## 27508 - Mathematics II

### Teaching Plan Information

2021/22
Subject:
27508 - Mathematics II
Faculty / School:
109 - Facultad de Economía y Empresa
Degree:
449 - Degree in Finance and Accounting
ECTS:
6.0
Year:
1
Semester:
Second semester
Subject Type:
Basic Education
Module:
---

### 1.1. Aims of the course

The general objectives of the mathematical subjects in this Degree are included in the following two main goals: (1) Mathematical education, (2) Training to apply Mathematics to the challenges that the students will encounter in their careers.

The subject Mathematics II supposes a step forward in these objectives which Mathematics I also dealt with. Education in Mathematics is significant not only because of the transmission of new concepts, but also because the students gain a rigorous and accurate perspective, as well as the capacity for abstraction and the scientific method that characterize Mathematics. Regarding the second goal, this subject introduces students to modelling, using the mathematical analysis approach through two different ways: classical optimization, and dynamical analysis.

### 1.2. Context and importance of this course in the degree

Mathematics II is a course of basic training of 6 ECTS that is taught in the second semester of the first academic year and which is the continuation of Mathematics I taught in the first semester of the same course, on whose concepts are based.

The course mathematics II is divided into two clearly distinct blocks: mathematical programming and dynamic analysis, which respond to two different points of view of economic reality. After the first, the student will know how to pose and solve a wide range of classic optimization problems: linear or nonlinear, without restrictions or with equality constraints. In the case of optimization programs in which both the objective function and the constraints are linear is used as a technique for resolution simplex method. This theme can be used to connect the traditional teaching of resolution with the use of computer programs that simplify the process of calculation and place the student in professional practice.
In the second block, dynamic analysis, it is solved differential equations and analyzed the solution. Its inclusion in the program is required because in the economic analysis it is usual that economic processes are not static, as for example: optimal economic growth.

As Mathematics is a tool and a support for other subjects that are essential in the education of the students (Microeconomics, Macroeconomics, Econometrics, etc.), Mathematics II continues the line of work of Mathematics I by bringing Mathematics closer to problems in economic scenarios, which will undoubtedly facilitate a deeper comprehension of and, as a consequence, better skills in applying Mathematics.

After passing the mathematical subjects in the Degree, the students will have worked towards attaining one of the most important goals of mathematical theory: to formulate models that explain the real world. Prospective graduates will be able to use the language of science and to understand the role played by Mathematics in the development of their thinking skills, given that the students’ logical reasoning, accuracy, rigor, capacity for abstraction and skills in interpreting results will be improved. This is why the subjects of Mathematics are indispensable tools which allow the designing of appropriate models that are used for researching, describing, understanding and thinking about the realities of companies.

### 1.3. Recommendations to take this course

The students should have a good command of all the contents of the subject Mathematics I, taught during the first semester of the first year. They must, in any case, know the meaning and implications of the differentiability of a function and be skilled in the calculus of partial derivatives. The students also have to know how to determine the sign of a quadratic form. They must also be able to present and support an argument with a logical sequence and to connect various mathematical aspects previously learnt.

### 2.1. Competences

After completing the course, the student will be competent in the following skills:

1. Understand the nature of the firm and the institutions, their relation with the economic, legal, social and environmental contexts and their incidence over the financial and accounting departments of the organizations.

2.  Understand the operation of the financial markets, the involved institutions, the instruments traded and their influence in the investment decisions and the financing of the organizations and persons.

3. Identify, interpret and assess the financial and accounting information of the firms and institutions to identify the strengths and weaknesses, and to advice from a technical, financial and accounting focus the decisions to be taken.

4. Capacity to elaborate financial and accounting reports, internal and external, in addition to obtain and express an independent opinion on the accounting information of an organization.

5. Capacity for synthesis and analysis.

6. Capacity for problem solving.

7. Develop collaborative attitudes and of work in multidisciplinary or multicultural teams, and to develop a critical attitude for debating.

