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Academic Year/course: 2022/23

447 - Degree in Physics

26907 - Algebra II

Syllabus Information

Academic Year:
26907 - Algebra II
Faculty / School:
100 - Facultad de Ciencias
447 - Degree in Physics
Second semester
Subject Type:
Basic Education

1. General information

1.1. Aims of the course

Rationale and goals:

The course aims at providing the students with a set of fundamental tools and results in Linear Algebra that will be applied to characterize the description of states and of operators in physical systems, as well as of the transformations representing changes in the reference system.

Together with "Algebra I", "Mathematical Analysis and Differential calculus" (in the first year) and "Geometry and Integral calculus", "Differential Equations", "Mathematical Methods in Physics" and "Computational Physics" (in later years), "Algebra II" provides the student with the necessary mathematical tools to study dynamical models and their solutions.

Despite this bias towards physical applications, it is worth mentioning that the mathematical tools provided are routinely applied  also in several other fields, as chemistry, biology, computer science, economics, geology, among others.

Objectives of the course:

O1. Understanding the meaning of linear transformations and their matrix representation, as well as the importance of the choice of the basis. Understanding the importance of eigenvalue and eigenvectors, as well as the methods to find them out. 

O2. Mastering the concepts of canonical forms of operators and operator functions.

O3. Understanding the meaning and role of scalar products, and as well as the concepts of orthogonality, orthonormal bases and orthonormalization.

O4. Understanding the importance of the transformations that preserve scalar products.

These objectives are not aligned to any of the Sustainable Development Goals of the UN 2030 Agenda (

1.2. Context and importance of this course in the degree

The modeling of physical systems often involves their description in terms of vector spaces and of linear transformations defined on such spaces. It is therefore essential to know how to calculate the intrinsic algebraic features  of a system, such as the set of all possible eigenvalues of a quantum operator, and to know which properties the reference systems,  used in their description, have to fulfill.

1.3. Recommendations to take this course

Students are expected to  attend  Algebra I before this course.

2. Learning goals

2.1. Competences

1: Ability to calculate  eigenvalues and eigenvectors of matrices and operators both analytically and numerically

2: Capacity to determine the canonical form of an operator and to use it to define operator functions

3: Ability to build orthonormal bases and to determine the components of a vector in such bases

4: knowledge of the properties of the eigenvalues and eigenvectors of relevant physical operators (projectors, self-adjoint operators, Hermitian operators, symmetric operators, orthogonal operators, ...)

5: Knowledge of the invariance groups of different scalar products (complex, Euclidean, Minkowski) both in its finite and infinitesimal versions.

2.2. Learning goals

In order to pass, the student should demonstrate the following skills:

1: he/she is able to perform simple matrix operations using numerical tools

2: he/she can determine the characteristic polynomial and generalized eigenspaces of an operator

3: he/she can  calculate  the exponential function of an operator. Example: application to the solution of harmonic oscillator.

4: he/she is able to orthonormalize  a given basis, by the Gram-Schmidt procedure.

5: he/she  knows how to  relate   unitary and orthogonal transformations to hermitian/symmetric operators, via exponentiation.

2.3. Importance of learning goals

The subject of Algebra II is of fundamental importance for the understanding of the tools used to solve classical dynamical systems, and absolutely necessary for the understanding of the basic concepts in quantum mechanics, that are always modeled using the concepts presented herein (or their generalizations to infinite dimensions).

3. Assessment (1st and 2nd call)

3.1. Assessment tasks (description of tasks, marking system and assessment criteria)

Students will prove their understanding and achievements through the following assessment methods:

1) (15% of the final grade). Continuous evaluation of the student's progress by direct interaction in the classroom, rewarding active participation during the lectures, and solution of the problems proposed by the teacher. On top of that, two on-line tests on parts of the program will be proposed.

2) (15% of the final grade). Evaluation of the skills acquired during the computer practice sessions. The results obtained during the practice sessions and/or a specific final exam will be considered for the final grade.

3) (70% of the final grade). A final exam on theory and problems. Depending on the circumstances, and if the students agree, a partial exam on theory and problems on the first chapters will be organized, so that students who reach 5 points out of 10 in the mid-term exam can skip the questions on the first chapters in the final exam.

It is also possible, for students that cannot attend the lectures on a regular basis, to pass the course through two global tests covering points 2,3 above. In that case, point 3 will be scored 85% of the final grade.

It will be necessary to reach a score of 4 out of 10 in both point 2 and 3 above and a global score of at least 5 points out of 10, to pass the course.



4. Methodology, learning tasks, syllabus and resources

4.1. Methodological overview

The learning process for this course is based on the following:

 The lectures (theory session) must provide the student with the backbone of  concepts and contents that will be further expanded through problems and practicas sessions. The optional home-work essay can provide more in-depth understanding on specific topics, that may be  interesting to only a few students. The exercises should also serve as a self-assessment mechanism for the student and that is why participation in problem classes becomes a very important tool.

Course material: There are notes written by the teachers and available from the course's Moodle page. 

