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Academic Year/course: 2022/23

453 - Degree in Mathematics

27019 - Mathematical Statistics

Syllabus Information

Academic Year:
27019 - Mathematical Statistics
Faculty / School:
100 - Facultad de Ciencias
453 - Degree in Mathematics
Second semester
Subject Type:

1. General information

1.1. Aims of the course

This module is compulsory in the BSc in Mathematics. Its goal is to teach the main results and technics in statistical inference.

These approaches and objectives are aligned with the following Sustainable Development Goals (SDGs) of the United Nations 2030 Agenda (, in such a way that the acquisition of the learning outcomes of the module provides training and competence to contribute to some extent to their achievement: (4) Quality education, (5) Gender equality, (8) Decent work and economic growth, (9) Industry, innovation and infrastructure, (10) Reducing inequality, (17) Partnerships for the goals.

1.2. Context and importance of this course in the degree

This compulsory module is an introductory course on statistical inference. Previous knowledge on descriptive statistics, probability theory and calculus is required.


1.3. Recommendations to take this course

Students are assumed to have taken a first course in probability theory, including probability spaces, random variables, random vectors, laws of large numbers and the central limit theorem.

The continuous work of the student from the beginning of the course is essential to follow the classes and finally, pass the exam.

2. Learning goals

2.1. Competences

After this course, the student will be more competent in:

  • Understanding the basic concepts and principles in statistical inference.
  • Proposing a model to be analyzed with statistical tools.
  • Using the concepts of convergence of random variables and their limit laws for studying the asymptotic behaviour of statistics.
  • Using statistics associated to inference in normal populations.
  • Identifyng sufficient statistics and determining the basic properties of most commonly used statistics.
  • Understanding the methods of maximum likelihood and substitution for finding statistics.
  • Understanding the concept of confidence interval and being able to construct them.
  • Understanding the concept and first properties of hypothesis testing. Knowing methods for their construction and applying them to models involving one or two populations.

2.2. Learning goals

  • Understanding the basic concepts and principles in statistical inference.
  • Proposing a model to be analyzed with statitical tools.
  • Using the concepts of convergence of random variables and their limit laws for studying the asymptotic behaviour of statistics.
  • Using statistics associated to inference in normal populations.
  • Identifyng sufficient statistics and determining the basic properties of most commonly used statistics.
  • Understanding the methods of maximum likelihood and substitution for finding statistics.
  • Understanding the concept of confidence interval and being able to construct them.
  • Understanding the concept and first properties of hypothesis testing. Knowing methods for their construction and applying them to models involving one or two populations.

2.3. Importance of learning goals

This module provides the student with the basic knowledge in statistical inference from a mathematical point of view and in the basic techniques for statistical data analysis. It is the basis for the module Regression Methods in the fourth year and also for statitical modules in a MSc in Statistics.

3. Assessment (1st and 2nd call)

3.1. Assessment tasks (description of tasks, marking system and assessment criteria)

Assessment is split into two parts, corresponding to theory/problems and computer classes. Once the marks for theory/problems (CT) and computer classes (CP) are obtained, the final mark will be

CF = 0.7 x CT + 0.3 x CP

The student will pass the module if CF is greater than or equal to 5.0.

CT and CP marks are computed as follows:

First call (June)

Both for CT and for CP, students may take two mid-term exams. The first exams correspond to Topic 1 and the second exams correspond to Topics 2 and 3. The first exams will be held at the end of that topic. The second exams will be held at the official date of the June exam. The CT and/or CP marks will be obtained as

CT=0.2xCT1 + 0.8xCT2

CP=0.2xCP1 + 0.8xCP2

Alternatively, students may take a unique final exam for getting either CT, CP or both at the official date of the June exam.

Second call (July)

In the second call, students will take a unique final exam for getting CT and CP at the official date of the July exam.

In the group taught in English, T6 activities will consist on three 2 hour practical classes where students will present solutions of problems, summaries of theoretical results... These activities are optional and will be assessed and marked between 0 and 1 points; this score will be added to the final score obtained in the exams.

4. Methodology, learning tasks, syllabus and resources

4.1. Methodological overview

The methodology followed in this course is oriented towards the achievement of the learning objectives. A wide range of teaching and learning tasks are implemented, such as lectures, problem-solving sessions, computer laboratory sessions, tutorials and autonomous work and study.

4.2. Learning tasks

This course is organized as follows:

  • Lectures.
  • Problem-solving sessions.
  • Computer laboratory sessions.
  • Tutorials.
  • Autonomous work and study.

The teaching activities and assessment tasks will take place in a face-to-face mode, except in the case that, due to the health situation, the dispositions emitted by the competent authorities and by the University of Zaragoza compel to take them to a greater or lesser extent in a telematic form.