8. Capacity for innovation in all aspects, and for adapting to new environments: social, cultural, technological.

9. Motivation for the autonomous and continued learning.

## The student, in order to pass the course, will have to show her/his competence in the following skills:

1. To have gained good skills in using mathematical language, both in comprehension and writing.
2. To be able to identify the fundamental elements of an optimization problem: variables, objective function and constraints.
3. To be able to formulate static optimization problems: unconstrained, and with equality and/or inequality constraints.
4. To know how to solve an optimization problem by the graphical method, when that is possible.
5. To be able to evaluate whether or not a mathematical programmer meets the conditions that allow it to be solved by the techniques learnt.
6. To be able to distinguish between critical points and extrema (optima).
7. To be able to discriminate between local and global optima.
8. To be able to distinguish between necessary conditions and sufficient conditions for local optimality.
9. To be able to calculate the critical points by solving the system of equations obtained by applying the first-order conditions for local optimality, both for unconstrained cases and for problems with equality constraints.
10. To know how to classify the obtained critical points by using the second-order conditions, both for unconstrained optimization programs and for problems with equality constraints.
11. To be able to apply the conditions which guarantee that an optimum is global.
12. To be able to interpret economically the Lagrange multipliers obtained in an optimization problem with equality constraints.
13. To be able to evaluate whether a mathematical program is linear. If it is, they must know how to solve it by the graphical method (when that is possible) and by the simplex algorithm.
14. When varying a parameter of a linear optimization program, the students must be able to analyze how the solution changes, without solving the new problem.
15. To be able to use some computer programs to find the solution to an optimization problem and to be able to interpret the results obtained.
16. To be able to identify a dynamic process in an economic scenario and be able to represent this process (when possible) by an ordinary differential equation.
17. To understand the concept of the solution of an ordinary differential equation and to be able to distinguish between general solution and particular solution.
18. To be able to discriminate between a first-order differential equation and a linear differential equation of order n.
19. To be able to identify whether a first-order differential equation is with separable variables, homogeneous, exact, or of linear type, and to know how to solve the equation by the appropriate method.
20. For a linear differential equation with constant coefficients, they must be able to write the complementary (homogeneous) equation and obtain its general solution.
21. To be able to find a particular solution of a linear differential equation with constant coefficients.
22. To have the know-how to calculate the general solution of a linear differential equation with constant coefficients.
23. To be able to work out the solution of a linear differential equation of order n with constant coefficients, given n initial conditions.

### 2.3. Importance of learning goals

They permit the comprehension of theoretical concepts and models that are part of the contents of other related subjects studied in the Degree. Mathematics is most important in this goal because it facilitates the analysis and discussion of the models and concepts studied. In this regard, it is worth mentioning that Optimization techniques allow the laying of the foundations of the two basic paradigms of Microeconomics, namely, the theory of consumer choice and the production theory. The concepts of convex set and concave/convex function, whose economic interpretations are, respectively, the diversity in consumption and the law of diminishing marginal returns, have important applications. Linear Programming is very useful in production planning problems and it allows the solving of some simple exercises of comparative statics.

Different techniques are required for the analysis of dynamic processes in continuous time, which is essential, for example, in models of economic growth. The theory of differential equations provides the necessary tools to deal with some key concepts such as trajectory over time, evolution of the system, stability, etc.

### 4.1. Methodological overview

The methodology followed in this course is oriented towards the achievement of the learning objectives. A wide range of teaching and learning tasks are implemented, such as lectures, practice sessions, autonomous work, study and assessment tasks.

The objective of this subject is that the students should develop the analytical skills, rigor and intuition needed for using mathematical concepts and results and that they should be able to apply these abilities to the analysis of problems of an economic nature. Therefore, the teaching should aim to provide students with a solid mathematical knowledge and to train them in a way of reasoning that will allow them thereafter to successfully solve a wide variety of questions in an economic scenario.

Students are expected to participate actively in class throughout the semester.

Further information regarding the course will be provided on the first day of class.