All information on the course is presented on the first day of lectures, and is permanently available in the moodle page.

4.2. Learning tasks


Teaching is structured in 4 hours of lecture per week (3 hours of theory + 1 hour of exercises and problems).

Likewise, the course includes 4 practice sessions of 2 hours each of computer practice during the semester, plus an introductory session of 2 hours.

In detail, teaching activities will include:

- Lectures, providing the theorems and demonstrations, organized in their logical layout according to the development of the program.

- Exercise sessions, to apply and consolidate the theoretical understanding by means of relevant examples and problems.

- Computer programming of problems in linear algebra, extending the scope of the classroom exercises to the cases where computations become too heavy (high dimensional vector spaces).

- Self-evaluation tests (optional) in the online-platform Moodle, allowing the students to assess their degree of understanding of the different topics.



4.3. Syllabus

1. Complex Vector Spaces and their endomorphisms

2:  Multilinear mappings

3: Canonical forms of endomorphisms

4: Functions of operators

5: Vector spaces with scalar product

6: Endomorphisms on vector spaces with scalar product

4.4. Course planning and calendar

Lectures (Theory+Problems) will be held in the period February-May, according to the official calendar and schedule published in Computer practice sessions will take place during the semester.


4.5. Bibliography and recommended resources


Curso Académico: 2022/23

447 - Graduado en Física

26907 - Álgebra II

Información del Plan Docente

Año académico:
26907 - Álgebra II
Centro académico:
100 - Facultad de Ciencias
447 - Graduado en Física
Periodo de impartición:
Segundo semestre
Clase de asignatura:
Formación básica

1. Información Básica

1.1. Objetivos de la asignatura

Nuestro objetivo a lo largo del curso será estudiar un conjunto de herramientas que permiten caracterizar la descripción de estados y operadores de sistemas físicos y las transformaciones que representan los cambios admisibles de sistemas de referencia.

Junto con la asignaturas de Álgebra I, Análisis Matemático y Cálculo diferencial (en el primer año) y las asignaturas de Cálculo integral y geometría, Ecuaciones diferenciales, Métodos Matemáticos de la Física y Física computacional en los posteriores, se pretende dotar al alumnos de las herramientas matemáticas necesarias para la formulación de modelos dinámicos y la obtención de soluciones de los mismos. Dichas herramientas son, además, de enorme utilidad para la descripción de sistemas también no pertenecientes al ámbito de la Física, como puede ser la Economía, la Biología, la Geología, etc.

Objetivos de la asignatura:

O1. Caracterizar las aplicaciones lineales como matrices entendiendo el papel de la elección de la base. Concepto de autovalor y autovector y cálculo de los mismos.

O2. Entender y dominar el concepto de formas canónicas de operadores y de funciones de operadores.

O3. Entender el significado y el papel del producto escalar y de los conceptos de ortogonalidad, bases ortonormales y ortonormalización.

O4. Familiarizarse con las transformaciones definidas sobre espacios vectoriales que preservan productos escalares. Estudio de los ejemplos más relevantes.

Estos planteamientos y objetivos no están alineados con ninguno de los Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS) de la Agenda 2030 de Naciones Unidas (

1.2. Contexto y sentido de la asignatura en la titulación

La modelización de sistemas físicos recurre con mucha frecuencia a la descripción de los mismos en términos de espacios vectoriales, estando las magnitudes físicas representadas por funciones o operadores lineales sobre ellos. Es pues fundamental el saber determinar los elementos característicos del sistema, como por ejemplo el conjunto de posibles autovalores de un operador cuántico, y las propiedades que deben de verificar los sistemas de referencia usados en su descripción.

1.3. Recomendaciones para cursar la asignatura

Se recomienda haber cursado la asignatura de Álgebra I

2. Competencias y resultados de aprendizaje

2.1. Competencias

Al superar la asignatura, el estudiante será más competente para...

Calcular valores y vectores propios de matrices y operadores tanto analítica como numéricamente

Determinar la forma canónica de un operador y utilizarla para obtener funciones de éste

Construir bases ortonormales y determinar las componentes de un vector en dichas bases

Conocer las propiedades de los valores y vectores propios de operadores relevantes en física (proyectores, autoadjuntos, hermíticos, simétricos, ortogonales,...)

Expresar los grupos de invariancia de los distintos productos escalares (complejo, real euclídeo, Minkowski) tanto en su versión finita como infinitesimal

2.2. Resultados de aprendizaje

Es capaz de realizar operaciones sencillas con matrices utilizando herramientas numéricas

Puede determinar el polinomio característico y los subespacios propios generalizados de un operador

Sabe obtener la función exponencial de un operador. Aplicarla a la solución de problemas del oscilador

Es capaz de ortonormalizar una base dada mediante el procedimiento de Gram‐Schmidt

Puede relacionar, mediante la función exponencial, las transformaciones unitarias y ortonormales con los operadores hermíticos y simétricos, respectivamente


2.3. Importancia de los resultados de aprendizaje

La asignatura de Álgebra II es de fundamental importancia para la comprensión de las herramientas empleadas en la solución de los sistemas dinámicos clásicos, y absolutamente necesaria para la comprensión de los conceptos básicos de la mecánica cuántica, que se modelizarán siempre usando los conceptos aquí presentados o sus generalizaciones a dimensión infinita.

