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Academic Year/course: 2023/24

27302 - Mathematics I

Syllabus Information

Academic year:
27302 - Mathematics I
Faculty / School:
109 - Facultad de Economía y Empresa
228 - Facultad de Empresa y Gestión Pública
301 - Facultad de Ciencias Sociales y Humanas
448 - Degree in Business Administration and Management
454 - Degree in Business Administration and Management
458 - Degree in Business Administration and Management
First semester
Subject type:
Basic Education

1. General information

Mathematics subjects are, for future graduates in Business Administration and Management, a methodological work instrument that should serve as support to other subjects, such as Microeconomics, Macroeconomics, Econometrics, etc.
The general aim of these subjects is to study the economic problems from a formal point of view, that is to say, to model the economic reality in order to understand it, and to provide a scientific explanation of what happened and also to try to predict what is going to happen.

In particular, the course Mathematics I is intended to extend mathematical knowledge of the matrix calculation and functions of one variable and introducing the study of functions of several variables, thus preparing the student to assimilate in Mathematics II, taught in the second semester of this year, mathematical tools used in economic analysis, mainly in the field of economic theory and Econometrics. This first course helps the students to take off their knowledge of mainly operational tools of mathematics in high school, to the rigor and abstraction of the scientific field of mathematics, allowing them to deal with other subjects of the degree that use mathematical apparatus and future challenges within their profession. At the end of the course the student will know with some precision the mathematical language, which will allow the students to understand economic concepts and interpret results with some rigor, and meet a set of instruments and methods that will allow them the resolution of simple economic problems.

These objectives are aligned with the Sustainable Development Objectives (ODS) of the United Nations 2030 agenda (, in particular, the tasks planned in this subject will contribute to the achievement of objectives 1-17 since in all of them mathematical modelizations can be formulated.
Students should have the level of skills required by the subject “Mathematics Applied to Social Sciences II” (Spanish Secondary Education) in arithmetic operations, matrix theory, and calculus of real-valued functions of one real-valued variable.

2. Learning results

At the end of the course, students will be able to:1: use mathematical language, both in comprehension and writing.
2: distinguish whether the relations between variables in a problem are linear or non-linear, and to be able to represent the different cases by means of a suitable mathematical tool.
3: use matrix notation and matrix calculus to represent and solve a problem of an economic nature with linear relations between variables.
4: know how to solve a consistent system of linear equations by the most suitable method and be able to interpret the solutions in accordance with the underlying context.
5: identify a diagonalisable square matrix and diagonalise a square matrix when this is possible.
6: apply matrix diagonalisation to an economic context, such as the study of a dynamical process in the long run.
7: identify a quadratic form and determine its sign by the most suitable method.
8: distinguish the endogenous and exogenous variables of an economic system and to know how to use functions to represent the relations between these variables.
9: understand the concepts of continuous and differentiable function applied to an economic context.
10: be skilled in calculating partial derivatives and in their interpretation in Economics.
11: identify the chained dependency between different variables and to know how to calculate the variation in the final variables with respect to any of the initial ones.
12: distinguish whether a function is written in explicit or implicit form and to know how to obtain the partial derivatives in both cases.
13: identify a homogeneous function and its implications, in particular, in the scenario of production functions.
14: know which mathematical tool allows the recovery of a total magnitude from the corresponding marginal magnitude.
15: understand the concepts of primitive function and indefinite integral.
16: identify whether the indefinite integral of a function can be obtained by basic integration and to be able to work it out by using the table of basic integrals. Identify the most adequate method for computing the indefinite integral of a function.
17: understand the geometrical interpretation of the Riemann definite integral.
18: apply the second fundamental theorem of calculus to obtain the value of a definite integral.

3. Syllabus

Topic 1. Matrices
1.1. Determinants. Applications: calculation of the rank of one matrix, calculation of the inverse matrix and Cramer’s Rule.
1.2. Rn: Generating systems. Bases.
1.3. Diagonalization of square matrices:
1.3.1. Eigenvalues and eigenvectors of a square matrix: definition and calculation.
1.3.2. Diagonalization of a square matrix.
1.3.3. Application to the calculation of matrix powers.

Topic 2. Real quadratic forms
2.1. Quadratic forms: definition. Matrix expression and polynomial expression.
2.2. Diagonal expression of a quadratic form.
2.3. Classification of a quadratic form according to its sign.
2.4. Constrained quadratic forms.

