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Academic Year/course: 2022/23

453 - Degree in Mathematics

27016 - Probability

Syllabus Information

Academic Year:
27016 - Probability
Faculty / School:
100 - Facultad de Ciencias
453 - Degree in Mathematics
First semester
Subject Type:

1. General information

1.1. Aims of the course

The objectives of this subject are:

To provide the theoretical knowledge and techniques required in the subjects in the block Probability and Statistics of the following courses.

To provide basic tools in probability, which will allow the student to develop models for situations where randomness plays  an essential role.

These approaches and objectives are aligned with the following Sustainable Development Goals (SDGs) of the United Nations 2030 Agenda (, in such a way that the acquisition of the learning outcomes of the module provides training and competence to contribute to some extent to their achievement: (4) Quality education, (5) Gender equality, (8) Decent work and economic growth, (9) Industry, innovation and infrastructure, (10) Reducing inequality, (17) Partnerships for the goals.

1.2. Context and importance of this course in the degree

This subject is included in the block Probability and Statistics and it aims to the study of random variables and to the development of stochastic processes able to model real situations.

This subject is a necessary base in order to acquire the necessary knowledge for the remaining subjects in the block Probability and Statistics included in the degree of Mathematics. These subjects are Teoría de la Probabilidad, Estadística Matemática and Técnicas de Regresión.

1.3. Recommendations to take this course

Students are assumed to have previous knowledge of the concepts and first properties of probability spaces and (onedimensional) random variables.

The continuous work of the student from the beginning of the course is essential to follow the classes and finally, pass the exam.

We also recommend to work autonomously the proposed exercises and activities. One of the main difficulties of the subject is to know how to build a model which allows us to solve the problems using the tools seen in theory. Consequently, it will be very helpful for the student to dedicate the necessary time to try to solve the problems by himself.


2. Learning goals

2.1. Competences

In order to pass this course, the student will be more competent:

  • To identify real situations where the most common probability distributions appear.
  • To understand the concepts of independence and conditional distribution
  • To calculate probabilities in uncertainty situations.
  • To manage and understand the probabilistic lenguage and methods.
  • To identify real situations which can be represented with the help of probabilistic models and to build adequate models to that end.
  • To learn autonomously new probabilistic theory and methods
  • To understand and know how to apply the large numbers laws and the central limit theorem
  • To understand the proof of the basic theorems in probability and statistics

3. Assessment (1st and 2nd call)

3.1. Assessment tasks (description of tasks, marking system and assessment criteria)

The students may take two mid-term exams corresponding to block 1 and block 2. The first exam, corresponding to block 1 will be held at the end of that block. The exam corresponding to block 2 will be held at the official date of the February exam. A mean score of 5 and a minimum score of 4.5 in the two midterm exams is needed to pass the subject.

In the group taught in English, T6 activities will consist on three 2 hour practical classes where students will present solutions of problems, summaries of theoretical results... These activities are optional and will be assessed and marked between 0 and 1 points; this score will be added to the final score obtained in the exams.

The students may also take a unique final exam in each of the two calls (February and September) of the subject. In the second call, there will be one exam including all the topics in the syllabus.

4. Methodology, learning tasks, syllabus and resources

4.1. Methodological overview

The methodology followed in this course is oriented towards the achievement of the learning objectives. A wide range of teaching and learning tasks are implemented, such as lectures, problem-solving sessions, laboratory session, seminars, tutorials and autonomous work and study.

A learning process based on critical reflection of concepts is proposed. In order to achieve these objectives, problem based learning is used. The aim of these learning processes is to encourage management of documentary sources, reflection on previously learned theoretical aspects, and structuring a logical discourse from the problem statement to its resolution.

4.2. Learning tasks

This course is organized as follows:

  • Lectures. They will be based on a participative learning-teaching approach, promoting the interaction with students.
  • Problem-solving sessions. Small group sessions: Problems and exercises will be worked in in small group classes. Additional exercises will be provided for the student autonomous work.
  • Laboratory sessions/Seminars. Depending on the time availability, some seminars or computer lab classes will be held to complement the contents developed in class.
  • Tutorials. Students will have tutorials with the teacher on a schedule to be agreed jointly.
  • Autonomous work and study. Autonomous work will allow to consolidate the concepts explained in class as well as learn and properly apply the techniques studied. They should handle literature, in addition to class notes. It should also dedicate a significant part of their time to solving the proposed exercises.
  • Assessment tasks. In addition to the  final exam, a midterm exam including topics of section 1 can by optionally done at the end of the class period of that section.