The course includes the following learning tasks:

• Lectures (1.2 ECTS credits,30 hours), which the professor will present the concepts and results corresponding to the contents. At the same time, some exercises will be solved with the participation of the students to help them comprehend the theoretical concepts presented. These classes are face-to-face and will be given to the full group.
• Practice sessions, (1.2 ECTS credits (30 hours each subgroup), in which the students will apply the theoretical results in order to solve, with the teacher’s help, more complete exercises, and problems of an economic nature. Problem sheets will be available for the students and the teacher will announce in advance the problems that will be solved in each practical lesson so that the students can prepare them beforehand. These classes are face-to-face and will be given separately to each subgroup.
• Seminars (practical classes P6), subject to availability professors staff, in which may consist of a number of different activities designed to support the learning process, including: follow-up of some simple projects that had been assigned to small teams of students and the presentation of these projects; answering questions that students may have regarding some of the contents taught; solving problems of an economic nature by using some of the mathematical tools taught during the classes, etc. These seminars may also be devoted to the teaching of more advanced topics, intended for the students interested in learning some further mathematical tools that would allow them to deal with more general problems. In this way, the students are shown that both Mathematics and Economics are vibrant sciences with many facets to be studied. Both, the splitting in two of the group in the practical sessions and the P6 activities will be subject to the availability of professors. Attendance at practical classes P6, which may include computer practice if the global schedule allows it.
• Autonomous work: 3.6 ECTS credits.

The teaching methodology is expected to be face-to-face. However, if for public health reasons it were necessary, the classes might take place online.

### 4.3. Syllabus

The course will address the following topics:

Topic 1: Mathematical programs

• 1.1. General formulation of a mathematical program. Classification.
• 1.2. Definitions and properties. Weierstrass’ Theorem.
• 1.3. Graphical solving.
• 1.4. Introduction to convexity:
• 1.4.1. Convex sets. Definition and properties.
• 1.4.2. Convex and concave functions. Definitions and properties.
• 1.4.3. Convex programs.

Topic 2: Programming without constraints

• 2.1. Problem formulation.
• 2.2. Local optima:
• 2.2.1. First order conditions for the existence of a local optimum.
• 2.2.2. Second order conditions for the existence of a local optimum.
• 2.3. Global optima: convex programs.

Topic 3: Programming with equality constraints

• 3.1. Problem formulation.
• 3.2. Local optima:
• 3.2.1. First order conditions for the existence of a local optimum.
• 3.2.2. Second order conditions for the existence of a local optimum.
• 3.3. Global optima: convex programs and Weierstrass' Theorem.
• 3.4. Economic interpretation of the Lagrange's multipliers.

Topic 4: Linear programming

• 4.1. Formulation of a problem of linear programming.
• 4.2. Solutions of a linear program. Basic feasible solutions.
• 4.3. Characterization of the optimal basic feasible solutions. Simplex' Algorithm.
• 4.4. Introduction to the sensitivity analysis.
• 4.5. Introduction to the dual program.

Topic 5: Introduction to ordinary differential equations

• 5.1. Introduction to the dynamical analysis.
• 5.2. Concept of differential equation, solution and types of solution.
• 5.3. First order ordinary differential equations:
• 5.3.1. Separable equations.
• 5.3.2. Linear first order equations.
• 5.4. Linear differential equations of order n with constant coefficients.
• 5.5. Qualitative analysis: equilibrium points and stability.

### 4.4. Course planning and calendar

Further information concerning the timetable, classroom, office hours, assessment dates, midterm exams, final exam and other details regarding this course, will be provided on the first day of class or please refer to the Faculty of Economics and Business website (https://econz.unizar.es/).

## 27508 - Matemáticas II

### Información del Plan Docente

2021/22
Asignatura:
27508 - Matemáticas II
109 - Facultad de Economía y Empresa
Titulación:
Créditos:
6.0
Curso:
1
Periodo de impartición:
Segundo semestre
Clase de asignatura:
Formación básica
Materia:
Matemáticas

### 1.1. Objetivos de la asignatura

Los objetivos de carácter general de la enseñanza de las matemáticas en este grado pueden englobarse en dos:

1. Formación matemática del estudiante.

2. Capacitación del estudiante para la utilización de las matemáticas en los problemas que se le planteen en su futura profesión.

La asignatura supone un paso más en dichos objetivos ya abordados, por otra parte, en las Matemáticas I. La importancia de la formación matemática no radica sólo en los nuevos conceptos que proporciona sino en la adquisición de un enfoque riguroso, preciso, así como la capacidad de abstracción y el método científico que caracterizan a la Matemática. En cuanto al segundo objetivo, se introduce al estudiante en técnicas de modelización desde el punto de vista del análisis matemático a través de dos vías diferentes: optimización clásica por un lado y análisis dinámico por otro.

