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Academic Year/course: 2022/23

453 - Degree in Mathematics

27001 - Calculus I

Syllabus Information

Academic Year:
27001 - Calculus I
Faculty / School:
100 - Facultad de Ciencias
453 - Degree in Mathematics
Subject Type:
Basic Education

1. General information

1.1. Aims of the course

It is a basic course in the degree. The goal is that the student understands which kind of problems require the use of one variable calculus and how to make use of it to deal with this kind of problems.

These approaches and objectives are aligned with the following Sustainable Development Goals (SDGs) of the United Nations 2030 Agenda (, in such a way that the acquisition of the learning outcomes of the module provides training and competence to contribute to some extent to their achievement: (4) Quality education, (5) Gender equality, (8) Decent work and economic growth, (9) Industry, innovation and infrastructure, (10) Reducing inequality, (17) Partnerships for the goals.

1.2. Context and importance of this course in the degree

The course is included in the module of Initiation to Mathematical Analysis. It is advisable to have passed this course before continuing with other courses in this module. As a basic course, the knowledge of the contents in Calculus I is convenient for most of the subjects in later courses.

1.3. Recommendations to take this course

It is advisable the presence in the theoretical and practical lecures and work in a continuous way with the material, notes, scripts for practical lectures, and problem sheets provided by the instructor. It is also advisable to make use of individual tutorization, the schedule of which will be provided at the beginning of the course. The people who cannot follow the course in a presential way will be evaluated with exams corresponding to the official periods in May or June and June or July.

2. Learning goals

2.1. Competences

After passing this course the student will be more competent to:

Develop in the handle of the goals described in the Learning outcomes section.

Among the general competences that the student graduated in mathematics acquires, we point out the following:

CG1. Having and comprehending knowledge in the area of Mathematics in a level that, starting from the education acquired in secondary studies, makes use of advanced texts and includes some aspects that imply knowledge from the vanguard in the study of Mathematics.

CT3. Distinguish, when in front of a problem, what is substantial and what is accesory. Formulate conjectures and reason in order to confirm them or refute them. Identify mistakes in incorrect reasonings, and so on.

CE1. Understand and make use of the mathematical language and methods. Know rigurous proofs of basic theorems in different branches of Mathematics.

CE3. Solve mathematical problems by basic calculus skills and other techniques.

2.2. Learning goals

In order to pass this course, the student must show the following:

He/She knows how to handle inequalities, sequences, and series.

He/She analizes and draws graphs of functions, deduces properties of a function from its graph, understands and works in an intituitive, geometric, and formal way with the notions of limit, derivative, and integral.

He/She computes derivatives of functions by using the chain rule.

He/She computes and studies extrem values of functions.

He/She computes integrals of functions.

He/She solves problems that imply the use of integration (computation of lengths, areas, volumes, areas of revolution bodies, and so on).

He/She understands the use of power series and their convergence.

2.3. Importance of learning goals

They provide a basic formation in the degree (see Context and importance of this course in the degree).

3. Assessment (1st and 2nd call)

3.1. Assessment tasks (description of tasks, marking system and assessment criteria)

There will be an assesment for each term. In order to pass the course it will be needed to pass each one of both terms. With this requisite, the final mark of the course will be the mean of the marks in both terms.

During the course there will be several short examinations and a global exam of the contents in each term. There will also be practical computer sessions.

The short examinations will take place during some lecture hours. The dates and the contents covered in each examination will be announced in advance. It is estimated that there will be two or three short examinations in each term, although this number might change if the circumstances so require. The short examinations marks will have a total weight of 20 percent in the mark of the corresponding term. If the development of the course allows it, these short examinations could be substituted or complemented with some short tasks.

There will be a global exam for the first term in January, in the date fixed by the Facluty of Sciences.

In each period of exams (May or June the first, June or July the second), in the dates fixed by the Facuty of Sciences, there will be a global exam for the first term and a global exam for the second term. In this two calls there will be a computer practical exam with a computer for those who did not pass this part in the practical computer sessions during the course.

The mark of a passed term will be kept during the academic year. Those students who pass one of the terms will not have to take an exam of that term any more.

In no case the students' right, according to present regulation, to pass the course by taking one final global exam will be violated.

4. Methodology, learning tasks, syllabus and resources

4.1. Methodological overview

The methodology designed for this course is based on the following:

  • Theoretical lectures.
  • Problem sessions and short tasks.
  • Practical computer sessions.
  • Individual tutoring.
  • The use of Moodle.
  • Autonomous work and study carried out by the student.

4.2. Learning tasks

The program offered to the student in order to help him/her achieve the expected results includes the following activities:

  • Attendance to the theoretical lectures
  • Problem solving
  • Individual tutoring
  • Practical computer sessions

The teaching activities and assessment tasks will take place in a face-to-face mode, except in the case that, due to the health situation, the dispositions emitted by the competent authorities and by the University of Zaragoza compel to take them to a greater or lesser extent in a telematic form.

