## 27419 - Statistics II

### Syllabus Information

2022/23
Subject:
27419 - Statistics II
Faculty / School:
109 - Facultad de Economía y Empresa
Degree:
417 - Degree in Economics
ECTS:
6.0
Year:
2
Semester:
Second semester
Subject Type:
Compulsory
Module:
---

### 4.1. Methodological overview

Several teaching methods will be used in the learning process, based on the objectives set and the competences to acquire. Expository techniques will be used in the lectures, aiming to explain and develop the basic concepts of the subject. Also, collaborative training techniques will be adopted to encourage the student’s participation in class involved in order to develop their abilities to organize, plan and make decisions.

Furthermore, computer tools and solving case studies will be used to tackle the competences related to the use of technological tools, problem solving and ability to analyze and extract information from external sources.

Teaching materials, as well as the information necessary for the development of the course, including this teaching guide, will be published in Moodle (http://moodle2.unizar.es).

Lectures (30 classroom hours and 45 autonomous working hours): Will be used mainly to introduce the basic concepts and the theoretical developments of each lesson. Explanatory techniques will be used, always promoting participation and discussion in the classroom.  The lectures will be supported by slides. Class attendance, participation and note-taking are highly recommended, as well as the consultation of the recommended literature in order to round out the contents of the course.

Applied sessions (30 classroom hours and 39 autonomous working hours):  These activities aim to show the student how to address and solve problems. The sessions will take place either in the computer lab or in the classroom .

This methodology is planned for in person teaching. Nevertheless, if health issues arise during the semester, that impose restrictions, the sessions may be taught in a blended manner or even completely online.

### 4.3. Syllabus

PART 1. DISCRETE AND CONTINUOUS RANDOM VARIABLE

Unit 1: Discrete random variable.

Random variables. Probability distribution. Discrete and continuous random variable. Discrete random variable: Probability distribution or mass function, cumulative distribution and quantile function.  Expected value and its properties. Some common discrete distributions: Uniform, binomial, hypergeometric and Poisson distributions.

Unit 2: Continuous random variable.

Continuous random variable: density, cumulative distribution and quantile functions.  Some common continuous distributions. Characteristics of a continuous variable. Uniform, Exponential and Normal distributions. Continuous approximations of discrete distributions.

PART 2 Introduction to sampling theory

Unit 3: Introduction to sampling theory.

Basic concepts: population, sample, parameter and statistics. Sampling methods. Simple Random Sampling. Sampling with and without replacement. Sampling distribution of statistics. The importance of the sample-size. Central Limit Theorem.

PART 3.  Inferential methods: estimation and hypothesis tests

Unit 4: Point and interval estimation.

Concept of estimator. Point estimators. Confidence interval estimation. Construction of a confidence interval: the pivot method. Confidence intervals to estimate the population mean, the population variance and the population proportion. Sample size determination.

Unit 5: Hypotheses testing.

Basic concepts: Simple, composite, null and alternative hypotheses, significance level, power of a test and types of errors. Parametric hypothesis testing. Hypothesis Tests about the mean and the variance of a normal distribution, tests about the Bernoulli parameter. p-value. Non parametric hypothesis tests.

PART 4. Two populations

Unit 6: Two sample inference.

Inference for comparing means and variances and proportions. Independent and paired samples. Analysis of categorical variables: Contingency tables.

### 4.4. Course planning and calendar

Planning & scheduling The module consists of 6 ECTS credits (150 hours of study), distributed between classroom hours and individual homework. This study load is distributed as follows:

 Activities Classroom hours Individual homework hours Total study load Lectures (full group) 30 45 75 Practical classes and computer lab 30 39 69 Computer test 2 0 2 Global assessment 4 0 4 TOTAL 66 84 150

### Información del Plan Docente

2022/23
Asignatura:
109 - Facultad de Economía y Empresa
Titulación:
Créditos:
6.0
Curso:
2
Periodo de impartición:
Segundo semestre
Clase de asignatura:
Obligatoria
Materia:
---

### 1.1. Objetivos de la asignatura

El planteamiento de la asignatura Estadística II es dotar al estudiante de las herramientas básicas para la comprensión y manejo de fenómenos aleatorios que están vinculados con el ámbito económico. Por lo tanto, tiene un perfil práctico para que pueda analizar, resolver e interpretar realidades económicas con el objetivo de realizar una toma de decisiones con rigor científico.

El primer bloque está dedicado a los modelos aleatorios básicos y más utilizados para explicar fenómenos reales vinculados, principalmente, con variables económicas.

