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Academic Year/course: 2021/22

453 - Degree in Mathematics

27043 - Algebraic Curves


Syllabus Information

Academic Year:
2021/22
Subject:
27043 - Algebraic Curves
Faculty / School:
100 - Facultad de Ciencias
Degree:
453 - Degree in Mathematics
ECTS:
6.0
Year:
4
Semester:
First semester
Subject Type:
Optional
Module:
---

1. General information

1.1. Aims of the course

This is an optative course of the degree in Mathematics. Its main aim is to provide an introduction in two of the most classical subjects in mathematics: algebra and geometry.

1.2. Context and importance of this course in the degree

This subject can be understood as a continuation of the the courses on Linear Algebra, Algebrais Structures and Galois Theory. It is also closely related to the part of the degree in Mathematics devoted to Geometry and Topology.

1.3. Recommendations to take this course

1. To have completed the courses on Linear Algebra, Algebraic Structures and Galois Theory.

2. To attend and participate actively in classes.

3. To keep up assignments and class exercises.

4. Make use of office hours.

2. Learning goals

2.1. Competences

To be able to apply maths knowledge and problem solving skills in a professional context.

To be able to detect what is substantial in a problem, formulate conjectures and either prove or disprove them, to be able to identify false alguments, etc.

To understand and use maths language and methods. To know rigurous proofs if main theorems of different branches of mathematics.

To show proficiency in the previous skills.

2.2. Learning goals

To understand the relationship between notions and methods from algebra and geometry.

To provide local characterizations of geometric objects.

To compute multiplicities and intersection multiplicities.

2.3. Importance of learning goals

They provide complementary skills of an optative character.

3. Assessment (1st and 2nd call)

3.1. Assessment tasks (description of tasks, marking system and assessment criteria)

Any student will be guaranteed the right to pass the subject by a final comprehensive exam. Alternatively, the student will be given the possibility to pass the subject by continuous evaluation as follows:

50% of the final mark by the resolution of three sets of exercises that will be orally defended.

30% from exercise solving in class.

20% from a comprehensive written exam. Alternatively, by the elaboration of an individual academic project on a subject related to the course.

4. Methodology, learning tasks, syllabus and resources

4.1. Methodological overview

  1. Lectures.
  2. Problem-solving sessions.
  3. Oral presentations.
  4. Tutorials.
  5. Autonomous work and study.

4.2. Learning tasks

The main lerning tasks will be lectures, problem-solving sessions and oral presentations, tutorials and autonomous work and study.

The teaching activities and assessment tasks will take place in a face-to-face mode, except in the case that, due to the health situation, the dispositions emitted by the competent authorities and by the University of Zaragoza compel to take them to a greater or lesser extent in a telematic form.

4.3. Syllabus

This course will address the following topics:

  • Topic 1. Algebraic preliminaires.
    • Commutative rings and ideals.
    • Rings of fractions.
    • Polynomial rings. Homogeneous polynomials.
    • Noetherian rings. The Hilbert basis theorem
  • Topic 2. Varieties and morhisms.
    • Affine algebraic sets and ideals of sets of points.
    • Hilbert's nullstellensatz.
    • Polynomial maps, Zariski's topology, morphisms and rational maps.
    • The projective space. Projective algebraic sets.
    • Varieties in a multiprojective space.
  • Topic 3. Algebraic plane curves.
    • Parameterizable curves.
    • Local properties: singularities, tangents and multiplicities.
    • Multiplicities and local rings.
    • Bézout’s theorem.

4.4. Course planning and calendar

Solving problems classes will be held from the second week after the begining of classes.

Approximate dates for the exercise sets:

  • First: end of October.
  • Second: end of November.
  • Third: end of December.

Further information concerning the timetable, classroom, office hours, assessment dates and other details regarding this course will be provided on the first day of class or please refer to the Faculty of Sciences website and Moodle.

4.5. Bibliography and recommended resources

http://psfunizar10.unizar.es/br13/egAsignaturas.php?codigo=27043


Curso Académico: 2021/22

453 - Graduado en Matemáticas

27043 - Curvas algebraicas


Información del Plan Docente

Año académico:
2021/22
Asignatura:
27043 - Curvas algebraicas
Centro académico:
100 - Facultad de Ciencias
Titulación:
453 - Graduado en Matemáticas
Créditos:
6.0
Curso:
4
Periodo de impartición:
Primer semestre
Clase de asignatura:
Optativa
Materia:
---

1. Información Básica

1.1. Objetivos de la asignatura

Se trata de una asignatura optativa del grado de Matemáticas que introduce al alumno en el estudio combinado de dos de sus ramas más clásicas, el álgebra y la geometría.