4.3. Syllabus

This course will address the following topics:

  1. Real numbers.. Inequalities.
  2. Sequences of real numbers. Convergence. Computation of limits.
  3. Series of real numbers. Series of non-negative terms. Convergence criteria. Series of any kind of terms. Methods to sum series.
  4. Continuity. Limits of functions. Continuous functions. Properties. Weierstrass, Bolzano and Darboux theorems. Classification of discontinuities.
  5. Differentiability. Differentiation rules. Rolle's and Mean Value theorem. Extreme values of functions. L'Hôpital's rule. Taylor's and Young's theorems. Applications.
  6. Integration. Riemann's integral. Properties of the integral. Fundamental theorems of integral calculus. Applications of integral calculus. Improper integrals.
  7. Power series. Convergence of power series. Differentiability and integrability of power series.

4.4. Course planning and calendar

See the academic calendar in the University of Zaragoza websites as well as the timetable in the Faculty of Sciences website and Moodle.

The short examinations will take place during some lecture hours. The dates will be announced well in advance, taking into account the preferences of the students.

A written exam will take place in January in the date fixed by the Faculty of Sciences.

Written exams will take place in the official calls in May or June and June or July, in the dates fixed by the Facluty of Sciences..

4.5. Bibliography and recommended resources

Curso Académico: 2022/23

453 - Graduado en Matemáticas

27001 - Análisis matemático I

Información del Plan Docente

Año académico:
27001 - Análisis matemático I
Centro académico:
100 - Facultad de Ciencias
453 - Graduado en Matemáticas
Periodo de impartición:
Clase de asignatura:
Formación básica

1. Información Básica

1.1. Objetivos de la asignatura

Se trata de una asignatura de formación básica dentro del grado. El objetivo es que el estudiante entienda qué tipo de problemas requieren del análisis matemático de una variable y cómo opera este para tratar esos problemas.

Estos planteamientos y objetivos están alineados con los siguientes Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS) de la Agenda 2030 de Naciones Unidas (, de tal manera que la adquisición de los resultados de aprendizaje de la asignatura proporciona capacitación y competencia para contribuir en cierta medida a su logro: Objetivo 4: Educación de calidad; Objetivo 5: Igualdad de género; Objetivo 8: Trabajo decente y crecimiento económico; Objetivo 9: Industria, innovación e infraestructuras; Objetivo 10: Reducción de las desigualdades; Objetivo 17: Alianzas para lograr los objetivos.

1.2. Contexto y sentido de la asignatura en la titulación

La asignatura pertenece al módulo de Iniciación al Análisis Matemático. Se recomienda haber aprobado esta materia antes de continuar con las otras asignaturas del módulo. Como asignatura de formación básica, el conocimiento de Análisis Matemático I es conveniente para la mayor parte de las asignaturas de los cursos superiores.

1.3. Recomendaciones para cursar la asignatura

Se recomienda la asistencia atenta a las clases teóricas y prácticas y trabajar de manera continuada el material, apuntes, guiones de prácticas, hojas de problemas, que se suministre. Se recomienda también utilizar las tutorías individuales, cuyo horario se dará al comienzo del curso. Las personas que no puedan seguir el curso de forma presencial podrán ser evaluadas mediante las pruebas correspondientes en las convocatorias oficiales de mayo o junio y junio o julio.

2. Competencias y resultados de aprendizaje

2.1. Competencias

Al superar la asignatura, el estudiante será más competente para:

Desenvolverse en el manejo de los objetivos descritos en el apartado de Resultados de aprendizaje.

De entre las competencias generales que adquiere el graduado en matemáticas, destacamos las siguientes:

CG1. Poseer y comprender conocimientos en el área de las Matemáticas a un nivel, que partiendo de la formación adquirida en la educación secundaria general, se apoya en textos avanzados e incluye algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia en el estudio de las Matemáticas.

CT3. Distinguir ante un problema lo que es sustancial de lo que es accesorio, formular conjeturas y razonar para confirmarlas o refutarlas, identificar errores en razonamientos incorrectos, etc.

CE1. Comprender y utilizar el lenguaje y método matemáticos. Conocer demostraciones rigurosas de los teoremas básicos de las distintas ramas de la Matemática.

CE3. Resolver problemas matemáticos mediante habilidades de cálculo básico y otras técnicas.

2.2. Resultados de aprendizaje

El estudiante, para superar esta asignatura, deberá demostrar los siguientes resultados:

Maneja adecuadamente desigualdades, sucesiones y series.

Analiza y dibuja funciones, deduce propiedades de una función a partir de su gráfica, comprende y trabaja intuitiva, geométrica y formalmente con las nociones de límite, derivada e integral.

Calcula derivadas de funciones mediante la regla de la cadena.

Calcula y estudia extremos de funciones.

Calcula integrales de funciones.