Estos planteamientos y objetivos están alineados con los Objetivos de Desarrollo Sostenible (ODS) de la agenda 2030 y determinadas metas concretas (https://www.un.org/sustainabledevelopment/es/ ), contribuyendo en cierta medida a su logro:

Objetivos 1-17 (en todos pueden aplicarse modelizaciones matemáticas).

### 1.2. Contexto y sentido de la asignatura en la titulación

Matemáticas II es una asignatura de formación básica de 6 créditos ECTS que se imparte en el segundo cuatrimestre del primer curso y que es la continuación de Matemáticas I impartida en el primer cuatrimestre del mismo curso, en cuyos conceptos se fundamenta.

La asignatura Matemáticas II está dividida en dos bloques claramente diferenciados: Programación Matemática y Análisis Dinámico, que dan respuesta a dos puntos de vista de la realidad económica diferentes. Tras el primero el estudiante sabrá plantear y resolver un amplio abanico de problemas de optimización clásica: lineales o no lineales, sin restricciones o con restricciones de igualdad. En el caso de programas de optimización en los que tanto la función objetivo como las restricciones son lineales se utiliza como técnica de resolución el método del simplex. Puede utilizarse este tema para conectar la enseñanza  tradicional de resolución con el uso de programas informáticos, que simplifican el proceso de cálculo y sitúan al estudiante en la práctica profesional.

En el segundo bloque, análisis dinámico, se trata de resolver ecuaciones diferenciales y analizar su solución. Su inclusión en el programa es necesaria porque en el análisis económico es habitual que los procesos económicos sean no estáticos, como por ejemplo inversión óptima a largo plazo.

Dado que las asignaturas de matemáticas deben de ser un instrumento y apoyo de otras que son esenciales en su formación, tales como Microeconomía, Macroeconomía, Econometría, etc., se continúa en la línea de trabajo ya abordada en Matemáticas I de acercar las matemáticas a los problemas de naturaleza económica, lo que sin duda ayudará a una mejor comprensión de las matemáticas y, en consecuencia, a una mayor capacidad para su aplicación.

Al finalizar estas asignaturas los estudiantes habrán trabajado para conseguir uno de los fines más importantes de la teoría matemática: construir modelos que describan el mundo real. El futuro graduado será capaz de utilizar el lenguaje en el que se expresa la ciencia, reconociendo el papel que las matemáticas juegan en el desarrollo de su pensamiento, al mejorar su razonamiento lógico, precisión, rigor, abstracción y capacidad para valorar resultados. Por ello, las asignaturas de carácter matemático son herramientas imprescindibles que permiten diseñar los modelos oportunos mediante los cuales se investiga, describe, comprende y reflexiona acerca de la realidad de la empresa.

### 1.3. Recomendaciones para cursar la asignatura

Es aconsejable que los estudiantes que vayan a cursar esta asignatura hayan adquirido todos los conocimientos necesarios para superar la asignatura Matemáticas I del primer semestre del primer curso. En cualquier caso, los estudiantes deben  conocer el significado e implicaciones de la diferenciabilidad de una función y tener destreza en el cálculo de derivadas  parciales de una función así como en la determinación del signo de una forma cuadrática. Además deben de poder realizar y seguir una secuencia lógica así como relacionar entre si distintos aspectos de las matemáticas ya conocidos.

