## 26933 - Chaos and Nonlinear Dynamic Systems

### Syllabus Information

2023/24
Subject:
26933 - Chaos and Nonlinear Dynamic Systems
Faculty / School:
Degree:
447 - Degree in Physics
ECTS:
5.0
Year:
4 and 3
Semester:
Second semester
Subject type:
Optional
Module:
---

### 1. General information

The objective is to provide the student with the basic and computational tools necessary for the study of nonlinear dynamic systems . Its offer responds to an attempt to bring students closer to the study of problems that are usually outside the core curriculum, allowing them to approach the frontier of knowledge in the field of Statistical and Nonlinear Physics, a discipline of a transversal nature with implications in all areas of Science and Engineering.

The objectives are aligned with the following Sustainable Development Goals (SDGs):

• Goal 3: Health and wellness.

• Goal 11: Sustainable Cities and Communities

• Goal 15: Life of terrestrial ecosystems.

It is recommended to have taken Mathematical Analysis, Differential Equations and Computational Physics.

### 2. Learning results

The student, in order to pass this subject, must demonstrate the following results:

• Understands the uniqueness and importance of nonlinear dynamical systems.

• Is capable of analysing a nonlinear dynamic system.

• Knows the fundamental bifurcations of nonlinear dynamical systems.

• Understands and quantifies the phenomenon of chaos.

• Understands the basics of the synchronization phenomenon.

• Is able to develop dynamic models to analyse the compartmentalization of physical, social and biological systems. Recognizes and models nonlinear phenomena.

Upon completion of the subject the student will be able to:

• Analyse and understand nonlinear phenomena in various scientific fields.

• Master the tools of nonlinear science

• Develop and analyse nonlinear dynamic models.

• Understand paradigmatic phenomena in nonlinear science such as bifurcations, chaos and synchronization.

• Numerically simulate nonlinear dynamic systems.

### 3. Syllabus

Introduction

1) Low-dimensional dynamical systems:

1.1 Dynamical systems in one dimension. Flows in the line, bifurcations, flows in the circle.

1.2 Two-dimensional dynamic systems. Linear systems in the plane, phase portrait, limit cycles, bifurcations.

1.3 Chaos. Lorenz equations, one-dimensional maps, fractals, strange attractors.

2) High-dimensional dynamical systems:

2.1 Complex networks. Structural descriptors, dimension of a network, network generation models.

2.2 Stochastic processes. Network propagation phenomena, social contagion models, reaction-diffusion processes.

2.3 Nonlinear systems with many degrees of freedom. Synchronization in networks. Stability master function.

Learning activities

The teaching and evaluation activities will be carried out face-to-face. The program offers the students help to achieve the expected results and comprises the following activities:

• Participative lectures, including problems and simulations.

• Continuous evaluation sessions throughout the term consisting of short questionnaires to assess the degree of learning.

• Non-attendance simulations of nonlinear dynamic systems using specific software available to the student.

• Elaboration and presentation of a final group work in the context of the subject.

### 5. Assessment system

Continuous assessment:

It will consist of the following evaluation activities:

1. Short questionnaires on the different topics of the syllabus. There will be 5 quizzes which will have the same weight and, together, will contribute to 50% of the average grade (NP). The minimum grade  to pass this evaluation must be 3.5 out of 10.

2. Writing and defence of a paper. The students will carry out (organized in groups) a work based on one of the projects proposed during the term. This activity contributes to 50% of the average grade (NP).  The minimum grade to pass the activity must be 3.5 out of 10.  In case of passing (NP>5), the final grade(NF) will be calculated from the following formula:

NF=5*[1+(NP-5)/(NPmax-5)]

(so if NP=5 then NF=5; if NP=NPmax then NF=10)

If NPmax<9 then NPmax=9 will be used.

Passing the subject by means of a single global test

This global test will consist of a written exam (50% of the final grade) and the evaluation of the work done and its public defence (50% of the final grade). Students who have already defended their work are exempted from presenting it in the single global test.

