## 27009 - Ordinary Differential Equations

### Syllabus Information

2022/23
Subject:
27009 - Ordinary Differential Equations
Faculty / School:
Degree:
453 - Degree in Mathematics
ECTS:
9.0
Year:
2
Semester:
Annual
Subject Type:
Compulsory
Module:
---

### 1.1. Aims of the course

These approaches and objectives are aligned with the following Sustainable Development Goals (SDGs) of the United Nations 2030 Agenda (https://www.un.org/sustainabledevelopment/es/), in such a way that the acquisition of the learning outcomes of the module provides training and competence to contribute to some extent to their achievement: (4) Quality education, (5) Gender equality, (8) Decent work and economic growth, (9) Industry, innovation and infrastructure, (10) Reducing inequality, (17) Partnerships for the goals.

### 4.1. Methodological overview

The methodology followed in this course is oriented towards the achievement of the learning objectives. A wide range of teaching and learning tasks are implemented, such as lectures, problem-solving sessions and tutorials.

This course is organized as follows:

• Lectures. Two weekly sessions. The teacher will provide explanations about the theory and abundant examples.
• Problem-solving sessions. One weekly session. Exercises will be solved by the student and presented to the group. Students will be required to gather in groups and to study a concrete problem and prepare a written report, to be discussed in the classroom.
• Tutorials. Students will be attended by the teacher at office hours.

The teaching activities and assessment tasks will take place in a face-to-face mode, except in the case that, due to the health situation, the dispositions emitted by the competent authorities and by the University of Zaragoza compel to take them to a greater or lesser extent in a telematic form.

### 4.3. Syllabus

Section I.- Linear systems: constant coefficients

• Topic 1. Linear differential equations with constant coefficients
• First-order homogeneous equation
• First-order nonhomogeneous equation
• Topic 2. Linear systems: introduction
• Terminology and first properties
• Eigenvectors and eigensolutions
• Generalized eigenvectors and generalized eigensolutions
• Topic 3. Exponential matrix
• Convergence
• Exponential matrix definition and first properties
• Exponential matrix via generalized eigensolutions
• Differential of the exponential matrix
• Topic 4. Linear systems
• Solution of homogeneous system
• Solution of a nonhomogeneous system
• Higher-order differential equations
• Topic 5. Higher-order differential equations
• Solution of the homogeneous equation
• Solution of the non homogeneous equation
• Undetermined coefficients
• Topic 6. Qualitative theory
• Notion of stability
• Stability and spectrum
• Phase portrait. Classification of 2-d systems.
• Topic 7. Laplace transform
• Laplace transform defined
• Calculus of Laplace transform
• Calculus of inverse Laplace transform
• Solution of initial value problems
• Stability

Section II.- Linear systems: general case

• Topic 1. Linear equations
• Homogeneous equations
• Nonhomogeneous equations
• Grönwall inequality
• Topic 2. Linear systems
• Existence and uniqueness of solutions (homogeneous system)
• Superposition principle. Resolvent matrix
• Nonhomogeneous equations
• Higher-order equations
• Stability*
• Topic 3. Periodic systems*
• Periodic solutions
• Structure of the solution
• Stability and resonance

Section III.- Nonlinear systems

• Topic 1. Autonomous equations
• Some examples and properties
• Existence and uniqueness. Asymptotes
• Qualitative analysis
• Topic 2. Nonautonomous equations
• Exact equations
• Integrating factors
• Other methods (separable, homogeneous,...)
• Topic 3. Existence and uniqueness
• Lipschitz functions
• Existence and uniqueness: Picard theorem
• Maximal solution
• Global solution
• Topic 4. Numerical methods
• Euler methods. Taylor method
• Convergence
• Runge-Kutta method
• Multistep methods*
• Topic 5. Regularity of the general solution
• Continuous dependence
• Smooth dependence.
• The variational equation
• Trivialization*
• Topic 6. Qualitative theory
• Autonomous systems
• Stability of equilibria: linearization method
• Stability of equilibria: Lyapunov functions*
• Phase diagram

Topics marked with * will be included only if time allows.

### 4.4. Course planning and calendar

Further information concerning the timetable, classroom, office hours, assessment dates and other details regarding this course will be provided on the first day of class or please refer to the website of the Faculty of Sciences.