### 2.1. Competencias

Al superar la asignatura, el estudiante será más competente para

1. Comprender la naturaleza de la empresa e instituciones, su relación con el entorno económico, jurídico, social y medioambiental y la incidencia del mismo sobre las áreas financiera y contable de las organizaciones.
2. Entender el funcionamiento de los mercados financieros, las instituciones que en ellos intervienen, los instrumentos que en ellos se negocian y su influencia en las decisiones de inversión y financiación de las organizaciones y personas.
3. Identificar, interpretar y evaluar la información financiera y contable de las empresas e instituciones para identificar las fortalezas y debilidades, así  como para asesorar desde un enfoque técnico, financiero y contable en la toma de decisiones.
4. Capacidad para elaborar informes contables y financieros, externos e internos, así como para obtener y emitir una opinión independiente sobre la información contable de una organización.
5. Capacidad de análisis y síntesis.
6. Capacidad para la resolución de problemas.
7. Desarrollar actitudes colaborativas y de trabajo en equipos multidisciplinares o multiculturales, así como desarrollar una actitud crítica para el debate.
8. Capacidad para innovar en todos los aspectos, así como para adaptarse a nuevos entornos: sociales, culturales, tecnológicos,…
9. Motivación por el aprendizaje autónomo y continuado.

El estudiante, para superar esta asignatura, deberá demostrar los siguientes resultados...

1.      Ha adquirido destreza en el uso del lenguaje matemático, tanto en su comprensión como en su escritura.

2.     Identifica los elementos fundamentales de un problema de optimización: variables, función objetivo y restricciones.

3.      Plantea problemas de optimización estática sin restricciones y con restricciones de igualdad y de desigualdad.

4.      Resuelve gráficamente, en los casos en que sea posible, un problema de optimización.

5.      Valora si un programa matemático cumple las condiciones para ser resuelto mediante las técnicas estudiadas.

6.      Distingue entre puntos críticos y extremos u óptimos.

7.      Distingue entre óptimos locales y óptimos globales

8.      Distingue entre condiciones necesarias y condiciones suficientes de optimalidad local

9.      Calcula los puntos críticos resolviendo el sistema de ecuaciones obtenido al plantear las condiciones de primer orden de optimalidad local, tanto en el caso sin restricciones como en el caso de restricciones de igualdad

10.    Estudia los puntos críticos obtenidos utilizando las condiciones de segundo orden, tanto en el caso de problemas de optimización sin restricciones como en el caso de problemas con restricciones de igualdad.

11.    Aplica las condiciones que aseguran la globalidad de los óptimos.

12.    Interpreta el significado económico de los multiplicadores de Lagrange obtenidos en un problema de optimización con restricciones de igualdad.

13.    Evalúa si un programa matemático es lineal y lo resuelve gráficamente, si es posible, y por medio del algoritmo del simplex.

14.    Analiza la variación en la solución de un problema de optimización lineal ante una modificación en algún dato del problema sin necesidad de resolver un nuevo problema.

15.    Resuelve, utilizando programas informáticos adecuados, un problema de optimización, asi como sus distintos elementos, e interpreta los resultados obtenidos.

16.    Identifica un proceso dinámico en un fenómeno económico y lo representa si es posible mediante una ecuación diferencial ordinaria.

17.    Comprende el concepto de solución de una ecuación diferencial ordinaria y distingue entre solución general y solución particular.

18.    Distingue entre ecuación diferencial de primer orden y ecuación diferencial lineal de orden n.

19.    Resuelve algunas ecuaciones diferenciales de primer orden utilizando el método adecuado.

20.    Distingue en una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes, la ecuación homogénea asociada y calcula su solución general.

21.    Calcula una solución particular de una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes.

22.    Calcula la solución general de una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes.

23.    Calcula la solución de una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes de orden n con n condiciones iniciales.

24.    Es capaz de relacionar los distintos temas tratados en la asignatura.

### 3.1. Tipo de pruebas y su valor sobre la nota final y criterios de evaluación para cada prueba

El estudiante deberá demostrar que ha alcanzado los resultados de aprendizaje previstos mediante las siguientes actividades de evaluación:

La evaluación será GLOBAL, tanto en primera como en segunda convocatoria.

A fecha de cierre de esta Guía Docente, se desconoce qué tipo de aula se va a disponer para la realización de las prácticas.

Así pues, distinguimos dos escenarios y la evaluación será la apropiada a cada escenario.

