruebas que se realizarán en las clases presenciales según las indicaciones que el profesor responsable de cada grupo de la asignatura expondrá el día de la presentación de la misma. En tal caso es necesario participar en al menos el 75% de las actividades propuestas.

Criterios de evaluación

Se evaluará si el estudiante ha adquirido los resultados de aprendizaje expuestos anteriormente. En particular, se valorarán los siguientes aspectos:

1. El uso correcto de la escritura del lenguaje matemático.
2. El razonamiento lógico en el planteamiento y en la resolución de los problemas.
3. La referencia al contenido teórico que se utiliza, si es destacable.