El segundo bloque aborda el problema de seleccionar una muestra que permita inferir los aspectos desconocidos del modelo propuesto. Se hace especial hincapié en el muestreo aleatorio que fundamenta los métodos inferenciales que se tratarán posteriormente. Se presenta el Teorema Central del Límite que justifica el uso de la distribución normal como modelo en el trabajo inferencial, que se tratará en el siguiente bloque. Para concluir, se tratará la importancia del tamaño muestral para obtener resultados con ciertas garantías probabilísticas.

El siguiente bloque profundiza en los métodos inferenciales, tanto desde la perspectiva de la estimación de parámetros como de los contrastes de hipótesis. El estudiante descubrirá la diferencia de planteamientos y conclusiones, así como la interpretación de los resultados conseguidos. El último bloque aborda la comparación de dos fenómenos, situación muy habitual cuando comparamos dos realidades económicas geográficas o temporales distintas o grupos diferentes.

Todos los contenidos de la asignatura tienen un objetivo práctico para que el estudiante tenga las herramientas y destrezas para aplicarlo en diferentes situaciones, obteniendo las conclusiones más relevantes y dando las interpretaciones necesarias para su comprensión.

Estos planteamientos y objetivos están alineados con los Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS) de la agenda 2030 y determinadas metas concretas (https://www.un.org/sustainabledevelopment/es/), contribuyendo en cierta medida a su logro:

Objetivo 8. Promover el crecimiento económico sostenido, inclusivo y sostenible, el empleo pleno y productivo, y el trabajo decente para todos

### 1.2. Contexto y sentido de la asignatura en la titulación

Estadística II pertenece al módulo de Métodos Estadísticos y Sistemas Decisionales en Economía del plan de estudios, junto a las asignaturas de Estadística I, Sistemas Informáticos de Ayuda a la Decisión y Gobierno Electrónico y Decisiones Públicas. Asimismo, es evidente que esta asignatura es la unión de los instrumentos analíticos del módulo de Fundamentos del Análisis Económico e Instrumentos (Matemáticas I, Matemáticas II, Econometría I, II y III, Aplicaciones Econométricas y Técnicas de Predicción).

Utiliza los conocimientos y destrezas adquiridas en las asignaturas de Matemáticas I y II y la Estadística I, como una descripción resumida del fenómeno económico analizado y dota al estudiante de las técnicas y métodos para entender esa realidad e intentar explicarla a través de un modelo. En la asignatura se abordan por primera vez los procedimientos inferenciales, es decir, a partir de unos resultados observados intentar construir un modelo que se ajuste y explique dicho fenómeno económico. Las asignaturas Econometría I, II y III, Aplicaciones Econométricas y Técnicas de Predicción, Sistemas Informáticos de Ayuda a la Decisión y Gobierno Electrónico y Decisiones Públicas utilizarán los procedimientos explicados en la asignatura, aplicándolos al análisis de modelos más concretos y sofisticados, mostrando la aplicación del método científico a problemas económicos.

### 1.3. Recomendaciones para cursar la asignatura

La asignatura no tiene establecido ningún requisito previo. Sin embargo, sería conveniente haber cursado las asignaturas de Matemáticas I, Matemáticas II y Estadística I para mejorar el aprendizaje de la misma y necesitar de menor esfuerzo. Es recomendable un conocimiento básico de ofimática, para realizar las prácticas correctamente y facilitar la adquisición de algunas competencias importantes.

### 2.1. Competencias

#### Al superar la asignatura, el estudiante será más competente para...

Competencias específicas:

E14. Identificar las fuentes de información económica relevante y explotar su contenido para intervenir en la realidad económica.

E16. Derivar de los datos información económica relevante.

E17. Utilizar el razonamiento deductivo en conjunción con modelos para explicar los fenómenos económicos.

E18. Representar formalmente los procesos de decisión económica.

E19. Usar las tecnologías de la información y la comunicación en su desempeño profesional.

Competencias transversales:

G1. Capacidad de análisis y síntesis.

G2. Capacidad para la resolución de problemas.

G5. Capacidad para aplicar el razonamiento económico a la toma de decisiones.

G6. Dominio de las herramientas informáticas y el lenguaje matemático y estadístico.

El estudiante, superando esta asignatura, logra los siguientes resultados...

