27608 - Mathematics II

Teaching Plan Information

2023/24
Subject:
27608 - Mathematics II
Faculty / School:
109 - Facultad de Economía y Empresa
Degree:
450 - Degree in Marketing and Market Research
ECTS:
6.0
Year:
1
Semester:
Second semester
Subject type:
Basic Education
Module:
---

1. General information

Mathematics instruction in this year has two main goals: to train students in mathematics and to train them for use in their future profession. In addition to the goals covered in Mathematics I, the aim is to develop a rigorous approach , abstraction capacity and the scientific method characteristic of Mathematics.  Modeling techniques related to classical optimization, linear programming and dynamic analysiswill be introduced at.

These approaches are aligned with the Sustainable Development Goals (SDGs) of the UN's 2030 Agenda, as the mathematical modeling can be applied to all 17 goals.

It is recommended to have acquired the necessary knowledge to pass the subject Mathematics I.

2. Learning results

• Has acquired proficiency in the use of mathematical language, both in its comprehension and writing.

• Identifies the fundamental elements of an optimization problem: variables, objective function and constraints.

• It poses static optimization problems without constraints and with equality and inequality constraints.

• Solve graphically, where possible, an optimization problem.

• Assesses whether a mathematical program meets the conditions to be solved using the techniques studied.

• Distinguish between critical and extreme or optimal points.

• Distinguishes between local optima and global optima

• Distinguishes between necessary conditions and sufficient conditions of local optimality

• Calculate the critical points by solving the system of equations obtained by posing the first order conditions of local optimality, both in the unconstrained case and in the case of equality constraints.

• Study the critical points obtained using the second order conditions, both in the case of unconstrained optimization problems and in the case of problems with equality constraints.

• It applies the conditions that ensure the globality of the optimums.

• Interpret the economic significance of Lagrange multipliers obtained in an optimization problem with equality constraints.

• Evaluates whether a mathematical program is linear and solves it graphically, if possible, and by means of the simplex algorithm.

• Analyze the variation in the solution of a linear optimization problem in the presence of a modification in some data of the problem without the need to solve a new problem.

• Solve, using appropriate computer programs, an optimization problem and interpret the results obtained.

• Identify a dynamic process in an economic phenomenon and represent it if possible by means of an ordinary differential equation.

• Understands the concept of solution of an ordinary differential equation and distinguishes between a general solution and a particular solution.

• Distinguish between first order differential equation and linear differential equation of order n.

• Solve some first order differential equations using the appropriate method.

• Distinguish in a linear differential equation of constant coefficients, the associated homogeneous equation and calculate its general solution.

• Calculate a particular solution of a linear differential equation of constant coefficients.

• Calculate the general solution of a linear differential equation of constant coefficients.

• Calculate the solution of a linear differential equation of constant coefficients of order n with n initial conditions.

• Is able to relate the different topics covered in the course.

3. Syllabus

UNIT 1: Mathematical programs

1.1. General formulation of a mathematical program. Classification.

1.2. Definitions and properties. Weierstrass theorem.

1.3. Graphic resolution.

1.4- Introduction to convexity:

1.4.1. Convex sets. Definition and properties.

1.4.2. Convex and concave functions. Definitions and properties.

1.4.3. Convex programs.

UNIT 2: Unrestricted programming

2.1- Problem formulation.

2.2- Optimal premises:

2.2.1. First-order conditions for the existence of local optimality.

2.2.2. Second-order conditions for the existence of local optimality.

2.3- Global optimums: Convex programs.

UNIT 3: Programming with equality constraints

3.1- Problem formulation.

3.2- Optimal premises:

3.2.1. First-order conditions for the existence of local optimality.

3.2.2. Second-order conditions for the existence of local optimality.

3.3- Global optimums: Convex programs and Weierstrass Theorem.

3.4- Economic interpretation of Lagrange multipliers.

UNIT 4: Linear programming

4.1- Formulation of a linear programming problem.

4.2- Solutions of a linear program. Basic feasible solutions.

4.3- Characterization of the optimal basic solutions. Simplex algorithm.

4.4- Introduction to sensitivity analysis.

4.5- Introduction to the dual program.

UNIT 5: Introduction to ordinary differential equations

5.1- Introduction to dynamic analysis.

5.2- Concept of differential equation, solution and types of solutions.

5.3- First order ordinary differential equations:

5.3.1. Equations in separate variables.

5.3.2. First order linear equations.

5.4- Linear differential equations of order n with constant coefficients.

5.5- Qualitative analysis: break-even points and stability.

