## 27018 - Operations Research

### Teaching Plan Information

2022/23
Subject:
27018 - Operations Research
Faculty / School:
Degree:
453 - Degree in Mathematics
ECTS:
6.0
Year:
3
Semester:
First semester
Subject Type:
Compulsory
Module:
---

### 1.1. Aims of the course

To provide students with an introduction to optimization models, methods, and their applications. Students will develop the ability to conceptualize from real-world situations appropriate mathematical programming models. The students will model, analyze, solve, and interpret results of decision-making problems.

These approaches and objectives are aligned with the following Sustainable Development Goals (SDGs) of the United Nations 2030 Agenda (https://www.un.org/sustainabledevelopment/es/), in such a way that the acquisition of the learning outcomes of the module provides training and competence to contribute to some extent to their achievement: (4) Quality education, (5) Gender equality, (8) Decent work and economic growth, (9) Industry, innovation and infrastructure, (10) Reducing inequality, (17) Partnerships for the goals.

### 1.3. Recommendations to take this course

It is recommended that students attend all classes. Students are expected to prepare the topics throughout the course and to do regular homework assignments to become familiar with the different concepts, some with economic implications, which are the core of the course.

### 2.2. Learning goals

At the end of the course, the student will be able to:

• Understand problems from narrative statements and convert narrative statements to mathematical models.
• Identify convex sets and convex functions from their definition or characterizations.
• Determine extreme points and extreme directions of a polyhedron.
• Apply optimality conditions to get a local/global optimal solution of a nonlinear (continuous) optimization problem.
• Identify systems which can be modelled as linear problems.
• Formulate and solve linear optimization problems.
• Understand the theoretical workings of the simplex method for linear programming and perform iterations of it by hand.
• Formulate and solve the dual of a linear optimization problem and understand the relationship between a linear program and its dual.
• Perform sensitivity analysis.
• Solve specialized linear programming problems like the transportation, thansshipment and assignment problems.
• Formulate some basic models in integer programming.
• Use specialized software to solve optimization problems.

### 3.1. Assessment tasks (description of tasks, marking system and assessment criteria)

• A written theory test in November, on a date to be specified at the beginning of the course. If the student wishes, the score obtained will be saved for the first call of the course. Otherwise, this test can be repeated in the first official exam (20%).
• A final written exam of problems and theoretical-practical questions in the first official exam (80%).
• None of the previous scores are saved for the second official call, which consists of a written exam of theory and problems (100%).

According to the University regulations, the students can refuse the aforementioned system and take only the exams in the official periods as a global test.

### 4.1. Methodological overview

The methodology followed in this course is oriented towards the achievement of the learning objectives. A wide range of teaching and learning tasks are implemented, such as lectures, problem-solving sessions and laboratory sessions.

This course is organized as follows:

• Lectures. (50% sessions) Lecture slides and other important materials will be posted in Moodle. Please check the platform regularly.
• Problem-solving sessions. (40% classes) Practice sessions in small groups
• Laboratory sessions. (10% sessions) Computer practice sessions in small groups
• Assessment tasks. A midterm exam will take place as well as a final exam. Exams are closed book and closed notes.

The teaching activities and assessment tasks will take place in a face-to-face mode, except in the case that, due to the health situation, the dispositions emitted by the competent authorities and by the University of Zaragoza compel to take them to a greater or lesser extent in a telematic form.

### 4.3. Syllabus

• Topic 1: Introduction to operations research.
• Topic 2: Convex analysis.
• Convex sets.
• Polyhedra.
• Extreme points and extreme directions of a polyhedron.
• Convex functions
• Convex functions optimization
• Topic 3: Linear optimization.
• Problem formulation.
• Basic concepts and fundamental theorems.
• The simplex algorithm.
• Topic 4: Duality and sensitivity analysis.
• Formulation of the dual problem.
• Primal-dual relationships.
• The dual-simplex algorithm.
• Sensitivity analysis.
• Topic 5: Special models in linear optimization.
• Transportation, transshipment and assignment problems.
• Topic 6: Integer programming.
• Problem formulation.
• Branch and bound algorithm.
• Topic 7: Introduction to nonlinear optimization.
• Karush-Kuhn-Tucker optimality conditions.

### 4.4. Course planning and calendar

The midterm exam will take place in November.

Further information concerning the timetable, classroom, office hours, assessment dates and other details regarding this course will be provided on the first day of class or please refer to the Faculty of Sciences website and Moodle.