Topic 3. Functions from Rn to Rm
3.1. Preliminaries: topological concepts.
3.2. Functions: domain, range and graph. Level sets of scalar functions.
3.3. Continuity of a function.
3.4. Differentiation of a function. Partial derivatives. Gradient vector. Jacobian matrix.
3.5. Differentiability. Directional derivative of differentiable functions.
3.6. Differentiation of composed functions: Chain’s Rule. Tree diagrams.
3.7. Higher order derivatives. Schwarz’s Theorem. Hessian matrix. Taylor’s Theorem.
3.8. Implicit function Theorem. Differentiation of implicit functions.
3.9. Homogeneous functions. Euler’s Theorem.
3.10. Basic integration methods of function of one variable. Barrow’s Rule.

4. Academic activities

To facilitate the students' achievement of the planned learning outcomes, it is proposed:
Lectures: 30 hours, in which will be presented the concepts and results corresponding to the contents. At the same time, some exercises will be solved with the participation of the students to help them comprehend the theoretical concepts presented. These classes are face-to-face and will be given to the full group.
Problem and case solving in the classroom: 30 hours, in which the students will apply the theoretical results in order to solve, with the teacher’s help, more complete exercises, and problems of an economic nature. Problem sets will be available for the students ( These classes are face-to-face and will be given separately to each subgroup.
Other activities (Answering questions, autonomous work and study, projects, seminars, exams, …): 90 hours.
6 ECTS = 150 hours
The teaching methodology and its evaluation is expected to be face-to-face. However, if for some reason it were necessary, they might take place online.

5. Assessment system

The evaluation will be GLOBAL in both the first and second sittings. It will consist of a final exam to be taken on the dates determined by the Faculty. The global exam will be written and will assess the proposed learning outcomes through questions that are theoretical, practical, or of a mixed theoretic-practical character and that will be based on the topics taught. It will be worth 10 points.
In addition, in the first sitting, it will be possible for students to take a voluntary intermediate test worth 5 points. This test will assess the student's knowledge of the Chapters 1 and 2 of the subject, and it will take place during the class schedule. The students who obtain a mark of at least 50% of the maximum value in this test (2.5 points out of 5) will be able to eliminate the corresponding topics from the global exam at the first sitting, and to take the exam of only the rest of the contents (worth 5 points out of 10). In this case, the mark corresponding to the eliminated topics will be added to the mark of the global exam. In order to pass the subject the student should obtain a minimum of 5 points out of 10. If the student obtains a mark of at least 2.5 points out of 5 in the intermediate test and wants to do the whole global exam anyway, the best of the two marks in the first part of the subject will be considered to compute the final mark.
To be eligible for this form of assessment students are required to participate actively and resolve issues, exercises and tests to be carried out in the classroom, according to indications that the teacher in charge of each group of the subject will be exhibiting the same day of the presentation. In such a case, it is necessary to attend and participate in at least 75% of the face-to-face sessions or proposed activities. The student that at the end of the semester does not fulfill this requirement will not be able to be eligible to this procedure of assessment.
It has to be taken into account that the evaluation process closes at the end of the academic year, so it is not possible to claim academic merits from one academic year in a later one.

Evaluation criteria
Students will be assessed on whether they have acquired the learning outcomes mentioned above. In particular, they will be assessed on the following aspects:
1. Correct mathematical writing.
2. Logical reasoning in the posing and solving of the problems.
3. Reference to the theoretical results used, when relevant.
4. The choice of the most appropriate method for the solving of problems.
5. Clarity in the application of mathematical concepts and procedures.
6. The correct expression of the results obtained when solving problems.
7. The interpretation of the results, if applicable, in the context of the given problem.

Curso Académico: 2023/24

27302 - Matemáticas I

Información del Plan Docente

Año académico:
27302 - Matemáticas I
Centro académico:
109 - Facultad de Economía y Empresa
228 - Facultad de Empresa y Gestión Pública
301 - Facultad de Ciencias Sociales y Humanas
448 - Graduado en Administración y Dirección de Empresas
454 - Graduado en Administración y Dirección de Empresas
458 - Graduado en Administración y Dirección de Empresas
Periodo de impartición:
Primer semestre
Clase de asignatura:
Formación básica

1. Información básica de la asignatura

Las asignaturas de Matemáticas son, para los futuros graduados en Administración y Dirección de Empresas, un instrumento metodológico de trabajo que debe servir de apoyo a otras asignaturas, como Microeconomía, Macroeconomía, Econometría, etc.

El objetivo general de estas materias es estudiar los problemas económicos desde un punto de vista formal, es decir, modelar la realidad económica para poder entenderla y dar una explicación científica de lo que ha ocurrido, así como intentar predecir lo que va a ocurrir.