Master classes: 30 hours

Practical classes: 30 hours

Other Activities (Tutorials, Personal Study, Works, Seminars, Evaluation Tests, ...): 90 hours

5. Assessment system

The evaluation will be global, both in first and second call, and will consist of a final exam to be taken on the dates established by the Center. This exam will be written and will evaluate the proposed learning results by means of theoretical, practical and/or theoretical-practical questions that will be adjusted to the subject matter. Scoring out of 10 points.

In addition, in the first call, there is the possibility of taking a voluntary intermediate test valued at 5 points.

This test will evaluate the knowledge on the subject corresponding to topics 1, 2 and 3 of the program, and will be carried out on the date and place that the professor, with sufficient notice, will indicate in the classroom and/or teaching platforms of the teaching staff. The students who obtain in this test a grade higher or equal to 50% of the grade (2.5 points out of 5) may choose to eliminate this subject from the global exam of the first call and only examine the remaining contents (valued at 5 points); in which case the grade corresponding to the eliminated subject will be transferred to the grade of the global exam . To pass the subject the student must obtain a minimum of 5 points out of 10. In order to be eligible for this form of assessment, it is compulsory to actively participate and solve the questions, exercises and tests that will be carried out in the classes according to the indications that the lecturer responsible for each group of the subject will give on the day of the presentation of the subject. In this case it is necessary to participate in at least 75% of the proposed activities.

Assessment Criteria:

It will be assessed whether the student has acquired the learning results outlined above. In particular, the following will be valued following aspects:

• The correct use of writing mathematical language.

• Logical reasoning in the approach and resolution of problems.

• The reference to the theoretical content used is noteworthy.

• The choice of the appropriate method for solving the problem.

• Clarity in the application of mathematical concepts and procedures.

• The correct expression in the results obtained when solving problems.

• Interpretation of the results in the context of the problem posed, if applicable.

27608 - Matemáticas II

Información del Plan Docente

2023/24
Asignatura:
27608 - Matemáticas II
109 - Facultad de Economía y Empresa
Titulación:
Créditos:
6.0
Curso:
1
Periodo de impartición:
Segundo semestre
Clase de asignatura:
Formación básica
Materia:
Matemáticas

1. Información básica de la asignatura

La enseñanza matemática en este curso tiene dos objetivos principales: formar a los estudiantes en matemáticas y capacitarlos para su uso en su futura profesión. Además de los objetivos cubiertos en Matemáticas I, se busca desarrollar un enfoque riguroso, capacidad de abstracción y el método científico característico de las Matemáticas. Se introducirán técnicas de modelización relativas a la optimización clásica, programación lineal y al análisis dinámico.

Estos enfoques están alineados con los Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS) de la Agenda 2030 de la ONU, ya que las modelizaciones matemáticas pueden aplicarse a los 17 objetivos.

Se recomienda haber adquirido los conocimientos necesarios para superar la asignatura Matemáticas I.

• Ha adquirido destreza en el uso del lenguaje matemático, tanto en su comprensión como en su escritura.
• Identifica los elementos fundamentales de un problema de optimización: variables, función objetivo y restricciones.
• Plantea problemas de optimización estática sin restricciones y con restricciones de igualdad y de desigualdad.
• Resuelve gráficamente, en los casos en que sea posible, un problema de optimización.
• Valora si un programa matemático cumple las condiciones para ser resuelto mediante las técnicas estudiadas.
• Distingue entre puntos críticos y extremos u óptimos.
• Distingue entre óptimos locales y óptimos globales
• Distingue entre condiciones necesarias y condiciones suficientes de optimalidad local
• Calcula los puntos críticos resolviendo el sistema de ecuaciones obtenido al plantear las condiciones de primer orden de optimalidad local, tanto en el caso sin restricciones como en el caso de restricciones de igualdad
• Estudia los puntos críticos obtenidos utilizando las condiciones de segundo orden, tanto en el caso de problemas de optimización sin restricciones como en el caso de problemas con restricciones de igualdad.
• Aplica las condiciones que aseguran la globalidad de los óptimos.
• Interpreta el significado económico de los multiplicadores de Lagrange obtenidos en un problema de optimización con restricciones de igualdad.
• Evalúa si un programa matemático es lineal y lo resuelve gráficamente, si es posible, y por medio del algoritmo del simplex.
• Analiza la variación en la solución de un problema de optimización lineal ante una modificación en algún dato del problema sin necesidad de resolver un nuevo problema.
• Identifica un proceso dinámico en un fenómeno económico y lo representa si es posible mediante una ecuación diferencial ordinaria.
• Comprende el concepto de solución de una ecuación diferencial ordinaria y distingue entre solución general y solución particular.
• Distingue entre ecuación diferencial de primer orden y ecuación diferencial lineal de orden n.
• Resuelve algunas ecuaciones diferenciales de primer orden utilizando el método adecuado.
• Distingue en una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes, la ecuación homogénea asociada y calcula su solución general.
• Calcula una solución particular de una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes.
• Calcula la solución general de una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes.
• Calcula la solución de una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes de orden n con n condiciones iniciales.
• Es capaz de relacionar los distintos temas tratados en la asignatura.