### 4.5. Bibliography and recommended resources

• Bazaraa, Mokhtar S.. Linear programming and network flows / Mokhtar S. Bazaraa, John J. Jarvis, Hanif D. Sherali . - 2nd. ed. New York [etc.] : Wiley & Sons, cop. 1990.
• Bazaraa, Mokhtar S.. Nonlinear programming : theory and algorithms / Mokhtar S. Bazaraa, Hanif D. Sherali, C. M. Shetty . - 3rd ed. Hoboken (New Jersey) : John Wiley & Sons, cop. 2006.
• Calvete Fernández, Herminia Inmaculada. Programación lineal, entera y meta : problemas y aplicaciones / Herminia I. Calvete Fernández, Pedro M. Mateo Collazos Zaragoza : Prensas Universitarias de Zaragoza, 1994.
• D.G. Luenberger. Linear and Nonlinear Programming. 4th edition Springer. 2016.
• Dantzig, George B.. Linear programming. Vol. 1, Introduction / George B. Dantzig, Mukund N. Thapa New York [etc.] : Springer, cop. 1997.
• Dantzig, George B.. Linear programming. Vol. 2, Theory and extensions / George B. Dantzig, Mukund N. Thapa New York [etc.] : Springer, cop. 2003.
• Hillier, Frederick S.. Introducción a la investigación de operaciones / Frederick S. Hillier, Gerald J. Lieberman ; Traducción, Jesús Elmer Murrieta Murrieta ; revisión técnica, Javier Enríquez Brito . - 8a. ed. México [etc.] : McGraw-Hill, cop. 2006.
• Hillier, Frederick S.. Introducción a la investigación de operaciones / Frederick S. Hillier, Gerald J. Lieberman ; revisión técnica, Guillermo Martínez del Campo V., Ernesto A. Pacheco . 9a. ed. México [etc.] : McGraw-Hill, cop. 2010.
• Winston, Wayne L.. Operations research : applications and algorithms / Wayne L. Winston . - 4th ed. Belmont, California : Thomson/Brooks/Cole, cop. 2004.

http://psfunizar10.unizar.es/br13/egAsignaturas.php?codigo=27018

## 27018 - Investigación operativa

### Información del Plan Docente

2022/23
Asignatura:
27018 - Investigación operativa
Titulación:
Créditos:
6.0
Curso:
3
Periodo de impartición:
Primer semestre
Clase de asignatura:
Obligatoria
Materia:
---

### 1.1. Objetivos de la asignatura

Es una asignatura obligatoria en el grado en Matemáticas. Tiene como objetivo dotar a los futuros profesionales de conocimientos en la modelización de sistemas y en las técnicas de resolución de los problemas que aparecen asociados.

Específicamente, esta asignatura aborda el tratamiento de problemas que pueden formularse como la optimización de una cierta función que representa el objetivo que se desea conseguir, sujeto a un conjunto de restricciones que representan las condiciones en las que el sistema puede funcionar. Son los denominados modelos deterministas. Se estudia en profundidad el modelo de optimización lineal, con algunos casos particulares de interés, se introduce brevemente la optimización entera, y se dan los resultados más importantes sobre el modelo de optimización no lineal.

Estos planteamientos y objetivos están alineados con los siguientes Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS) de la Agenda 2030 de Naciones Unidas (https://www.un.org/sustainabledevelopment/es/), de tal manera que la adquisición de los resultados de aprendizaje de la asignatura proporciona capacitación y competencia para contribuir en cierta medida a su logro: Objetivo 4: Educación de calidad; Objetivo 5: Igualdad de género; Objetivo 8: Trabajo decente y crecimiento económico; Objetivo 9: Industria, innovación e infraestructuras; Objetivo 10: Reducción de las desigualdades; Objetivo 17: Alianzas para lograr los objetivos.

### 1.2. Contexto y sentido de la asignatura en la titulación

Se incluye en el módulo Matemática discreta y Optimización, dentro de la materia Optimización. Este módulo está formado, además, por la asignatura Grafos y combinatoria (dentro de la materia Matemática discreta), que es obligatoria de primer curso, y por las asignaturas Optimización estocástica y Teoría de juegos (dentro de la materia Optimización), que son optativas de cuarto curso.

Junto con el resto de las asignaturas del módulo, se trata de aproximar de manera científica los problemas que surgen en situaciones y sistemas complejos, con objeto de analizarlos y contribuir a tomar decisiones que mejoren el rendimiento del sistema.

### 1.3. Recomendaciones para cursar la asignatura

Se recomienda la asistencia a las clases y la participación activa durante las mismas así como el estudio y trabajo continuado a lo largo del curso. Una de las principales dificultades que pueden encontrarse es que aparecen muchos conceptos diferentes, pero relacionados, y una interpretación económica, además de matemática, que, especialmente al principio, puede resultar poco familiar. Se recomienda por ello la realización de la colección de casos y problemas propuestos, que ayudan a asimilar los conceptos, así como consultar la bibliografía propuesta.