The teaching activities and assessment tasks will take place in a face-to-face mode, except in the case that, due to the health situation, the dispositions emitted by the competent authorities and by the University of Zaragoza compel to take them to a greater or lesser extent in a telematic form.

4.3. Syllabus

Section 1. Random vectors.

  • Topic 1.1. General random vectors. Definition. Cumulative distribution function. Transforms of random vectors. Types of random vectors.
  • Topic 1.2. Discrete random vectors. Probability distributions: joint, marginal, condicional. Independent random variables.
  • Topic 1.3. Continuous random vectors. Probability distributions: joint, marginal, conditional. Independent random variables. Differentiable transform of a continuous random vector.
  • Topic 1.4. Moments and properties of random vectors. Moments. Moment generating functions. Reproductive property.
  • Topic 1.5. Some multivariate probability distributions. Multinomial distribution and Multivariate Normal distribution.
  • Topic 1.6. Correlation and least mean square principle. Correlation coefficient. Schwarz's inequality. Functional relationships between two random variables and the least mean square principle.

Section 2. Stochastic convergence, law of large numbers and central limit theorem.

  • Topic 2.1. Convergence of sequences of random variables. Convergence in probability. Almost sure convergence. Convergence in distribution. Convergence in the Lp-norm. Properties and relationships between the types of convergence.
  • Topic 2.2. Laws of large numbers. Weak laws of large numbers. Strong laws of large numbers. Central limit theorem for independent and identically distributed random variables. General central limit theorem.

4.4. Course planning and calendar

There are four class hours per week. In the group taught in English, there will be three optional 2-hour practical classes (T6).

Further information concerning the timetable, classroom, office hours, assessment dates and other details regarding this course will be provided on the first day of class or please refer to the Faculty of Sciences website and Moodle.

4.5. Bibliography and recommended resources

  • Grimmett, Geoffrey. One thousand exercices in probability / Geoffrey R. Grimmett and David R. Stirzaker . - 1st ed., reprinted Oxford : Oxford University Press, 2003
  • Rohatgi, Vijay K.. An introduction to probability theory and statistics / Vijay K. Rohatgi, A. K. Md. Ehsanes Saleh . 3rd ed. New York [etc.] : John Wiley, 2015.
  • Vélez Ibarrola, Ricardo. Cálculo de Probabilidades 2 / Ricardo Vélez Ibarrola . - [1ª ed.] Madrid : Ediciones Académicas, 2004

Curso Académico: 2022/23

453 - Graduado en Matemáticas

27016 - Cálculo de probabilidades

Información del Plan Docente

Año académico:
27016 - Cálculo de probabilidades
Centro académico:
100 - Facultad de Ciencias
453 - Graduado en Matemáticas
Periodo de impartición:
Primer semestre
Clase de asignatura:

1. Información Básica

1.1. Objetivos de la asignatura

Los conocimientos teóricos y las técnicas adquiridas deben servir como base para asignaturas del módulo Probabilidad y Estadística de cursos posteriores.

La asignatura proporciona al alumno herramientas fundamentales del cálculo de probabilidades que le permiten construir modelos para situaciones en las que la aleatoriedad es una característica esencial.

Estos planteamientos y objetivos están alineados con los siguientes Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS) de la Agenda 2030 de Naciones Unidas (, de tal manera que la adquisición de los resultados de aprendizaje de la asignatura proporciona capacitación y competencia para contribuir en cierta medida a su logro: Objetivo 4: Educación de calidad; Objetivo 5: Igualdad de género; Objetivo 8: Trabajo decente y crecimiento económico; Objetivo 9: Industria, innovación e infraestructuras; Objetivo 10: Reducción de las desigualdades; Objetivo 17: Alianzas para lograr los objetivos.

1.2. Contexto y sentido de la asignatura en la titulación

Es una asignatura del módulo Probabilidad y Estadística dedicada al estudio de variables aleatorias en ambientes de incertidumbre y a la construcción de modelos estocásticos que representen situaciones reales.