4.3. Syllabus

  • Topic 1. Introduction to statistical inference. Population and random samples. Statistics. Sampling from the Normal distribution. Order statistics. Convergence concepts and limit theorems.
  • Topic 2. Point estimation. Desirable properties of an estimator. Methods of finding and evaluating estimators. Large sample properties for máximum likelihood estimators. Interval estimation.
  • Topic 3. Hypothesis testing. The Neyman-Pearson approach. The duality of confidence intervals and hypothesis tests. Likelihood ratio tests. Tests for normality, goodness of fit and independence. Comparing two samples.

4.4. Course planning and calendar

Further information concerning the timetable, classroom, office hours, assessment dates and other details regarding this course will be provided on the first day of class or please refer to the Faculty of Science website and Moodle.

4.5. Bibliography and recommended resources

Curso Académico: 2022/23

453 - Graduado en Matemáticas

27019 - Estadística matemática

Información del Plan Docente

Año académico:
27019 - Estadística matemática
Centro académico:
100 - Facultad de Ciencias
453 - Graduado en Matemáticas
Periodo de impartición:
Segundo semestre
Clase de asignatura:

1. Información Básica

1.1. Objetivos de la asignatura

Es una asignatura obligatoria y fundamental dentro del grado de Matemáticas, cuyo objetivo es enseñar los principios y técnicas básicas de la inferencia estadística.

Estos planteamientos y objetivos están alineados con los siguientes Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS) de la Agenda 2030 de Naciones Unidas (, de tal manera que la adquisición de los resultados de aprendizaje de la asignatura proporciona capacitación y competencia para contribuir en cierta medida a su logro: Objetivo 4: Educación de calidad; Objetivo 5: Igualdad de género; Objetivo 8: Trabajo decente y crecimiento económico; Objetivo 9: Industria, innovación e infraestructuras; Objetivo 10: Reducción de las desigualdades; Objetivo 17: Alianzas para lograr los objetivos.

1.2. Contexto y sentido de la asignatura en la titulación

Es la asignatura obligatoria de introducción a la Inferencia Estadística en el grado de Matemáticas. Para su desarrollo se requieren conocimientos de Estadística Descriptiva, Cálculo de Probabilidades y Análisis de Funciones de una y varias variables reales.

1.3. Recomendaciones para cursar la asignatura

Se recomienda la asistencia activa y participación en las clases teóricas y prácticas, el estudio y trabajo continuado desde el comienzo del curso y la resolución de los problemas y ejercicios propuestos en clase y suministrados como material de trabajo.

Se recomienda la asistencia regular a tutorías, especialmente si surgen dificultades en el aprendizaje de la materia.

Los conceptos y técnicas de las asignaturas Introducción a la Probabilidad y la Estadística (2º curso) y Cálculo de Probabilidades (3º) son imprescindibles para cursar esta asignatura con éxito.

2. Competencias y resultados de aprendizaje

2.1. Competencias

Al superar la asignatura, el estudiante será más competente para:

Con esta asignatura los estudiantes adquirirán las competencias CG1, CG2, CG3, CG4, CG5, CT1, CT2, CT3, CT4, CT5, CE1, CE2, CE3, CE4 y CE7 del título, traducidas en los siguientes resultados de aprendizaje:

  • Manejar los conceptos básicos y los principios metodológicos de la Inferencia Estadística.
  • Saber proponer un modelo adecuado para analizar los problemas de esta materia, en este nivel.
  • Utilizar los conceptos de convergencia de sucesiones de variables aleatorias y las leyes límite para estudiar el comportamiento asintótico de los estadísticos.
  • Manejar los estadísticos principales asociados a la inferencia en una o dos poblaciones normales.
  • Saber identificar estadísticos suficientes y determinar las propiedades básicas de los estadísticos habituales.
  • Manejar los métodos de máxima verosimilitud y momentos para la construcción de estimadores.
  • Comprender el concepto de intervalo de confianza y conocer métodos para su construcción.
  • Plantear y resolver problemas de contraste de hipótesis, paramétricos y no paramétricos en una o dos poblaciones. Manejar el test de cociente de verosimilitudes.

2.2. Resultados de aprendizaje

El estudiante, para superar esta asignatura, deberá demostrar los siguientes resultados:

  • Comprender los conceptos de población, muestra y modelo estadístico, así como los objetivos y principios de la inferencia estadística.
  • Comprender el concepto de estadístico y las propiedades básicas de los estadísticos usuales, bajo muestreo aleatorio, en particular de los estadísticos asociados a poblaciones normales, exponenciales y otras.
  • Conocer los diferentes métodos de estimación puntual: máxima verosimilitud (EMV), momentos (EMM) y estimación Bayes y las propiedades que permiten evaluar su calidad: ausencia de sesgo, suficiencia, consistencia y eficiencia. Conocer las propiedades asintóticas de los EMV.
  • Comprender el concepto de intervalo de confianza y manejar los métodos usuales para su construcción.
  • Saber plantear un problema de contraste de hipótesis paramétrico y evaluar la calidad de un test. Conocer el paradigma de Neyman-Pearson para la construción de un test de hipótesis. Saber construir un test de razón de verosimilitudes.
  • Saber formular y resolver tests de tipo paramétrico para comparar dos poblaciones. Conocer los tests básicos de tipo no paramétrico para decidir sobre la independencia, o asociación, de dos características, así como la adecuación, bondad de ajuste, de un modelo estadístico.