### 2.1. Competencias

Al superar la asignatura, el estudiante será más competente para:

• Desenvolverse en el manejo de los objetivos descritos (véase apartado Resultados de aprendizaje).
• Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales sencillas, utilizando las herramientas matemáticas más adecuadas a los fines que se persigan.
• Utilizar aplicaciones informáticas para resolver problemas de optimización e interpretar los resultados.
• Comprender y utilizar el lenguaje y método matemáticos. Conocer demostraciones rigurosas de los teoremas básicos de la asignatura.
• Saber aplicar los conocimientos matemáticos a su trabajo de una forma profesional y poseer las competencias que se demuestran mediante la resolución de problemas en el área de las Matemáticas y de sus aplicaciones.

El estudiante, para superar esta asignatura, deberá demostrar los siguientes resultados:

• Es capaz de plantear problemas reales como problemas de programación matemática.
• Es capaz de identificar los conjuntos convexos y las funciones convexas mediante la aplicación de la definición o de alguna de sus caracterizaciones.
• Es capaz de determinar puntos extremos y direcciones extremas de un poliedro.
• Es capaz de aplicar las condiciones de optimalidad para obtener una solución óptima local/global de un problema de optimización.
• Es capaz de identificar los sistemas que pueden ser modelados mediante optimización lineal.
• Es capaz de formular y resolver problemas de optimización lineal.
• Es capaz de comprender las ideas teóricas que subyacen en el algoritmo simplex y aplicarlas manualmente a problemas pequeños.
• Es capaz de plantear, resolver e interpretar el problema dual de un problema de optimización lineal.
• Es capaz de aplicar análisis de sensibilidad a la solución óptima de un problema de optimización lineal.
• Es capaz de formular y resolver algunos modelos especiales de optimización lineal relacionados con los problemas de transporte.
• Es capaz de formular algunos modelos de optimización lineal entera.
• Es capaz de utilizar software adecuado para resolver problemas de optimización.

### 2.3. Importancia de los resultados de aprendizaje

Los estudiantes que se gradúan en matemáticas disponen de una amplia variedad de posibilidades de empleo. En muchos de ellos, se van a enfrentar al estudio de sistemas reales con objeto de comprender mejor su funcionamiento o de identificar la forma en la que puede mejorarse su rendimiento. Abordar este estudio requiere, en primer lugar, que el sistema sea modelado. De la expresión del modelo, que reflejará razonablemente el sistema real, se deducirá la técnica que deba emplearse para responder a las preguntas formuladas.

La asignatura Investigación Operativa proporciona herramientas que permiten tratar ambas facetas. Por un lado, mediante la utilización de numerosos casos, se proporciona al alumno la necesaria aproximación a problemas casi reales y a la comprensión de modelos. Por otro, proporciona técnicas de análisis de algunos de los modelos más usuales y de cómo se aplican. Todo ello proporciona el necesario enfoque analítico para el tratamiento y solución de los problemas que constituye una cualidad distintiva del matemático.

### 3.1. Tipo de pruebas y su valor sobre la nota final y criterios de evaluación para cada prueba

El estudiante deberá demostrar que ha alcanzado los resultados de aprendizaje previstos mediante las siguientes actividades de evaluación:

• Realización de una prueba escrita de teoría en noviembre, en fecha que se concretará al comenzar el curso. Si el estudiante lo desea, la calificación obtenida se guarda para la primera convocatoria oficial del curso. En otro caso, esta prueba puede repetirse en dicha primera convocatoria (20%).
• Realización de un examen final escrito de problemas y cuestiones teórico-prácticas en la primera convocatoria oficial (80%).
• Ninguna de las calificaciones anteriores se guarda para la segunda convocatoria oficial que consiste en la realización de un examen escrito de teoría y problemas (100%).

Sin perjuicio del derecho que, según la normativa vigente, asiste al estudiante para presentarse y, en su caso, superar la asignatura mediante la realización de una prueba global que incluirá teoría y problemas.

### 4.1. Presentación metodológica general

El proceso de aprendizaje que se ha diseñado para esta asignatura se basa en lo siguiente:

Clases de teoría: Siguiendo el modelo de lección magistral participativa, utilizando el apoyo de medios audiovisuales y recursos informáticos, cuando sea conveniente, y procurando la interacción con el estudiante (50% de las clases).