3. Programa de la asignatura

TEMA 1: Programas matemáticos
1.1. Formulación general de un programa matemático. Clasificación.
1.2. Definiciones y propiedades. Teorema de Weierstrass.
1.3. Resolución gráfica.
1.4.1. Conjuntos convexos. Definición y propiedades.
1.4.2. Funciones convexas y cóncavas. Definiciones y propiedades.
1.4.3. Programas convexos.
TEMA 2: Programación sin restricciones
2.1. Formulación del problema.
2.2. Óptimos locales:
2.2.1. Condiciones de primer orden para la existencia de óptimo local.
2.2.2. Condiciones de segundo orden para la existencia de óptimo local.
2.3. Óptimos globales: Programas convexos.
TEMA 3: Programación con restricciones de igualdad
3.1. Formulación del problema.
3.2. Óptimos locales:
3.2.1. Condiciones de primer orden para la existencia de óptimo local.
3.2.2. Condiciones de segundo orden para la existencia de óptimo local.
3.3. Óptimos globales: Programas convexos y Teorema de Weierstrass.
3.4. Interpretación económica de los multiplicadores de Lagrange.
TEMA 4: Programación lineal
4.1. Formulación de un problema de programación lineal.
4.2. Soluciones de un programa lineal. Soluciones factibles básicas.
4.3. Caracterización de las soluciones básicas óptimas. Algoritmo del simplex.
4.4. Introducción al análisis de sensibilidad.
4.5. Introducción al programa dual.
TEMA 5: Introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias
5.1. Introducción al análisis dinámico.
5.2. Concepto de ecuación diferencial, solución y tipos de soluciones.
5.3. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden:
5.3.2. Ecuaciones lineales de primer orden.
5.4. Ecuaciones diferenciales lineales de orden n con coeficientes constantes.
5.5. Análisis cualitativo: puntos de equilibrio y estabilidad.

Clases magistrales: 30 horas
Clases prácticas: 30 horas
Otras Actividades (Tutorías, Estudio Personal, Trabajos, Seminarios, Pruebas de evaluación, …): 90 horas

5. Sistema de evaluación

La evaluación será global, tanto en primera como en segunda convocatoria, y consistirá en un examen final a realizar en las fechas establecidas por el Centro. Dicho examen se realizará de forma escrita y evaluará los resultados de aprendizaje propuestos mediante preguntas teóricas, prácticas y/o teórico-prácticas que se ajustarán a la materia impartida. Se puntuará sobre 10 puntos.

Además, en la primera convocatoria, cabe la posibilidad de realizar una prueba voluntaria intermedia valorada en 5 puntos. Esta prueba evaluará los conocimientos sobre la materia correspondiente a los temas 1, 2 y 3 del programa, y se llevará a cabo en la fecha y lugar que el profesor, con suficiente antelación, indique en el aula y/o plataformas docentes del profesorado. Los estudiantes que obtengan en dicha prueba una calificación superior o igual al 50% de la nota (2,5 puntos sobre 5) podrán optar por eliminar dicha materia del examen global de la primera convocatoria y examinarse únicamente de los restantes contenidos (valorados en 5 puntos); en cuyo caso la nota correspondiente a la materia eliminada será traspasada a la nota del examen global. Para superar la asignatura el estudiante debe obtener un mínimo de 5 puntos sobre 10. Para poder optar a esta forma de evaluación es obligatorio participar activamente y resolver las cuestiones, ejercicios y pruebas que se realizarán en las clases presenciales según las indicaciones que el profesor responsable de cada grupo de la asignatura expondrá el día de la presentación de la misma. En tal caso es necesario participar en al menos el 75% de las actividades propuestas.

Criterios de Evaluación:
Se evaluará si el estudiante ha adquirido los resultados de aprendizaje expuestos anteriormente. En particular, se valorarán los siguientes aspectos:

• El uso correcto de la escritura del lenguaje matemático.
• El razonamiento lógico en el planteamiento y en la resolución de los problemas.
• La referencia al contenido teórico que se utiliza, si es destacable.