### 4.5. Bibliography and recommended resources

• Simmons, George F.. Ecuaciones diferenciales : con aplicaciones y notas históricas / George F. Simmons ; con un capítulo sobre métodos numéricos de John S. Robertson ; traducción Lorenzo Abellanas Rapun . - 2a ed. Madrid [etc.] : McGraw-Hill, D.L. 2000.
• Boyce, William E.. Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera / William E. Boyce, Richard C. DiPrima ; colaboración en la traducción Hugo Villagómez Velázquez . - 4a ed. México [etc.] : Limusa, cop.1998.
• Braun, Martin. Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones / M. Braun ; Traductor Ignacio Barradas Bribiesca . - [1a ed.] México : Grupo Editorial Iberoamérica, 1990.
• Hirsch, Morris W.. Ecuaciones diferenciales, sistemas dinámicos y álgebra lineal / Morris W. Hirsch, Stephen Smale ; versión española, Carlos Fernández Pérez Madrid : Alianza, 1983.
• Guzmán, Miguel de. Ecuaciones diferenciales ordinarias : teoría de estabilidad y control / M. de Guzmán . - [1a. ed., reimp.] Madrid : Alhambra, 1987.
• Calvo Pinilla, M.. Curso de ecuaciones diferenciales ordinarias / Manuel Calvo Pinilla y Jesús Carnicer Álvarez Zaragoza : Prensas Universitarias de Zaragoza, 2010.
• Zill, Dennis G.. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado / Dennis G. Zill . - 6a ed. México [etc.] : International Thomson Editores, cop. 1997.
• Marcellan, Francisco. Ecuaciones diferenciales : problemas lineales y aplicaciones / Francisco Marcellan, Luis Casasus, Alejandro Zarzo . - 1ª ed. en español, [reimp.] Madrid [etc.] : McGraw-Hill, D. L. 1991.

http://psfunizar10.unizar.es/br13/egAsignaturas.php?codigo=27009

## 27009 - Ecuaciones diferenciales ordinarias

### Información del Plan Docente

2022/23
Asignatura:
27009 - Ecuaciones diferenciales ordinarias
Titulación:
Créditos:
9.0
Curso:
2
Periodo de impartición:
Anual
Clase de asignatura:
Obligatoria
Materia:
---

### 1.1. Objetivos de la asignatura

Se trata de una asignatura obligatoria cuyo objetivo es introducir el concepto de ecuación diferencial ordinaria, dotando al alumno de los principales herramientas para el análisis y resolución de este tipo de ecuaciones. Se pondrá al alumno en contacto con problemas reales que pueden ser descritos por medio de este tipo de ecuaciones.

Estos planteamientos y objetivos están alineados con los siguientes Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS) de la Agenda 2030 de Naciones Unidas (https://www.un.org/sustainabledevelopment/es/), de tal manera que la adquisición de los resultados de aprendizaje de la asignatura proporciona capacitación y competencia para contribuir en cierta medida a su logro: Objetivo 4: Educación de calidad; Objetivo 5: Igualdad de género; Objetivo 8: Trabajo decente y crecimiento económico; Objetivo 9: Industria, innovación e infraestructuras; Objetivo 10: Reducción de las desigualdades; Objetivo 17: Alianzas para lograr los objetivos.

### 1.2. Contexto y sentido de la asignatura en la titulación

Esta asignatura está encuadrada en el módulo titulado Ecuaciones diferenciales. Es el primer contacto del alumno con el problema de la resolución de ecuaciones diferenciales. En cursos posteriores, basándose en los conceptos estudiados en este curso, se abordará el estudio de las ecuaciones en derivadas parciales y los sistemas dinámicos, así como su tratamiento por medio de métodos de aproximación numérica.

### 1.3. Recomendaciones para cursar la asignatura

Es importante la asistencia a clase y la participación activa. Se deben asimilar las explicaciones teórico-prácticas de la materia y realizar los problemas que se propongan. Es conveniente hacer uso de las horas de tutoría para resolver dudas y ampliar conocimientos. Se deben preparar con antelación las pruebas de evaluación y los exámenes obligatorios. Es necesario seguir diariamente el desarrollo de la asignatura y poder responder a cuestiones explicadas en las semanas inmediatamente anteriores.