En concreto, la asignatura Matemáticas I tiene como objetivo ampliar los conocimientos matemáticos relativos al cálculo matricial y funciones de una variable e introducir el estudio de funciones de varias variables, preparando así al estudiantado para asimilar en Matemáticas II, impartida en el segundo cuatrimestre de este curso, las herramientas matemáticas más utilizadas en el análisis económico, fundamentalmente en el campo de la Teoría Económica y de la Econometría. Esta primera asignatura de Matemáticas ayuda al estudiantado a despegar de sus conocimientos fundamentalmente calculísticos, propios de las Matemáticas en enseñanzas medias, hacia el rigor y la abstracción propios del campo científico de la Matemática, lo que le permitirá enfrentarse a otras asignaturas del grado que utilicen aparato matemático y a futuros retos dentro de su profesión. Al finalizar la asignatura el estudiantado conocerá con cierta precisión el lenguaje matemático, que le permitirá entender conceptos económicos e interpretar resultados con cierto rigor, y conocerá un conjunto de instrumentos y métodos de cálculo que le permitirán la resolución de problemas económicos sencillos.

Estos planteamientos y objetivos están alineados con los Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS) de la Agenda 2030 de Naciones Unidas (, en concreto, las actividades previstas en la asignatura contribuirán al logro de los objetivos 1-17 ya que en todos pueden aplicarse modelizaciones matemáticas.

Es aconsejable que al inicio de esta asignatura el estudiantado tenga destreza en el manejo de operaciones aritméticas, de matrices y de funciones reales de una variable real, a nivel de los conocimientos adquiridos en la asignatura de Bachillerato Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II.

2. Resultados de aprendizaje

Al final de la asignatura el estudiantado será capaz de:

1: Utilizar el lenguaje matemático, tanto en su comprensión como en su escritura.

2: Distinguir cuándo las relaciones entre las variables de un problema son lineales o no lineales y utilizar para su representación el instrumento matemático adecuado en cada caso.

3: Utilizar la notación y el cálculo matricial para representar y resolver un problema de carácter económico en el que las relaciones entre las variables son lineales.

4: Resolver un sistema de ecuaciones lineales compatible utilizando el método más adecuado e interpretar sus soluciones en el contexto del que provenga si es el caso.

5: Determinar si una matriz cuadrada es diagonalizable y diagonalizarla en su caso.

6: Aplicar la diagonalización de matrices cuadradas en el contexto económico, por ejemplo en el estudio de un proceso dinámico a largo plazo.

7: Identificar una forma cuadrática y determinar su signo con el procedimiento más adecuado.

8: Diferenciar en un fenómeno económico las variables endógenas y exógenas y representar mediante funciones las relaciones entre ellas.

9: Comprender el significado de los conceptos matemáticos de continuidad y diferenciabilidad en el contexto económico.

10: Tener destreza en el cálculo de derivadas parciales y en su interpretación en el ámbito económico.

11: Reconocer la dependencia en cadena de diferentes variables y calcular la variación de las variables finales respecto a cualquiera de las iniciales.

12: Reconocer si una función está dada en forma explícita o implícita y obtener las derivadas parciales en cualquier caso.

13: Reconocer cuándo una función es homogénea y las implicaciones de esta propiedad, en particular en el contexto de las funciones de producción.

14: Reconocer la herramienta matemática que permite determinar una magnitud total a partir de la correspondiente parcial

15: Comprender los conceptos de primitiva de una función e integral indefinida.

16: Reconocer si la integral indefinida de una función es inmediata y resolverla con la aplicación de la tabla de integrales inmediatas. Identificar el método más adecuado para calcular la integral indefinida de una función.

17: Comprender el significado geométrico de la integral definida: integral de Riemann.

18: Aplicar la regla de Barrow para el cálculo de la integral definida.