3. Evaluación

3.1. Tipo de pruebas y su valor sobre la nota final y criterios de evaluación para cada prueba

El estudiante deberá demostrar que ha alcanzado los resultados de aprendizaje previstos mediante las siguientes actividades de evaluación

1) (15% de la nota final) Evaluación continua del aprendizaje del alumno mediante la resolución de problemas, cuestiones y otras actividades propuestas por el profesor de la asignatura. Se incluirán dos tests por Moodle  a lo largo del curso.  

2)   (15% de la nota final) Evaluación de las prácticas con ordenador. Se realizará a través de la evaluación durante las sesiones de prácticas y/o de un examen final específico

3) (70% de la nota final) Realización de  una prueba final  de teoría y problemas. Según las circunstancias y si los estudiantes están de acuerdo, se podrá organizar una sesión de examen parcial de teoría y problemas, sobre los primeros temas, de forma que los estudiantes que alcancen una nota de 5/10 puedan evitar las preguntas correspondientes a estos temas en el examen final.

Será necesario alcanzar una nota de 4 sobre 10 tanto en las prácticas con ordenador como en la prueba de teoría y problemas  y alcanzar una nota global de 5 sobre 10 para poder superar la asignatura

Superación de la asignatura mediante una prueba global única

En el caso de que el estudiante opte por una prueba global única,  las actividades de evaluación serán:

- Evaluación del trabajo en las prácticas con ordenador (15% de la nota final). Se realizará a través de un examen.

- Realización del examen final de teoría y problemas (85% de la nota final).

Será necesario alcanzar una nota de 4 sobre 10 en ambos los puntos 2 y 3 mencionados arriba y alcanzar una nota global de 5 sobre 10, para poder superar la asignatura.

4. Metodología, actividades de aprendizaje, programa y recursos

4.1. Presentación metodológica general

El proceso de aprendizaje que se ha diseñado para esta asignatura se basa en lo siguiente:

Las clases magistrales deben proporcionar al alumno la estructuración de contenidos que luego deben cimentarse con las clases de problemas y prácticas. El trabajo  puede proporcionar una mayor profundidad en temas específicos que puedan resultar de especial interés sólo a algunos alumnos.  Los ejercicios deben servir también como mecanismo de autoevaluación para el alumno y es por eso que la participación en las clases de problemas se convierte en una  herramienta muy importante.

Existen apuntes redactados por el profesor y disponibles en la página web en la plataforma Moodle. Toda la información sobre la asignatura se presenta el primer día de clase, y se proporciona de forma permanente en la página de Moodle de la asignatura.

4.2. Actividades de aprendizaje

Las actividades docentes y de evaluación se llevarán a cabo de modo presencial salvo que, debido a la situación sanitaria, las disposiciones emitidas por las autoridades competentes y por la Universidad de Zaragoza dispongan realizarlas de forma telemática o semi-telemática con aforos reducidos rotatorios.

El programa que se ofrece al estudiante para ayudarle a lograr los resultados previstos comprende las siguientes actividades...

La docencia se estructura en 4 horas semanales, en las que se incluyen las sesiones teóricas y las de problemas. Así mismo el curso incluye 4 sesiones de prácticas de ordenador de 2  horas cada una y una sesión introductoria de 2 horas.

En detalle, las actividades  docentes  incluirán:

- Clases magistrales, que proporcionan los teoremas y demostraciones, organizados en su diseño lógico de acuerdo con el desarrollo del programa.

- Sesiones de ejercicios, para aplicar y consolidar la comprensión teórica mediante ejemplos y problemas relevantes.

- Programación por ordenador de problemas de álgebra lineal, extendiendo el alcance de los ejercicios de clase a los casos en que los cálculos se vuelven demasiado pesados ​​para efectuarlos manualmente (espacios vectoriales de alta dimensión)

- Tests de autoevaluación (opcionales) en la plataforma en línea Moodle, que permite a los estudiantes evaluar su grado de comprensión de los diferentes temas.

4.3. Programa

Capítulo 1. Espacios vectoriales complejos y sus endomorfismos

Capítulo 2: Aplicaciones multilineales

Capítulo 3: Propiedades de endormorfismos

Capítulo 4: Funciones de operadores

Capítulo 5: Espacios vectoriales con producto escalar

Capítulo 6: Endomorfismos sobre espacios vectoriales con producto escalar

4.4. Planificación de las actividades de aprendizaje y calendario de fechas clave

Calendario de sesiones presenciales y presentación de trabajos

Las clases magistrales y las sesiones de problemas se realizarán en el período febrero-mayo, de acuerdo al calendario y horario publicado en la página oficial de la Facultad de Ciencias: . Las sesiones de prácticas con ordenador se desarrollarán a lo largo del semestre.

4.5. Bibliografía y recursos recomendados