Durante todo el curso, se utilizarán numerosos conceptos adquiridos en las asignaturas del primer curso, en particular, en Análisis Matemático I, Álgebra lineal y Números y conjuntos. Es imprescindible que el alumno domine dichos conceptos. En el segundo semestre se necesitarán algunos resultados del primer semestre de la asignatura Análisis Matemático II.

### 2.1. Competencias

Al superar la asignatura, el estudiante será más competente para:

• Resolver ecuaciones y sistemas diferenciales lineales.
• Resolver ecuaciones diferenciales elementales.
• Decidir sobre la existencia y/o unicidad de soluciones de problemas de valor inicial.
• Extraer información cualitativa sobre las soluciones de ecuaciones diferenciales sin necesidad de resolverlas.
• Analizar la estabilidad de los puntos de equilibrio.
• Construir y analizar algunos modelos matemáticos sencillos por medio de ecuaciones diferenciales.

El estudiante, para superar esta asignatura, deberá demostrar los siguientes resultados:

• Sabe distinguir una ecuación diferencial de otros tipos de ecuaciones y sabe clasificarla de acuerdo a su linealidad y otras características.
• Sabe aplicar los distintos métodos de resolución a dichas ecuaciones cuando esto sea posible y sabe analizar cualitativamente la forma de las soluciones cuando no sea posible encontrar la solución.

### 2.3. Importancia de los resultados de aprendizaje

• Proporcionan una formación básica dentro del grado (ver Contexto y sentido de la asignatura en la titulación).
• Proporcionan al alumno una visión de los aspectos matemáticos relacionados con el análisis y la resolución de problemas matemáticos que describen el comportamiento dinámico de multitud de procesos reales.

### 3.1. Tipo de pruebas y su valor sobre la nota final y criterios de evaluación para cada prueba

Se realizará un examen de teoría y problemas al finalizar cada semestre, en las fechas establecidas por la Facultad de Ciencias. Este apartado representará un 80% de la nota. Para superar la asignatura será necesario aprobar cada uno de estos exámenes por separado. Estas notas se guardarán para la segunda convocatoria, en su caso.

Se evaluará el aprendizaje del alumno mediante la resolución de problemas y cuestiones teórico-prácticas propuestas por el profesor en grupos reducidos a lo largo del curso. Los resultados serán presentados por los alumnos y discutidos en clase. Este apartado representará un 15% de la nota. Esta nota se guardará para la segunda convocatoria, en su caso.

Se debe entregar, dentro del plazo establecido por el profesor, un informe con los resultados de un trabajo en grupo. Este apartado representará un 5% de la nota. Esta nota se guardará para la segunda convocatoria, en su caso.

Según la normativa vigente, el alumno que lo desee podrá prescindir de lo anterior y optar por una prueba global de la asignatura en las convocatorias oficiales.

### 4.1. Presentación metodológica general

El proceso de aprendizaje que se ha diseñado para esta asignatura se basa en lo siguiente:

• Clases magistrales, en las que se mostrarán los aspectos esenciales de la teoría y sus aplicaciones.
• Clases de problemas en grupos reducidos, en las que los alumnos resolverán ejercicios y los expondrán al resto de la clase.
• Tutorías individuales de carácter voluntario.
• Estudio y trabajo individual del alumno.

El programa que se ofrece al estudiante para ayudarle a lograr los resultados previstos comprende las siguientes actividades:

• Clases magistrales.
• Clases de problemas en grupos reducidos.
• Tutorías individuales.
• Estudio y trabajo individual del alumno.

Las actividades docentes y de evaluación se llevarán a cabo de modo presencial salvo que, debido a la situación sanitaria, las disposiciones emitidas por las autoridades competentes y por la Universidad de Zaragoza dispongan realizarlas de forma telemática o semitelemática con aforos reducidos rotatorios.

### 4.3. Programa

I.- Sistemas lineales con coeficientes constantes

1. Ecuaciones lineales
• Ecuaciones de orden 1
• Existencia y unicidad de soluciones
• Ecuaciones complejas
2. Sistemas lineales: introducción.
• Notación y nomenclatura
• Soluciones propias
3. Exponencial de una matriz
• Convergencia de sucesiones de matrices
• Exponencial de una matriz
• Cálculo de la exponencial
4. Sistemas lineales con coeficientes constantes
• Solución del sistema homogéneo
• Estructura de la solución
• Solución del sistema no homogéneo
• Ecuaciones de orden superior
• Sistemas con impulsos instantáneos *
5. Ecuaciones de orden superior
• Sistema equivalente de primer orden
• Solución de la ecuación homogénea
• Solución de la ecuación no homogénea
• El método de los coeficientes indeterminados
6. Teoría cualitativa
• Diagrama de fases y clasificación de los sistemas bidimensionales
• Aplicación a la resolución de ecuaciones diferenciales ordinarias.