1.2. Contexto y sentido de la asignatura en la titulación

Esta asignatura es la continuación natural, dentro del grado, de las asignaturas Álgebra lineal, Estructuras algebraicas y Teoría de Galois. Además, está estrechamente relacionada con las asignaturas del área de Geometría y Topología.

1.3. Recomendaciones para cursar la asignatura

  1. Haber adquirido las competencias correspondientes a los módulos de Álgebra Lineal y Geometría y de Estructuras Algebraicas
  2. Asistir a las clases y participar en las mismas.
  3. Llevar al día el trabajo personal de la asignatura.
  4. Utilizar a conveniencia las horas de tutoría.

2. Competencias y resultados de aprendizaje

2.1. Competencias

Saber aplicar los conocimientos matemáticos a su trabajo de una forma profesional y poseer las competencias que se demuestran mediante la resolución de problemas en el área de las matemáticas y de sus aplicaciones.

Distinguir ante un problema lo que es sustancial de lo que es accesorio, formular conjeturas y razonar para confirmarlas o refutarlas, identificar errores en razonamientos incorrectos, etc.

Comprender y utilizar el lenguaje y método matemáticos. Conocer demostraciones rigurosas de los teoremas básicos de las distintas ramas de la matemática.

Desenvolverse en el manejo de los objetivos descritos anteriormente.

2.2. Resultados de aprendizaje

Conocer la relación entre conceptos y métodos del álgebra y la geometría.

Caracterizar localmente elementos geométricos.

Calcular multiplicidades y multiplicidades de intersección.

2.3. Importancia de los resultados de aprendizaje

Proporcionan una formación de carácter optativo dentro del grado.

3. Evaluación

3.1. Tipo de pruebas y su valor sobre la nota final y criterios de evaluación para cada prueba

Sin menoscabo del derecho que, según la normativa vigente, asiste al estudiante para presentarse y, en su caso, superar la asignatura mediante la realización de una prueba global, esta asignatura se evaluará en forma continua como sigue:

  • 50 % por la resolución de tres controles teórico-prácticos que deberán ser defendidos oralmente y superados independientemente.
  • 30 % por la resolución de una serie de ejercicios propuestos.
  • 20 % por la evaluación de un examen complementario escrito. Esta prueba será voluntaria y podrá ser reemplazada por la realización de un trabajo académico de carácter individual.

4. Metodología, actividades de aprendizaje, programa y recursos

4.1. Presentación metodológica general

  1. Clases teóricas.
  2. Presentaciones orales.
  3. Tutorías individuales.
  4. Estudio y trabajo personal del alumno.

4.2. Actividades de aprendizaje

Las actividades de aprendizaje serán fundamentalmente, la asistencia a las clases teóricas, la participación en las presentaciones orales y la asistencia a tutorías y el trabajo personal (estudio y realización de ejercicios).

Estas actividades se llevarán a cabo de forma presencial salvo que, debido a la situación sanitaria, las disposiciones emitidas por las autoridades académicas competentes dispongan realizarlas de forma telemática o semitelemática con aforos reducidos rotatorios.

4.3. Programa

1. COMPLEMENTOS ALGEBRAICOS. Anillos e ideales. Anillos de fracciones. Anillos de polinomios. Anillos noetherianos.

2. VARIEDADES Y MORFISMOS. Conjuntos algebraicos afines e ideales de puntos. El teorema de los ceros de Hilbert. Aplicaciones polinómicas y racionales. El espacio proyectivo. El concepto de variedad en general.

3. CURVAS ALGEBRAICAS PLANAS. Parametrizaciones de curvas. Singularidades, tangentes y multiplicidades. Multiplicidades y anillos locales. El teorema de Bèzout.

4.4. Planificación de las actividades de aprendizaje y calendario de fechas clave

Las clases de problemas se realizarán a partir de la segunda semana después del inicio del curso.

Las fechas aproximadas para las entregas de las colecciones de ejercicios serán:

  • Primera: finales de octubre.
  • Segunda: finales de noviembre.
  • Tercera: finales de diciembre.

El primer día de clase y mediante la web de la Facultad o el curso Moodle del curso se proporcionará más información sobre horarios, horas de tutoria, fechas y otros detalles sobre el curso.

4.5. Bibliografía y recursos recomendados

http://psfunizar10.unizar.es/br13/egAsignaturas.php?codigo=27043