Clases de problemas en grupos reducidos: Se enseñarán técnicas de resolución de problemas. Se propondrán problemas y el estudiante habrá de realizar un trabajo personal para su resolución (40% de las clases).

Prácticas de ordenador en grupos reducidos: Se enseñarán técnicas para la resolución de problemas, con la ayuda de programas informáticos. Se propondrán problemas y casos y el estudiante habrá de realizar un trabajo personal para su resolución y la redacción de los informes de conclusiones (10% de las clases).

Clases de teoría en forma de exposiciones.

Clases de problemas y prácticas de ordenador en grupos reducidos.

Apoyo a la formación mediante documentos y enlaces en la página de la asignatura en el Anillo Digital Docente (ADD) de la Universidad, https://moodle.unizar.es/add/. En el ADD, el estudiante tendrá a su disposición apuntes de los temas cuando vayan a ser expuestos en clase, la colección de problemas y material adicional que sea de interés.

Las actividades docentes y de evaluación se llevarán a cabo de modo presencial salvo que, debido a la situación sanitaria, las disposiciones emitidas por las autoridades competentes y por la Universidad de Zaragoza dispongan realizarlas de forma telemática o semitelemática con aforos reducidos rotatorios.

### 4.3. Programa

Tema 1. Introducción.

Concepto de la investigación operativa. Etapas en la resolución de un problema de investigación operativa.

Conjuntos convexos. Poliedros. Caracterización de puntos extremos y direcciones extremas de un poliedro. Funciones convexas. Optimización de funciones convexas.

Tema 3. Optimización lineal.

Planteamiento del problema. Conceptos básicos y teoremas fundamentales. Algoritmo simplex.

Teoremas relativos a estructuras primales y duales asociadas. Algoritmo simplex-dual. Modificaciones en los parámetros del problema de optimización lineal.

Tema 5. Modelos especiales de optimización lineal.

Problemas de transporte, de transbordo y de asignación.

Tema 6. Introducción a la optimización entera.

Planteamiento del problema. Método de ramificación y acotación.

Tema 7. Introducción a la optimización no lineal.

### 4.4. Planificación de las actividades de aprendizaje y calendario de fechas clave

Calendario de sesiones presenciales y presentación de trabajos:

Todas las actividades presenciales se realizan según el horario establecido por la Facultad de Ciencias (véase la hoja web correspondiente).

Realización de una prueba escrita en el mes de noviembre, en fecha a concretar.

Realización de un examen escrito a final del primer semestre, correspondiente a la convocatoria oficial, en fecha determinada por la Facultad de Ciencias.

### 4.5. Bibliografía y recursos recomendados

• Bazaraa, Mokhtar S.. Linear programming and network flows / Mokhtar S. Bazaraa, John J. Jarvis, Hanif D. Sherali . - 2nd. ed. New York [etc.] : Wiley & Sons, cop. 1990
• Bazaraa, Mokhtar S.. Nonlinear programming : theory and algorithms / Mokhtar S. Bazaraa, Hanif D. Sherali, C. M. Shetty . - 3rd ed. Hoboken (New Jersey) : John Wiley & Sons, cop. 2006
• Calvete Fernández, Herminia Inmaculada. Programación lineal, entera y meta : problemas y aplicaciones / Herminia I. Calvete Fernández, Pedro M. Mateo Collazos Zaragoza : Prensas Universitarias de Zaragoza, 1994
• D.G. Luenberger. Linear and Nonlinear Programming. 4th edition Springer. 2016
• Dantzig, George B.. Linear programming. Vol. 1, Introduction / George B. Dantzig, Mukund N. Thapa New York [etc.] : Springer, cop. 1997
• Dantzig, George B.. Linear programming. Vol. 2, Theory and extensions / George B. Dantzig, Mukund N. Thapa New York [etc.] : Springer, cop. 2003
• Hillier, Frederick S.. Introducción a la investigación de operaciones / Frederick S. Hillier, Gerald J. Lieberman ; Traducción, Jesús Elmer Murrieta Murrieta ; revisión técnica, Javier Enríquez Brito . - 8a. ed. México [etc.] : McGraw-Hill, cop. 2006
• Hillier, Frederick S.. Introducción a la investigación de operaciones / Frederick S. Hillier, Gerald J. Lieberman ; revisión técnica, Guillermo Martínez del Campo V., Ernesto A. Pacheco . 9a. ed. México [etc.] : McGraw-Hill, cop. 2010
• Winston, Wayne L.. Operations research : applications and algorithms / Wayne L. Winston . - 4th ed. Belmont, California : Thomson/Brooks/Cole, cop. 2004

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