Resuelve problemas que impliquen el planteamiento de integrales (longitudes, áreas, volúmenes, areas de revolución, etc.).

Comprende las series de potencias y su convergencia.

2.3. Importancia de los resultados de aprendizaje

Proporcionan una formación de carácter básico dentro del grado (ver el apartado Contexto y sentido de la asignatura en la titulación).

3. Evaluación

3.1. Tipo de pruebas y su valor sobre la nota final y criterios de evaluación para cada prueba

Se hará una evaluación de cada cuatrimestre. Para superar la asignatura será necesario aprobar cada cuatrimestre por separado; con este requisito, la nota de la asignatura será la media de las dos evaluaciones.

Durante el curso habrá varias pruebas cortas y un examen de global de cada cuatrimestre. Se evaluará también el trabajo realizado en las prácticas de ordenador.

Las pruebas cortas se realizarán en el horario de clase. Las fechas y el contenido de cada prueba se anunciarán con suficiente antelación. Se prevé hacer dos o tres pruebas en cada cuatrimestre, aunque este número podrá variar si las circunstancias lo aconsejan. Para la evaluación de cada cuatrimestre estas pruebas cortas supondrán en conjunto un 20 por ciento de la nota. Si el desarrollo del curso lo permite estas pruebas se podrán sustituir o complementar con algún pequeño trabajo.

Habrá un examen global del primer cuatrimestre en enero, en la fecha marcada por la Facultad de Ciencias.

En cada periodo de exámenes de la asignatura (mayo o junio el primero, junio o julio el segundo), en las fechas que decida la Facultad de Ciencias, habrá un examen global del primer cuatrimestre y otro del segundo cuatrimestre. En estas dos convocatorias habrá un examen de prácticas de ordenador para quienes no las hayan aprobado con su trabajo durante el curso.

Se guardará el aprobado de cada cuatrimestre. Es decir, quienes aprueben la evaluación de un cuatrimestre no tendrán que volver a examinarse de él.

Según la normativa vigente, el alumno que lo desee podrá prescindir de lo anterior y optar por una prueba global de la asignatura en las convocatorias oficiales.

4. Metodología, actividades de aprendizaje, programa y recursos

4.1. Presentación metodológica general

El proceso de aprendizaje que se ha diseñado para esta asignatura se basa en lo siguiente:

  • Clases teóricas.
  • Clases de problemas.
  • Clases prácticas de ordenador en grupos reducidos.
  • Tutorías individuales de carácter voluntario.
  • Utilización del Anillo Digital Docente.
  • Estudio y trabajo del alumno.

4.2. Actividades de aprendizaje

El programa que se ofrece al estudiante para ayudarle a lograr los resultados previstos comprende las siguientes actividades:

  • Asistencia a las clases teóricas.
  • Realización de ejercicios y pequeños trabajos.
  • Tutorías individuales.
  • Prácticas con ordenador.

Las actividades docentes y de evaluación se llevarán a cabo de modo presencial salvo que, debido a la situación sanitaria, las disposiciones emitidas por las autoridades competentes y por la Universidad de Zaragoza dispongan realizarlas de forma telemática o semitelemática con aforos reducidos rotatorios.

4.3. Programa

La planificación de las enseñanzas seguirá el programa siguiente:

  1. Números reales. Desigualdades.

  2. Sucesiones de números reales. Convergencia. Cálculo de límites.

  3. Series de números reales. Series de términos no negativos. Criterios de convergencia. Series de términos cualesquiera. Métodos para sumar series.

  4. Continuidad. Límites de funciones. Funciones continuas. Propiedades. Teoremas de Weierstrass, Bolzano y Darboux. Clasificación de discontinuidades.

  5. Derivabilidad. Reglas de derivación. Teoremas de Rolle y del valor medio. Extremos de funciones. Regla de L'Hôpital. Teoremas de Taylor y Young. Aplicaciones

  6. Integración. La integral de Riemann. Propiedades de la integral. Los teoremas fundamentales del cálculo. Aplicaciones del cálculo integral. Integrales impropias.

  7. Series de potencias. Convergencia de series de potencias. Derivabilidad e integrabilidad de series de potencias.

4.4. Planificación de las actividades de aprendizaje y calendario de fechas clave

Calendario de sesiones presenciales y presentación de trabajos.

Las sesiones presenciales seguirán el calendario académico de la Universidad de Zaragoza y los horarios establecidos por la Facultad de Ciencias.

Las pruebas cortas de evaluación tendrán lugar en el horario de clase, en fechas que se anunciarán con suficiente antelación y contando con la opinión de los alumnos.

El examen del primer cuatrimestre tendrá lugar en enero, en la fecha determinada por la Facultad de Ciencias.

Los exámenes de las convocatorias oficiales de mayo o junio y junio o julio tendrán lugar también en las fechas que determine la Facultad de Ciencias.

4.5. Bibliografía y recursos recomendados