1. Escenario “aula de prácticas de tipo informático, es decir, con equipos informáticos para los estudiantes propios de la Universidad de Zaragoza”. En tal caso la evaluación sería como sigue:

Las actividades de evaluación previstas son de dos tipos:

- Prueba informática (PI) a realizar en el aula de informática, en las que los alumnos deberán aplicar las herramientasinformáticas a los conceptos matemáticos desarrollados en el curso (Temas 1 a 5) con los Software Libres wxMaxima y GeoGebra u otro legalmente licenciado. En las pruebas informáticas se valorará el uso de las funciones de estos programas relacionadas con las Matemáticas de la asignatura, los resultados numéricos y/o simbólicos obtenidos, así como su interpretación y conclusiones. El nivel de exigencia será similar a la del material visto en clase.

- Prueba escrita (PE) en la que los alumnos deberán resolver diversas cuestiones y problemas teóricos, teórico-prácticos y prácticos referentes a la aplicación de las técnicas matemáticas presentadas en los Temas 1 a 5. En cada problema se plantearán diversos apartados en cuya resolución se valorará tanto el planteamiento matemático del problema, el uso de la notación y terminología matemática, la correcta resolución numérica y/o simbólica y la interpretación/comparación de los resultados obtenidos. El nivel de exigencia será similar a la del material visto en clase.

Cada prueba se calificará en una escala de 0 a 10 puntos.

La parte de la asignatura evaluada mediante pruebas informáticas (PI) tendrá un peso del 60% en la calificación global, mientras que la parte evaluada mediante prueba escrita (PE) tendrá el 40% restante. Para superar la asignatura se exigirá un mínimo de 4 puntos en cada una de las partes (PI y PE) y obtener una puntuación superior o igual a 5 puntos sobre 10 en la nota final. La calificación final se obtendrá como: NOTA_FINAL = 0.6*PI + 0.4*PE salvo cuando una única parte (PI o PE) no alcance el mínimo indicado (4 puntos), en cuyo caso la calificación reflejada en el acta de la asignatura será.la de dicha parte.

La parte informática podrá ser superada por los alumnos mediante dos pruebas informáticas parciales, PI1 (Temas 1 a 3) y PI2 (Temas 4 y 5) que se realizarán durante el periodo de clases o mediante una única prueba informática global (PI) que se realizará en las fechas de las convocatorias oficiales.

Para poder optar a las pruebas informáticas parciales (PI1 y PI2) es obligatorio participar activamente y resolver las cuestiones, ejercicios y pruebas que se realizarán en las clases presenciales (mínimo 60%), según las indicaciones que el profesor responsable de cada grupo de la asignatura expondrá el día de la presentación de la misma.

La prueba escrita se realizará únicamente en las fechas de las convocatorias oficiales.

Para superar la parte informática mediante las pruebas informáticas parciales el alumno deberá obtener al menos 3 puntos en cada una de las pruebas, y la nota media de las dos pruebas (PI = 0.5*PI1 + 0.5*PI2) deberá ser igual o superior a 4 puntos. Los estudiantes que, aun habiendo obtenido estas puntuaciones mínimas en las pruebas informáticas parciales, quieran mejorar su calificación de la parte informática para la primera convocatoria podrán realizar la prueba informática global (PIG), manteniendo la mejor de las dos calificaciones.

Los estudiantes que no hayan superado la asignatura en primera convocatoria podrán presentarse a la segunda convocatoria, cuya evaluación será similar a la evaluación global de la primera convocatoria, una Prueba Informática (PI) + Prueba Escrita (PE). La prueba informática PI (o bien la global o bien por PI1+PI2) con mínimo de 4, de la primera convocatoria, se guarda para la segunda.

Escenario “aula de prácticas de tipo NO informático, es decir, sin equipos informáticos para los estudiantes propios de la Universidad de Zaragoza”. En tal caso la Evaluación sería como sigue:

La evaluación será GLOBAL, tanto en primera como en segunda convocatoria, y consistirá en un examen final a realizar en el periodo establecido por el Centro. Dicho examen se realizará de forma escrita y evaluará los resultados de aprendizaje propuestos mediante preguntas teóricas, prácticas y/o teórico-prácticas que se ajustarán a la materia impartida. Se puntuará sobre 10 puntos.

Además, en la PRIMERA CONVOCATORIA cabe la posibilidad de realizar una prueba voluntaria intermedia valorada en 5 puntos. Esta prueba evaluará los conocimientos sobre la materia correspondiente a los temas 1 y 2 del programa de la asignatura se realizará en horario de clase o, si así lo estipulara el centro correspondiente, en los días/horas que se habiliten para la realización de pruebas de evaluación continua.