## 26933 - Caos y sistemas dinámicos no lineales

### Información del Plan Docente

2023/24
Asignatura:
26933 - Caos y sistemas dinámicos no lineales
Titulación:
Créditos:
5.0
Curso:
4 y 3
Periodo de impartición:
Segundo semestre
Clase de asignatura:
Optativa
Materia:
---

### 1. Información básica de la asignatura

El objetivo es proporcionar al alumno las herramientas básicas y computacionales necesarias para el estudio de sistemas dinámicos no lineales. Su oferta responde a un intento de acercar al alumno el estudio de problemas que habitualmente son ajenos a la troncalidad de los estudios, permitiendo a los alumnos acercarse a la frontera del conocimiento en el campo de la Física Estadística y No Lineal, disciplina de carácter transversal con implicaciones en todas las áreas de la Ciencia y la Ingeniería.
Los objetivos están alineados con los siguientes Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS):
• Objetivo 3: Salud y bienestar.
• Objetivo 15: Vida de ecosistemas terrestres.
Se recomienda haber cursado las asignaturas de Análisis Matemático, Ecuaciones Diferenciales y Física Computacional.

El estudiante, para superar esta asignatura, deberá demostrar los siguientes resultados:

• Entiende la singularidad e importancia de los sistemas dinámicos no lineales.
• Es capaz de analizar un sistema dinámico no lineal.
• Conoce las bifurcaciones fundamentales propias de los sistemas dinámicos no lineales.
• Entiende y cuantifica el fenómeno del caos.
• Entiende las bases del fenómeno de sincronización.
• Es capaz de elaborar modelos dinámicos para analizar el compartimiento de sistemas físicos, sociales y biológicos.
• Reconoce y modela fenómenos no lineales.

Al superar la asignatura, el estudiante adquirirá las siguientes competencias:

• Analizar y comprender fenómenos no lineales en diversos campos científicos.
• Dominar de las herramientas de la ciencia no lineal
• Elaborar y analizar modelos dinámicos no lineales.
• Comprender los fenómenos paradigmáticos en Ciencia no lineal como las bifurcaciones, el caos y la sincronización.
• Simular numéricamente sistemas dinámicos no lineales.

### 3. Programa de la asignatura

0) Introducción

1) Sistemas dinámicos de baja dimensión:

1.1 Sistemas dinámicos en una dimensión. Flujos en la línea, bifurcaciones, flujos en el círculo.

1.2 Sistemas dinámicos bidimensionales. Sistemas lineales en el plano, retrato de fases, ciclos límite, bifurcaciones.

1.3 Caos. Ecuaciones de Lorenz, "maps" unidimensionales, fractales, atractores extraños.

2) Sistemas dinámicos de alta dimensión:

2.1 Redes complejas. Descriptores estructurales, dimensión de una red, modelos de generación de redes.

2.2 Procesos estocásticos. Fenómenos de propagación en redes, modelos de contagio social, procesos de reacción-difusión.

Las actividades docentes y de evaluación se llevarán a cabo de modo presencial. El programa que se ofrece al estudiante para ayudarle a lograr los resultados previstos comprende las siguientes actividades:

• Clases magistrales participativas, incluyendo la realización de problemas y simulaciones.
• Sesiones de evaluación continuada a lo largo del curso que consistirán en cuestionarios breves para valoran el grado de aprendizaje.
• Realización no presencial de simulaciones de sistemas dinámicos no lineales usando software específico a disposición del alumno.
• Elaboración y presentación de un trabajo final en grupo en el contexto de la asignatura.

### 5. Sistema de evaluación

Evaluación continua:

Constará de las siguientes actividades de evaluación:

1. Cuestionarios breves sobre los distintos temas del programa de la asignatura. Se realizarán 5 cuestionarios que tendrán el mismo peso y, en conjunto, contribuirán al 50% de la nota promedio (NP). La nota mínima para superar esta evaluación debe ser 3.5 sobre 10.
2. Realización y defensa de un trabajo. Los alumnos realizarán (organizados en grupos) un trabajo en base a uno de los proyectos propuestos durante el curso. Esta actividad contribuye al 50% de la nota promedio (NP). La nota mínima para superar la actividad debe ser 3.5 sobre 10.

En caso de aprobar (NP>5), la nota final (NF) será calculada a partir de la siguiente fórmula:

NF=5*[1+(NP-5)/(NPmax-5)]

(así si NP=5 entonces NF=5; si NP=NPmax entonces NF=10).

Si NPmax<9 entonces se usará NPmax=9.

Superación de la asignatura mediante una prueba global única

Dicha prueba global consistirá en un examen escrito (50% de la nota final) y la evaluación del trabajo realizado y la defensa pública del mismo (50% de la nota final). Los alumnos que ya hayan defendido el trabajo realizado están eximidos de realizar la presentación del mismo dentro de la prueba global única.