Es importante haber superado esta asignatura para que el alumno afronte con garantía las siguientes asignaturas del módulo Probabilidad y Estadística que forman parte del título de graduado en Matemáticas: Teoría de la Probabilidad, Estadística Matemática y Técnicas de Regresión.

1.3. Recomendaciones para cursar la asignatura

El estudio y trabajo continuado desde el principio de curso son esenciales para no perder el ritmo de la materia y, finalmente, superar la asignatura.

Es recomendable la realización de las actividades propuestas, especialmente la resolución de problemas. Una de las dificultades de la asignatura se presenta en la construcción del modelo adecuado para resolver los problemas con la ayuda de las herramientas que se proponen en clase, por lo que es recomendable que el alumno invierta tiempo suficiente para resolver problemas por sí mismo.

Se requieren conocimientos básicos de álgebra lineal y análisis matemático. También se recomienda haber superado la asignatura Introducción a la probabilidad y la estadística.

2. Competencias y resultados de aprendizaje

2.1. Competencias

Al superar la asignatura, el estudiante será más competente para:

  • Reconocer situaciones reales en las que aparecen las distribuciones probabilísticas más usuales.
  • Entender el concepto de independencia y el de condicionamiento.
  • Calcular probabilidades en ambientes de incertidumbre.
  • Comprender y utilizar el lenguaje y método probabilísticos.
  • Reconocer situaciones reales que puedan modelarse con ayuda de la probabilidad y construir los modelos probabilísticos adecuados para ello.
  • Adquirir nuevos conocimientos y técnicas probabilísticas de forma autónoma.
  • Entender y saber aplicar las leyes de los grandes números y el teorema central del límite.
  • Entender las demostraciones de los teoremas básicos de probabilidad y estadística.

2.2. Resultados de aprendizaje

El estudiante, para superar esta asignatura, deberá demostrar los siguientes resultados:

  • Distinguir fenómenos deterministas y fenómenos aleatorios. Comprender el modelo que utiliza la estadística para el estudio de fenómenos aleatorios: el espacio de probabilidad.
  • Construir el espacio de probabilidad adecuado para el estudio de un fenómeno aleatorio. Calcular probabilidades. Conocer e interpretar los conceptos de dependencia e independencia estocástica. Calcular probabilidades en ambas situaciones.
  • Saber definir y comprender el significado de las variables aleatorias discretas y continuas, unidimensionales y multidimensionales y las funciones que las caracterizan, así como comprender su utilidad para calcular probabilidades. Conocer y saber calcular las características principales de una distribución.
  • Conocer, manejar y utilizar los conceptos básicos de convergencia de sucesiones de variables aleatorias y algunas leyes de los grandes números.
  • Conocer el teorema central de límite básico, comprender su significado y utilizarlo adecuadamente.
  • Saber utilizar los conocimientos adquiridos para construir modelos que resuelvan situaciones en las que el azar es esencial.

2.3. Importancia de los resultados de aprendizaje

Proporcionar una visión suficientemente amplia que permita al alumno continuar ampliando sus conocimientos en el campo de la estadística y probabilidad.

Proporcionar una comprensión de las situaciones aleatorias que nos rodean, y saber modelarlas adecuadamente para dar respuesta a las cuestiones de interés que se planteen.

3. Evaluación

3.1. Tipo de pruebas y su valor sobre la nota final y criterios de evaluación para cada prueba

El estudiante deberá demostrar que ha alcanzado los resultados de aprendizaje previstos mediante las siguientes actividades de evaluación:

Se podrán realizar dos pruebas parciales correspondientes a los bloques 1 y 2 respectivamente. La prueba correspondiente al bloque 1 se realizará al terminar las clases de dicho bloque y es eliminatoria de materia para la primera convocatoria. La prueba correspondiente al bloque 2 se realizará en la fecha de examen oficial de la primera convocatoria de la asignatura. Para aprobar mediante este sistema es necesario obtener una media de la dos pruebas mayor o igual a 5 y haber obtenido en cada una de ellas al menos 4.5.

En el grupo en inglés, las actividades T6 consistirán en tres sesiones prácticas de dos horas en las que los estudiantes expondrán las soluciones de algunos problemas, resúmenes de resultados teóricos… Estas actividades son optativas y serán calificadas entre 0 y 1 punto; esta nota se añadirá a la nota final de los exámenes.

También se podrá realizar un examen global de toda la materia en cada una de las dos convocatorias oficiales. La segunda convocatoria constará de un único examen que incluirá todo el temario de la asignatura.

