## 26907 - Algebra II

### Teaching Plan Information

2023/24
Subject:
26907 - Algebra II
Faculty / School:
Degree:
447 - Degree in Physics
ECTS:
6.0
Year:
1
Semester:
Second semester
Subject type:
Basic Education
Module:
---

### 1. General information

The description of physical systems often resorts to linear algebra, the physical quantities being represented by linear operators on vector spaces. This subject follows the path of "Algebra I" (which is assumed to have already been taken), with the objective of providing the student with a set of useful tools for the description of the states and admissible transformations of physical systems.

These tools are also extremely useful for the description of systems outside Physics (e.g., Economics, Biology, Data Science, etc.). It is intended that students master the abstract concepts, and also the  analytical and computational resolution of the problems.

The objectives are:

O1. Analyse the relationship between (multi)linear applications and matrices, through the choice of the basis of the vector space.

Understand the important role of eigenvalues and eigenvectors.

O2. Calculate functions of applications, through the study of their canonical form

O3. Understand the role of the scalar product and the concept of orthogonality

O4. Familiarization with isometries on vector spaces

The learning activities foreseen in this subject will contribute to the achievement of Objectives 4.3 and 4.4 of Goal 4 of

the Sustainable Development Goals (SDGs) of the United Nations 2030 Agenda ( https://www.un.org/sustainabledevelopment/es/)

### 2. Learning results

Upon completion of the subject, the student will be able to:

• perform simple operations with matrices also using numerical tools

• determine the characteristic polynomial, the generalized proper subspaces, as well as the canonical form of an operator

• obtain the exponential function of an operator and apply it to the solution of oscillator problems

• orthonormalize a given basis by means of Gram's -Schmidt procedure

• relate, by means of the exponential function, the unitary and orthonormal transformations to the hermetic and symmetric operators

This will allow them to know the properties of the eigenvalues and eigenvectors of relevant operators in physics (projectors, self-adjoint, hermetic, symmetric, orthogonal,...), and to use the invariance groups of the different scalar products (complex, real Euclidean, Minkowski) in both their finite and infinitesimal versions, throughout the other subjects.

### 3. Syllabus

1. Complex vector spaces and their endomorphisms

2: Multilinear applications

3: Properties of endomorphisms

4: Operator functions

5: Vector spaces with scalar product

6: Endomorphisms on vector spaces with scalar product

There are notes written by the teacher and available on the web page on the Moodle platform. All information on the subject is presented on the first day of class, and is provided permanently on the Moodle page of the subject.

- Master classes, which provide theorems and proofs, organized or in accordance with the development of the program. (38 hours)

- Exercise sessions, to consolidate theoretical understanding through relevant examples and problems. (12 hours)

- Practical computer programming of linear algebra problems, extending the scope of class exercises (10 hours: 4 sessions of 2 hours each and an introductory session of 2 hours each, throughout the four-month period)

- Self-assessment tests (optional) in Moodle, which allow students to evaluate their level of understanding.

- Individual work at home (study, solution of the proposed exercises and assignments, preparation for the computer exercises) 85 computer hours)

- Evaluation sessions (5 hours)

### 5. Assessment system

The student must demonstrate the knowledge achieved through the following evaluation activities: In the face-to-face modality:

1) (70% of the grade) Completion of a final test of theory and problems.

2) (15% of the grade) Evaluation of the computer-based practice sessions.

3) (15% of the grade) Continuous evaluation of the student's learning through the resolution of problems, questions and other activities proposed by the teacher of the subject. Two Moodle tests will be included throughout the term.

In the non-face-to-face modality:

In the event that the student does not want continuous evaluation, or does not reach the cut-off grade in section 2, the evaluation activities will be:

1) Final test of theory and problems (85% of the grade).

2b) Final practical test with computer (15% of the grade).

It will be necessary to achieve a grade of 4 out of 10 in each of the sections 1 and 2 (or 2b) and to achieve an overall grade of 5 out of 10 (globally, in the 3 sections of the face-to-face modality or in the two of the non face-to.facel modality), in order to pass the subject. The final grade will be the most favourable for the student, between those calculated according to the two modalities.

## 26907 - Álgebra II

### Información del Plan Docente

2023/24
Asignatura:
26907 - Álgebra II
Titulación:
Créditos:
6.0
Curso:
1
Periodo de impartición:
Segundo semestre
Clase de asignatura:
Formación básica
Materia:
Matemáticas

### 1. Información básica de la asignatura

La descripción de sistemas físicos recurre a menudo al álgebra lineal, estando las magnitudes físicas representadas por operadores lineales sobre espacios vectoriales. Esta asignatura sigue la senda de "Álgebra I" (que se supone ya cursada), con el objetivo de proporcionar al estudiante un conjunto de herramientas útiles para la descripción de los estados y de las transformaciones admisibles de sistemas físicos.