3. Programa de la asignatura

Tema 1. Matrices

1.1.   Determinantes. Aplicaciones: cálculo del rango de una matriz, cálculo de la matriz inversa y Regla de Cramer.

1.2.   Rn: Sistemas generadores. Bases.

1.3.   Diagonalización de matrices cuadradas:

1.3.1.   Valores propios y vectores propios de una matriz cuadrada: definición y cálculo.

1.3.2.   Diagonalización de una matriz cuadrada.

1.3.3.   Aplicación al cálculo de potencias de matrices.

Tema 2. Formas cuadráticas reales

2.1.    Formas cuadráticas: definición. Expresión matricial y expresión polinómica.

2.2.    Expresión diagonal de una forma cuadrática.

2.3.    Clasificación de una forma cuadrática según su signo.

2.4.    Formas cuadráticas restringidas.

Tema 3. Funciones de Rn en Rm

3.1.    Preliminares: conceptos topológicos.

3.2.    Funciones: dominio, rango y grafo. Conjuntos de nivel de funciones escalares.

3.3.    Continuidad de una función.

3.4.    Derivación de una función. Derivadas parciales. Vector gradiente. Matriz jacobiana.

3.5.    Función diferenciable. Derivada direccional de funciones diferenciables.

3.6.    Derivación de funciones compuestas: Regla de la cadena. Diagramas de árbol.

3.7.    Derivadas de orden superior. Teorema de Schwartz. Matriz hessiana. Teorema de Taylor.

3.8.    Teorema de la función implícita. Derivación de funciones implícitas.

3.9.    Funciones homogéneas. Teorema de Euler.

3.10. Métodos básicos de integración de una función de una variable. Regla de Barrow.

4. Actividades académicas

Para facilitar al estudiantado el logro de los resultados de aprendizaje previstos, se propone:

Clases magistrales: 30 horas, en las que se combinará la exposición de conceptos y resultados con la resolución participativa de ejercicios, en los que se aplicará de forma inmediata los aspectos teóricos explicados. Estas clases serán presenciales y se impartirán a todo el grupo.

Clases prácticas: 30 horas, en las que el estudiantado irá resolviendo, con la ayuda del profesor, ejercicios más completos y problemas de carácter económico. Estos ejercicios podrán encontrarse en la siguiente url. Estas clases serán presenciales y se impartirán a la mitad del grupo.

Otras actividades (Tutorías, Estudio Personal, Trabajos, Seminarios, Pruebas de evaluación, …): 90 horas.

6 ECTS = 150 horas

En principio la metodología de impartición de la docencia y su evaluación está previsto que pivote alrededor de clases presenciales. No obstante, si las circunstancias lo requieren, podrán realizarse de forma online.

5. Sistema de evaluación

La evaluación será GLOBAL, tanto en primera como en segunda convocatoria, y consistirá en un examen final a realizar en el periodo establecido por el Centro. Dicho examen se realizará de forma escrita y evaluará los resultados de aprendizaje propuestos mediante preguntas teóricas, prácticas y/o teórico-prácticas que se ajustarán a la materia impartida. Se puntuará sobre 10 puntos.

Además, en la PRIMERA CONVOCATORIA cabe la posibilidad de realizar una prueba voluntaria intermedia valorada en 5 puntos. Esta prueba evaluará los conocimientos sobre la materia correspondiente a los temas 1 y 2 del programa de la asignatura y se realizará en horario de clase. Si se obtiene en dicha prueba una calificación superior o igual al 50% de la nota (2,5 puntos sobre 5) se podrá optar por eliminar dicha materia del examen global de la primera convocatoria y examinarse únicamente de los restantes contenidos (valorados en 5 puntos); en este caso la nota correspondiente a la materia eliminada será traspasada a la nota del examen global. Para superar la asignatura deberá obtenerse un mínimo de 5 puntos sobre 10. Si el o la estudiante obtuviera una calificación superior o igual al 50% de la nota (2,5 puntos sobre 5) y quisiera realizar la totalidad de la prueba global, se le considerará la mejor de las dos calificaciones en la primera parte para calcular la nota total.

Para poder optar a esta forma de evaluación es obligatorio participar activamente y resolver las cuestiones, ejercicios y pruebas que se realizarán en las clases presenciales, según las indicaciones que el profesor responsable de cada grupo de la asignatura expondrá el día de la presentación de la misma. En tal caso es necesario asistir y participar en al menos el 75% de las sesiones presenciales y/o de actividades propuestas. El o la estudiante que al final del semestre no cumpla con este requisito no podrá optar a este procedimiento de evaluación.

Debe tenerse en cuenta que los cursos académicos cierran los procesos de evaluación, lo que hace que no puedan reclamarse méritos de un año para evaluaciones de años académicos posteriores.

Criterios de evaluación

Se evaluará si el estudiante ha adquirido los resultados de aprendizaje expuestos anteriormente. En particular se valorarán los siguientes aspectos:

  1. El uso correcto de la escritura del lenguaje matemático.
  2. El razonamiento lógico en el planteamiento y en la resolución de los problemas.
  3. La referencia al contenido teórico que se utiliza, si es destacable.
  4. La elección del método adecuado para la resolución del problema
  5. La claridad en la aplicación de los conceptos y procedimientos matemáticos.
  6. La expresión correcta en los resultados obtenidos al resolver problemas.
  7. La interpretación de los resultados, si procede, en el contexto del problema planteado.