4. Metodología, actividades de aprendizaje, programa y recursos

4.1. Presentación metodológica general

Se propone un aprendizaje basado en la reflexión crítica de los conceptos. Para conseguir estos objetivos se utiliza  el aprendizaje basado en problemas. Estos procesos de aprendizaje pretenden  el manejo de fuentes documentales, la reflexión sobre aspectos teóricos previamente aprendidos, y la estructuración de un discurso lógico que vaya del planteamiento de un problema hasta la conclusión del mismo.

4.2. Actividades de aprendizaje

Clases de teoría. Siguiendo principalmente el modelo de clase participativa, procurando que exista interacción con los estudiantes.

Clases de resolución de problemas. Se trabajará en la resolución de ejercicios y problemas. Se propondrán también problemas y ejercicios para que los trabajen autónomamente los alumnos.

Dependiendo de las disponibilidades temporales, podrán realizarse algunos seminarios o prácticas con ordenador, que complementen los temas desarrollados en clase.

Tutorías. Los alumnos tendrán tutorías personales con el profesor en un horario a convenir conjuntamente.

Trabajo personal. El estudio individual le permitirá asentar los conceptos explicados en las clases, así como aprender y aplicar adecuadamente las técnicas estudiadas. Deberá manejar bibliografía, además de los apuntes de clase. También deberá dedicar una parte importante de su tiempo a la resolución de los ejercicios propuestos.

Las actividades docentes y de evaluación se llevarán a cabo de modo presencial salvo que, debido a la situación sanitaria, las disposiciones emitidas por las autoridades competentes y por la Universidad de Zaragoza dispongan realizarlas de forma telemática o semitelemática con aforos reducidos rotatorios.

4.3. Programa

Bloque 1. Vectores aleatorios.

1.1. Vectores aleatorios generales. Definición. Función de distribución. Transformaciones de un vector aleatorio. Tipos de vectores aleatorios.

1.2. Vectores aleatorios discretos. Distribuciones de probabilidad: conjunta, marginales, condicionales. Variables aleatorias independientes.

1.3. Vectores aleatorios continuos. Distribuciones de probabilidad: conjunta, marginales, condicionales. Variables aleatorias independientes. Transformación diferenciable de un vector aleatorio continuo.

1.4. Momentos y propiedades de un vector aleatorio. Momentos. Función generatriz de momentos. Reproductividad.

1.5. Algunas distribuciones de probabilidad multidimensionales. Distribución multinomial y normal multivariante.

1.6. Correlación y principio de mínimos cuadrados. Coeficiente de correlación. Desigualdad de Schwarz. Relación funcional entre dos variables y principio de mínimos cuadrados.

Bloque 2. Convergencias estocásticas, leyes de grandes números y teorema de límite central.

2.1. Convergencia de sucesiones de variables aleatorias. Convergencia en probabilidad. Convergencia casi segura. Convergencia en distribución. Convergencia en Lp. Propiedades y relaciones entre los distintos tipos de convergencia.

2.2. Leyes de grandes números. Leyes débiles de los grandes números. Leyes fuertes de los grandes números. Teoremas del límite central para variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas. Caso general.

4.4. Planificación de las actividades de aprendizaje y calendario de fechas clave

Clases de contenidos y de problemas (4 horas por semana en total). Todas las actividades presenciales se imparten según horario establecido por la Facultad de Ciencias, publicado con anterioridad a la fecha de comienzo del curso.

Además del examen final global en la fecha determinada por el centro, el estudiante podrá realizar una prueba parcial sobre los contenidos del bloque 1, al finalizar las clases de dicho bloque.

4.5. Bibliografía y recursos recomendados

  • Grimmett, Geoffrey. One thousand exercices in probability / Geoffrey R. Grimmett and David R. Stirzaker . - 1st ed., reprinted Oxford : Oxford University Press, 2003
  • Rohatgi, Vijay K.. An introduction to probability theory and statistics / Vijay K. Rohatgi, A. K. Md. Ehsanes Saleh . 3rd ed. New York [etc.] : John Wiley,  2015.
  • Vélez Ibarrola, Ricardo. Cálculo de Probabilidades 2 / Ricardo Vélez Ibarrola . - [1ª ed.] Madrid : Ediciones Académicas, 2004