1. Comprende y utiliza la probabilidad como una medida de incertidumbre de los fenómenos económicos.
2. Diferencia y aplica los modelos de probabilidad notables, tanto discretos como continuos.
3. Mide la incertidumbre de resultados y hechos futuros.
4. Emplea y planifica métodos de muestreo para extraer información de un fenómeno económico.
5. Calcula el tamaño muestral necesario para tomar decisiones con unas garantías.
6. Sintetiza la información muestral en los estadísticos usuales. Calcula y valora dichos estadísticos, enjuiciando sus conclusiones.
7. Infiere propiedades de los modelos teóricos a partir de las observaciones muestrales y justifica la bondad de dichas propiedades.
8. Diseña contrastes de hipótesis para corroborar o refutar una teoría a partir de la información muestral.
9. Emplea los contrastes más usuales para la proporción, la media y la varianza de un modelo aleatorio.
10. Compara y enjuicia las propiedades de dos modelos aleatorios, detectando las diferencias entre proporciones, medias y varianzas.
11. Plantea y resuelve contrastes no paramétricos de hipótesis para analizar propiedades como independencia, homogeneidad o la propia distribución de los datos analizados.

### 2.3. Importancia de los resultados de aprendizaje

La asignatura tiene un doble objetivo para la formación del futuro profesional. Un primer interés viene dado por el carácter instrumental y cuantitativo de la asignatura que pretende dotar el estudiante de las herramientas básicas para extraer información y utilizar e interpretar dicha información para la comprensión de una realidad económica. Los métodos y técnicas aprendidas en esta asignatura permiten que el estudiante pueda desarrollar contenidos y aprendizajes en otras asignaturas de la titulación. Un segundo objetivo es la propia formación del estudiante con espíritu crítico frente a informes o proyectos del ámbito económico-empresarial. Los métodos estadísticos, que permiten cuantificar y medir la incertidumbre de la información recogida, ayudan a garantizar unas conclusiones fiables y precisas para una toma de decisiones científica, dotando al estudiante de los criterios necesarios para entender y enjuiciar sus propios resultados o los proporcionados por otras fuentes.

### 3.1. Tipo de pruebas y su valor sobre la nota final y criterios de evaluación para cada prueba

La evaluación de la asignatura es GLOBAL, basada en tres pruebas distintas: una teórico-práctica (T), una práctica en ordenador (P) y otra práctica con seguimiento continuo durante el curso (S).

La prueba práctica con seguimiento continuo (S) consiste en la resolución de cuestiones o problemas que se propondrán en clase. El número de cuestiones o problemas propuestos estará entre 8 y 10. Estas pruebas se resolverán en los últimos diez-quince minutos de clase y se recogerán para su evaluación. Cada prueba se puntuará sobre 2 puntos y, al menos, ha tenido que presentar el 80% de las pruebas para tenerse en cuenta en la calificación de la asignatura. La nota media de estas pruebas se calculará tomando las mejores notas del 80% del total de las pruebas propuestas y realizadas en clase, reescalando a 10 puntos. Esta nota supondrá un 20% de la calificación de la asignatura y debe tener al menos una media de tres puntos para promediar con la prueba escrita.

La prueba práctica (P) en ordenador se realizará a mediados de mayo y consistirá en la resolución de problemas y casos reales empleando el paquete informático que se usa en las clases prácticas de ordenador. Esta prueba tendrá un valor del 20% de la calificación de la asignatura y solo podrán hacerla los estudiantes que tenga al menos presentadas un 80% de las pruebas prácticas con seguimiento continuo (S) y su calificación sea al menos 3 puntos.

La prueba teórico-práctica (T), que se realizará en la fecha oficial de la convocatoria fijada por el Centro, consiste en la resolución de problemas y cuestiones similares a los que se resuelven en las clases prácticas de pizarra y las clases magistrales La prueba teórico-práctica de la asignatura (T) tendrá un peso del 60% en la Nota Final, la prueba práctica (P) tendrá un peso del 20% y la prueba práctica con seguimiento continuo (S) tendrá un peso del 20%.