Los estudiantes que obtengan en dicha prueba una calificación superior o igual al 50% de la nota (2,5 puntos sobre 5) podrán optar por eliminar dicha materia del examen global de la primera convocatoria y examinarse únicamente de los restantes contenidos (valorados en 5 puntos); en este caso la nota correspondiente a la materia eliminada será traspasada a la nota del examen global. Para superar la asignatura el estudiante debe obtener un mínimo de 5 puntos sobre 10. Si el o la estudiante obtuviera una calificación superior o igual al 50% de la nota (2,5 puntos sobre 5) y quisiera realizar la totalidad de la prueba global, se le considerará la mejor de las dos calificaciones en la primera parte para calcular la nota total.

Para poder optar a esta forma de evaluación es obligatorio participar activamente y resolver las cuestiones, ejercicios y pruebas que se realizarán en las clases presenciales (mínimo un 60%), según las indicaciones que el profesor responsable de cada grupo de la asignatura expondrá el día de la presentación de la misma. En tal caso es necesario asistir y participar en al menos el 75% de las sesiones presenciales y/o de actividades propuestas. El estudiante que al final del semestre no cumpla con este requisito no podrá optar a este procedimiento de evaluación.

Común a ambos escenarios a) y b):

Debe tenerse en cuenta que los cursos académicos cierran los procesos de evaluación, lo que hace que no puedan reclamarse méritos de un curso para evaluaciones de cursos académicos posteriores.

La evaluación de los estudiantes de quinta y sexta convocatoria se realizará según el acuerdo de 22 de diciembre de 2010 del Consejo de Gobierno por el que se aprueba el reglamento de normas de evaluación del aprendizaje de la Universidad de Zaragoza.

Está previsto que estas pruebas se realicen de manera presencial, pero si las circunstancias sanitarias lo requieren, se realizarán de manera online. En el caso de evaluación online, es importante destacar que, en cualquier prueba, el estudiante podrá ser grabado, pudiendo este ejercer sus derechos por el procedimiento indicado en:

https://protecciondatos.unizar.es/sites/protecciondatos.unizar.es/files/users/lopd/gdocencia_reducida.pdf

Se utilizará el software necesario para comprobar la originalidad de las actividades realizadas. La detección de plagio, copia o cualquier otra práctica irregular en una actividad implicará la calificación de 0 puntos en la misma.

Criterios de valoración

Se evaluará si el estudiante ha adquirido los resultados de aprendizaje expuestos anteriormente. En particular se valorarán los siguientes aspectos:

1. El uso correcto de la escritura del lenguaje matemático.
2. El razonamiento lógico en el planteamiento y en la resolución de los problemas.
3. La referencia al contenido teórico que se utiliza, si es destacable.
5. La claridad en la aplicación de los conceptos y procedimientos matemáticos.
7. La expresión correcta en los resultados obtenidos al resolver problemas.

### 4.1. Presentación metodológica general

Con esta asignatura se persigue que el estudiante desarrolle la capacidad analítica, el rigor y la intuición en el uso de los conceptos y resultados matemáticos y los sepa aplicar al análisis de problemas de índole económico. Es por esto que la formación del estudiante debe ir orientada en la dirección de dotarle de unos sólidos conocimientos matemáticos e inculcarle una sistemática en el razonamiento que posteriormente le permita encarar con éxito la solución de un amplio abanico de problemas en el contexto económico.

El programa que se ofrece al estudiante para ayudarle a lograr los resultados previstos comprende las siguientes actividades...

- Clases teóricas, en las que se combinará la clase magistral para exponer los conceptos y resultados de los contenidos de la asignatura con la resolución participativa de ejercicios, en los que se aplicará de forma inmediata los aspectos teóricos explicados para ayudar a los estudiantes a asimilarlos. Estas clases serán presenciales y se impartirán a todo el grupo.

Cuantificación temporal: 1,2 créditos ECTS (30 horas).