2.3. Importancia de los resultados de aprendizaje

Proporciona al futuro graduado en Matemáticas una formación fundamental en inferencia estadística desde un punto de vista matemático y en las técnicas básicas para el análisis estadístico de datos. Constituye la base para la asignatura «Técnicas de Regresión», de cuarto curso y de asignaturas de posgrado en estadística. Además, permite al estudiante su posterior desarrollo en ámbitos relacionados con la estadística aplicada y como científico de datos.

3. Evaluación

3.1. Tipo de pruebas y su valor sobre la nota final y criterios de evaluación para cada prueba

El estudiante deberá demostrar que ha alcanzado los resultados de aprendizaje previstos mediante las siguientes actividades de evaluación:

La calificación final de la asignatura (CF) se formará a partir de la calificación teórica (CT) y de la de prácticas de ordenador (CP) de la siguiente manera:

CF = 0.7 x CT + 0.3 x CP

Se superará la asignatura con una CF mayor o igual a 5 puntos.

Las calificaciones CT y CP se obtendrán de la siguiente manera:

Convocatoria de junio

Las calificaciones CT y CP se obtendrán, cada una de ellas, de dos pruebas parciales. La primera prueba corresponderá al tema 1 y la segunda al resto. Las primeras pruebas parciales se realizarán tras finalizar los correspondientes contenidos. Las segundas pruebas se realizarán en la fecha oficial de la primera convocatoria.

Con las calificaciones anteriores, se obtendrán CT y CP de la siguiente manera:

CT=0.2 x CT1 + 0.8 x CT2

CP=0.2 x CP1 + 0.8 x CP2

Alternativamente, los estudiantes pueden realizar un único examen global para obtener o bien CT, CP o ambas calificaciones en la fecha de la convocatoria oficial de junio

Convocatoria de julio

En la segunda convocatoria, los estudiantes realizarán un examen global para obtener las calificaciones CT y CP en la fecha de la convocatoria oficial de julio.

En el grupo en inglés, las actividades T6 consistirán en tres sesiones prácticas de dos horas en las que los estudiantes expondrán las soluciones de algunos problemas, resúmenes de resultados teóricos… Estas actividades son optativas y serán calificadas entre 0 y 1 punto; esta nota se añadirá a la nota final de los exámenes.

4. Metodología, actividades de aprendizaje, programa y recursos

4.1. Presentación metodológica general

El método de enseñanza buscará la participación de alumno y la realización de tareas de aprendizaje de distinto carácter.

4.2. Actividades de aprendizaje

Clases teóricas de presentación de los conceptos y sus propiedades.

Clases prácticas de resolución y discusión de problemas y ejercicios propuestos.

Clases prácticas de análisis estadístico en aula informática.

Sesiones de tutoría individual.

Trabajo personal de estudio y resolución de problemas.

Las actividades docentes y de evaluación se llevarán a cabo de modo presencial salvo que, debido a la situación sanitaria, las disposiciones emitidas por las autoridades competentes y por la Universidad de Zaragoza dispongan realizarlas de forma telemática o semitelemática con aforos reducidos rotatorios.

4.3. Programa

  1. Introducción a la inferencia estadística: Población y muestra aleatoria. Estadísticos. Distribución en el muestreo. Muestreo en una población normal. Estadísticos ordenados. Conceptos de convergencia y teoremas límite. La función de distribución empírica y sus propiedades.
  2. Estimación puntual. Propiedades deseables de un estimador. Métodos para encontrar y evaluar estimadores. Propiedades asintóticas de los estimadores máximo verosímiles. Estimación por intervalos.
  3. Tests de hipótesis. El paradigma de Neyman-Pearson. Tests uniformemente más potentes. La dualidad entre tests de hipótesis e intervalos de confianza. Test de cociente de verosimilitudes. Tests de normalidad, bondad de ajuste e independencia. Comparación de las características de dos poblaciones.

4.4. Planificación de las actividades de aprendizaje y calendario de fechas clave

Los horarios de clase y de exámenes se pueden consultar en la página web de la facultad. En la página ADD de la asignatura se colgará toda la información relativa a grupos de prácticas, hojas de ejercicios, notas de clase, mensajes, etc.

Las prácticas en laboratorio informático se imparten a lo largo de todo el periodo lectivo, en el lugar y horario asignado por la Facultad de Ciencias.

4.5. Bibliografía y recursos recomendados