II.- Sistemas lineales con coeficientes variables

1. Ecuaciones lineales
• Ecuaciones con coeficientes variables
2. Sistemas lineales
• Sistemas homogéneos: existencia y unicidad de soluciones
• Matriz resolvente
• Solución del problema no homogéneo
• Dependencia de parámetros
• Ecuaciones de orden superior
3. Sistemas lineales con coeficientes periódicos *
• Soluciones periódica del sistema homogéneo
• Estructura de la solución
• Soluciones periódica del sistema homogéneo

III.- Sistemas no lineales

1. Ecuaciones escalares autónomas
• Análisis cualitativo
2. Ecuaciones escalares no autónomas
• Ecuaciones exactas
• Factores integrantes
• Otros métodos de integración
3. Existencia y unicidad de soluciones
• Condición de Lipschitz
• Existencia y unicidad: teorema de Picard
• Solución global
4. Métodos numéricos para problemas de valor inicial
• Métodos de Euler y de Taylor
• Convergencia
• Método de Runge-Kutta
• Métodos multipaso *
• Dependencia continua
• Dependencia diferenciable
• La ecuación variacional
• Trivialización *
6. Teoría cualitativa
• Sistemas autónomos
• Caso escalar
• Estabilidad de puntos de equilibrio: método de linealización
• Estabilidad de puntos de equilibrio: funciones de Lyapunov *
• Diagrama de fases de un sistema en el plano

* Estos temas se estudiarán si hay tiempo y el profesor lo estima oportuno.

### 4.4. Planificación de las actividades de aprendizaje y calendario de fechas clave

Ver el calendario académico de la Universidad de Zaragoza y los horarios establecidos por la Facultad de Ciencias.

• Resolución y discusión de ejercicios en clase durante todo el curso.
• Realización de trabajos por grupos, entrega del informe y exposición (durante el mes de mayo).
• Realización de una prueba teórico-práctica escrita al final de cada semestre en las fechas determinadas por la Facultad de Ciencias.

### 4.5. Bibliografía y recursos recomendados

• Simmons, George F.. Ecuaciones diferenciales : con aplicaciones y notas históricas / George F. Simmons ; con un capítulo sobre métodos numéricos de John S. Robertson ; traducción Lorenzo Abellanas Rapun . - 2a ed. Madrid [etc.] : McGraw-Hill, D.L. 2000.
• Boyce, William E.. Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera / William E. Boyce, Richard C. DiPrima ; colaboración en la traducción Hugo Villagómez Velázquez . - 4a ed. México [etc.] : Limusa, cop.1998.
• Braun, Martin. Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones / M. Braun ; Traductor Ignacio Barradas Bribiesca . - [1a ed.] México : Grupo Editorial Iberoamérica, 1990.
• Hirsch, Morris W.. Ecuaciones diferenciales, sistemas dinámicos y álgebra lineal / Morris W. Hirsch, Stephen Smale ; versión española, Carlos Fernández Pérez Madrid : Alianza, 1983.
• Guzmán, Miguel de. Ecuaciones diferenciales ordinarias : teoría de estabilidad y control / M. de Guzmán . - [1a. ed., reimp.] Madrid : Alhambra, 1987.
• Calvo Pinilla, M.. Curso de ecuaciones diferenciales ordinarias / Manuel Calvo Pinilla y Jesús Carnicer Álvarez Zaragoza : Prensas Universitarias de Zaragoza, 2010.
• Zill, Dennis G.. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado / Dennis G. Zill . - 6a ed. México [etc.] : International Thomson Editores, cop. 1997.
• Marcellan, Francisco. Ecuaciones diferenciales : problemas lineales y aplicaciones / Francisco Marcellan, Luis Casasus, Alejandro Zarzo . - 1ª ed. en español, [reimp.] Madrid [etc.] : McGraw-Hill, D. L. 1991.

http://psfunizar10.unizar.es/br13/egAsignaturas.php?codigo=27009