- Clases prácticas, en las que los estudiantes irán resolviendo, con la ayuda del profesor, ejercicios más completos y problemas de carácter económico en los que se apliquen los resultados matemáticos vistos. Estos ejercicios y problemas estarán en las hojas de problemas de la asignatura (ver enlace a web) y se  anunciará con antelación cuáles se van a resolver en cada clase práctica para que el estudiante los pueda  preparar. Estas clases serán presenciales y se impartirán a la mitad del grupo.

Cuantificación temporal: 1,2 créditos ECTS (30 horas).

- Seminarios (prácticas tipo P6), en los que se podrán realizar diversas actividades: seguimiento del desarrollo de un trabajo que se habrá propuesto a un grupo de estudiantes y defensa del mismo; tutorías colectivas de determinados temas; desarrollo de problemas de carácter económico en cuya resolución se utilicen herramientas matemáticas explicadas en la asignatura… Estos seminarios podrían dedicarse además a la ampliación de conocimientos mostrando a los estudiantes que estén interesados otras herramientas matemáticas que permitan resolver problemas más generales. Se pone así de manifiesto que tanto la Ciencia Matemática como la Ciencia Económica son ciencias vivas y por tanto con muchos aspectos para estudiar.

- Actividades no presenciales. Cuantificación temporal: 3,6 créditos ECTS

La metodología docente está previsto que sea presencial. No obstante, si fuese necesario por razones sanitarias, las clases presenciales podrán impartirse online.

### 4.3. Programa

En las clases teóricas y prácticas se expondrán los contenidos incluidos en el programa que se detalla a continuación. El orden en la impartición de los contenidos podrá experimentar alguna variación que será indicada por el profesor en la presentación de la asignatura.

Tema 1: Programas matemáticos

1.1. Formulación general de un programa matemático. Clasificación.

1.2. Definiciones y propiedades. Teorema de Weierstrass.

1.3. Resolución gráfica.

1.4.1. Conjuntos convexos. Definición y propiedades.

1.4.2. Funciones convexas y cóncavas. Definiciones y propiedades.

1.4.3. Programas convexos.

Tema 2: Programación sin restricciones

2.1. Formulación del problema.

2.2. Óptimos locales:

2.2.1. Condiciones de primer orden para la existencia de óptimo local.

2.2.2. Condiciones de segundo orden para la existencia de óptimo local.

2.3. Óptimos globales: Programas convexos.

Tema 3: Programación con restricciones de igualdad

3.1. Formulación del problema.

3.2. Óptimos locales:

3.2.1. Condiciones de primer orden para la existencia de óptimo local.

3.2.2. Condiciones de segundo orden para la existencia de óptimo local.

3.3. Óptimos globales: Programas convexos y Teorema de Weierstrass.

3.4. Interpretación económica de los multiplicadores de Lagrange.

Tema 4: Programación lineal

4.1. Formulación de un problema de programación lineal.

4.2. Soluciones de un programa lineal. Soluciones factibles básicas.

4.3. Caracterización de las soluciones básicas óptimas. Algoritmo del simplex.

4.4. Introducción al análisis de sensibilidad.

4.5. Introducción al programa dual.

Tema 5: Introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias

5.1. Introducción al análisis dinámico.

5.2. Concepto de ecuación diferencial, solución y tipos de soluciones.

5.3. Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden:

5.3.2. Ecuaciones lineales de primer orden.

5.4. Ecuaciones diferenciales lineales de orden n con coeficientes constantes.

5.5. Análisis cualitativo: puntos de equilibrio y estabilidad.

### 4.4. Planificación de las actividades de aprendizaje y calendario de fechas clave

El día de la presentación de la asignatura se expondrá, en cada grupo, el calendario detallado de la asignatura según las características del curso académico.

- Planteamiento inicial de la asignatura: Inicio de las clases (teóricas y prácticas)

- Asistencia y aprovechamiento continuado a las clases teóricas y prácticas

- Asistencia a las prácticas P6 (según calendario del grupo)

- Realización, según calendario indicado el día de la presentación, de pruebas intermedias de evaluación

- Examen final en la fecha fijada en el calendario de exámenes del Centro

- Las fechas clave de la asignatura se anunciarán en el aula y/o plataformas docentes del profesorado