En primera convocatoria existen dos posibilidades:

1. Estudiantes que solo realizan la prueba teórico-práctica (T):

Serán aquellos estudiantes que han obtenido al menos tres puntos en la prueba práctica en ordenador (P) y al menos tres puntos en las cuestiones o problemas de la prueba práctica con seguimiento continuo (S). Estos estudiantes solo realizarán la prueba teórico-práctica (T) en la convocatoria oficial y la nota final de la evaluación global será: Nota Final = 0,6T+0,2P+0,2S, siempre que tengan al menos un 3 en cada una de las tres partes: T, P y S. En otro caso, la Nota final será min {0,6T+0,2P+0,2S; 4,5}

1. Estudiantes que realizan la prueba completa (T y P):

Si el estudiante ha participado en la prueba práctica con seguimiento continuo (S) pero no ha obtenido al menos 3 puntos en la prueba práctica en ordenador o desea subir su calificación en esta prueba, entonces tendrá que realizar las dos pruebas en la evaluación global: T y P. Como nota de la prueba práctica en ordenador (P) se considerará la mayor entre la obtenida durante el curso y la obtenida en la evaluación global. La nota final de la evaluación, siempre que tengan al menos un 3 en cada una de las partes, se calculará de la siguiente forma: Nota Final = 0,6T+0,2P+0,2S.

Si el estudiante NO ha participado en la prueba práctica con seguimiento continuo (S) o ha obtenido una calificación inferior a 3 puntos en ella tendrá que realizar obligatoriamente la prueba teórico-práctica (T) y la práctica en ordenador (P) en la convocatoria oficial. La nota final de la evaluación global se calculará de la siguiente forma, siempre que tenga al menos un 3 en cada una de las dos pruebas T y P: Nota Final = 0,7T+ 0,3P. En otro caso, la Nota Final será min {0,7T+ 0,3P; 4,5}.

Para aprobar la asignatura, el estudiante debe obtener una Nota Final igual o mayor que 5. Si la Nota Final es menor que 5 el estudiante deberá presentarse en la segunda convocatoria.

Para la segunda convocatoria solo se guardará la calificación de la prueba práctica de seguimiento continuo si obtuvo al menos tres puntos. Por lo tanto, el estudiante deberá realizar la prueba completa (T y P) y la calificación final se determinará de la misma forma que en la primera convocatoria, dependiendo si el estudiante tiene calificación en la prueba práctica con seguimiento continuo o no. Así pues, si tiene la prueba práctica de seguimiento continuo superada durante el curso entonces la calificación final se obtiene de la siguiente forma: Nota Final =max( 0,6T+0,2P+0,2S; 0,7T+ 0,3P) . Por el contrario, si no tiene superada la prueba práctica de seguimiento continuo entonces la calificación final se calcula como: Nota Final = 0,7T+ 0,3P. En todo caso, para aprobar la asignatura debe tener como mínimo tres puntos en las dos partes examinadas: prueba teórica-práctica (T) y prueba práctica en ordenador (P).

En la segunda convocatoria, al igual que en la primera, para aprobar la asignatura, el estudiante debe obtener una Nota Final igual o mayor que 5.

En las tres pruebas T, P y S se valorará el planteamiento, desarrollo, resultados e interpretación de las soluciones a los problemas propuestos o la situación real analizada.

Está previsto que estas pruebas se realicen de manera presencial, pero si las circunstancias sanitarias lo requieren se realizarán de manera semipresencial u online. En el caso de evaluación online, es importante destacar que, en cualquier prueba, el estudiante podrá ser grabado, pudiendo este ejercer sus derechos por el procedimiento indicado en:

https://protecciondatos.unizar.es/sites/protecciondatos.unizar.es/files/users/lopd/gdocencia_reducida.pdf

Se utilizarán las herramientas necesarias para comprobar la originalidad de las actividades realizadas. La detección de plagio o de copia en una actividad implicará la calificación de 0 puntos en la misma y se aplicará la normativa de evaluación aprobada por el centro, en su caso.

### 4.1. Presentación metodológica general

El proceso de aprendizaje que se ha diseñado para esta asignatura se basa en lo siguiente:

Se utilizarán diferentes métodos docentes en el proceso de aprendizaje de la asignatura Estadística II, en función de los objetivos marcados y las competencias desarrolladas. Así se emplearán técnicas expositivas para las clases teóricas, con el objetivo de analizar y desarrollar los conceptos fundamentales de la asignatura. Sin embargo, se emplearán formas didácticas de participación, implicando al estudiante, para desarrollar la capacidad de organizar, planificar y tomar decisiones.

Por otro lado, se emplearán herramientas informáticas y resolución de casos para abordar las competencias de usar herramientas e instrumentos tecnológicos, resolución de problemas y habilidad para analizar y buscar información de otras fuentes.

Como apoyo se utilizará la plataforma Moodle, donde se publicarán los materiales docentes de la asignatura, así como información necesaria para su desarrollo comenzando por la propia guía docente.