Dichas herramientas son, además, de enorme utilidad para la descripción de sistemas ajenos a la Física (p.ej, Economía, Biología, Ciencias de datos, etc). Se pretende que los estudiantes dominen lo conceptos abstractos, y también la resolución, analítica y computacional, de los problemas.

Los objetivos son:

O1. Analizar la relación entre aplicaciones (multi)lineales y matrices, a través de la elección de la base del espacio vectorial. Entender el papel destacado de autovalores y autovectores.

O2. Calcular funciones de aplicaciones, a través del estudio de su forma canónica

O3. Entender el papel del producto escalar y el concepto de ortogonalidad

O4. Familiarizarse con las isometrías sobre espacios vectoriales

Las actividades de aprendizaje previstas en esta asignatura contribuirán al logro de la metas 4.3 y 4.4 del Objetivo 4 de los Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS) de la Agenda 2030 de Naciones Unidas (https://www.un.org/sustainabledevelopment/es/)

Al superar la asignatura, el/la estudiante será capaz de

• realizar operaciones sencillas con matrices utilizando también herramientas numéricas

• determinar el polinomio característico, los subespacios propios generalizados, así como la forma canónica de un operador.

• obtener la función exponencial de un operador y aplicarla a la solución de problemas del oscilador

• ortonormalizar una base dada mediante el procedimiento de Gram‐Schmidt

• relacionar, mediante la función exponencial, las transformaciones unitarias y ortonormales con los operadores hermíticos y simétricos, respectivamente

Esto le permitirá conocer las propiedades de los valores y vectores propios de operadores relevantes en física (proyectores, autoadjuntos, hermíticos, simétricos, ortogonales,...), y utilizar los grupos de invariancia de los distintos productos escalares (complejo, real euclídeo, Minkowski) tanto en su versión finita como infinitesimal, a lo largo de las demás asignaturas.

### 3. Programa de la asignatura

1. Espacios vectoriales complejos y sus endomorfismos

2: Aplicaciones multilineales

5: Espacios vectoriales con producto escalar

6: Endomorfismos sobre espacios vectoriales con producto escalar

Existen apuntes redactados por el profesor y disponibles en la página web en la plataforma Moodle. Toda la información sobre la asignatura se presenta el primer día de clase, y se proporciona de forma permanente en la página de Moodle de la asignatura.

- Clases magistrales, que proporcionan los teoremas y las demostraciones, organizados o de acuerdo con el desarrollo del programa. (38 horas)

- Sesiones de ejercicios, para consolidar la comprensión teórica mediante ejemplos y problemas relevantes. (12 horas)

- Prácticas de programación por ordenador de problemas de álgebra lineal, extendiendo el alcance de los ejercicios de clase (10 horas: 4 sesiones de 2 horas cada una y una sesión introductoria de 2 horas, a lo largo del cuadrimestre)

- Tests de autoevaluación (opcionales) en Moodle, que permite a los estudiantes evaluar su grado de comprensión.

- Trabajo individual en casa (estudio, solución de los ejercicios y trabajos propuestos, preparación a las prácticas con ordenador) 85 horas

- Sesiones de evaluación (5 horas)

### 5. Sistema de evaluación

El estudiante deberá demostrar los conocimientos alcanzados mediante las siguientes actividades de evaluación:

1) (70% de la nota) Realización de una prueba final de teoría y problemas.

2) (15% de la nota) Evaluación de las sesiones de prácticas con ordenador.

3) (15% de la nota) Evaluación continua del aprendizaje del alumno mediante la resolución de problemas, cuestiones y otras actividades propuestas por el profesor de la asignatura. Se incluirán dos tests por Moodle a lo largo del curso.

En el caso de que el estudiante no quiera evaluación continua, o no alcance la nota de corte en el apartado 2, las actividades de evaluación serán:

1) Prueba final de teoría y problemas (85% de la nota).

2b) Prueba final práctica con ordenador (15% de la nota).

Será necesario alcanzar una nota de 4 sobre 10 en cada uno de los apartados 1 y 2 (o 2b) y alcanzar una nota global de 5 sobre 10 (globalmente, en los 3 apartados de la modalidad presencial o en los dos de la no presencial), para poder superar la asignatura. La nota final será la más favorable para el alumno, entre las calculadas según las dos modalidades.