Clases teóricas (30 horas presenciales y 45 de trabajo autónomo): Se emplearán para desarrollar principalmente los conceptos y desarrollos teóricos de cada uno de los temas. Se utilizarán técnicas expositivas, pero motivando la participación y discusión en clase. El profesor se apoyará en una presentación Se recomienda la asistencia a clase, la participación y la toma de notas o aclaraciones a dicha presentación; así como la consulta de la bibliografía recomendada para completar el estudio de la materia.

Clases prácticas (30 horas presenciales y 39 horas de trabajo autónomo): Esta actividad pretende mostrar al estudiante como abordar y resolver problemas. Se desarrollarán en las aulas o salas de informática y en ellas se resolverán problemas, tanto en pizarra como con herramientas informáticas.

En principio la metodología de impartición de la docencia está previsto que pivote alrededor de las clases presenciales. No obstante, si fuese necesario por motivos sanitarios, estas clases podrán impartirse de manera semipresencial u online.

### 4.3. Programa

Tema 1: Variable aleatoria discreta

Concepto de variable aleatoria. Clasificación en variables aleatorias discretas y continuas. Variable aleatoria discreta: función de probabilidad, función de distribución y función cuantil. Esperanza matemática: características de una variable aleatoria discreta. Distribuciones notables: uniforme, binomial, hipergeométrica y Poisson.

Tema 2: Variable aleatoria continua

Variable aleatoria continua: función de densidad, función de distribución y función cuantil. Características de una variable aleatoria continua. Distribuciones notables: uniforme, exponencial y normal. Aproximaciones binomial-normal, Poisson-normal

BLOQUE 2. INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE MUESTRAS.

Tema 3: Introducción a la teoría de muestras

Conceptos básicos: población, muestra, parámetro y estadístico. Muestreo aleatorio simple: con y sin reemplazamiento. Distribución muestral de un estadístico. Importancia del tamaño muestral. Teorema Central del Límite.

BLOQUE 3. MÉTODOS INFERENCIALES: ESTIMACIÓN Y CONTRASTE DE HIPÓTESIS

Tema 4: Estimación puntual y por intervalo

Estimación puntual. Propiedades. Estimación por intervalo: método pivotal. Intervalos de confianza notables para la estimación de una media, una proporción y una varianza. Determinación del tamaño muestral.

Tema 5: Contraste de hipótesis

Conceptos básicos: contraste, hipótesis nula y alternativa, nivel de significación y potencia. Contrastes paramétricos. Test notables para la media, proporción y varianza. Concepto de p-valor. Contrastes no paramétricos.

BLOQUE 4. ESTUDIO DE DOS POBLACIONES.

Tema 6: Inferencia Bidimensional

Análisis de dos poblaciones. Muestras independientes y muestras emparejadas. Inferencia estadística para comparar medias, proporciones y varianzas. Contrastes no paramétricos. Análisis de variables categóricas: tablas de contingencia.

### 4.4. Planificación de las actividades de aprendizaje y calendario de fechas clave

La asignatura consta de 6 créditos ECTS, lo que supone una carga de trabajo para el estudiante de 150 horas, entre presenciales y trabajo individual. Esta carga se reparte de la siguiente forma:

 Actividades Horas presenciales Horas trabajo autónomo Total carga estudiante Clases teóricas 30 45 75 Prácticas de Problemas 30 39 69 Examen informatico 2 2 Prueba Evaluación 4 0 4 Global TOTAL 66 84 150

Calendario de fechas clave

Presentación de la asignatura: En la primera sesión del curso se explican de forma detallada los objetivos y contenidos de la asignatura, se plantea la metodología docente utilizada en las clases y se exponen los criterios de evaluación con nitidez.

Prueba intermedia: Se realizará una única prueba intermedia de resolución de problemas utilizando herramientas informáticas. Esta prueba solo la podrá realizar los estudiantes que hayan presentado al menos el 80% de las pruebas de seguimiento contínuo realizadas durante el curso (S).

Prueba global: De acuerdo al calendario establecido por el centro, en el periodo de exámenes, el estudiante realizará una prueba global que consistirá en un examen escrito (T) donde se evaluarán las competencias y destrezas adquiridas con un peso del 60% o 70% y un examen práctico con ordenador (P), mediante la resolución de problemas utilizando herramientas informáticas, que tendrá un peso del 20% o 30%. El estudiante que haya obtenido al menos tres puntos en la prueba informática y en las pruebas de seguimiento continuo estará exento de realizar el examen práctico con ordenador en la primera convocatoria.

Materiales  para el curso, así como las convocatorias de exámenes y los resultados de los mismos se expondrán en el ADD.