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Academic Year/course: 2021/22

453 - Degree in Mathematics

27041 - Differentiable Manifolds


Syllabus Information

Academic Year:
2021/22
Subject:
27041 - Differentiable Manifolds
Faculty / School:
100 - Facultad de Ciencias
Degree:
453 - Degree in Mathematics
ECTS:
6.0
Year:
4
Semester:
First semester
Subject Type:
Optional
Module:
---

1. General information

2. Learning goals

3. Assessment (1st and 2nd call)

4. Methodology, learning tasks, syllabus and resources

4.1. Methodological overview

The methodology followed in this course is oriented towards the achievement of the learning objectives.

A wide range of teaching and learning tasks are implemented, such as lectures, problem-solving sessions, tutorials and autonomous work and study. The proposed projects about complementary aspects of the subject will be supervised by the teacher along the course.

4.2. Learning tasks

This course is organized as follows: 

- Lectures (three weekly sessions). 

- Problem-solving sessions (one weekly session; oral presentations of problems). 

- Tutorials (including the supervision of the proposed projects). 

- Autonomous work and study. 

These tasks will take place in-person at the classroom, unless the University of Zaragoza stablishes that, because of the
public health situation, they should be done online. 

4.3. Syllabus

This course will address the following topics: 

Topic 1. Differentiable manifolds. 

Topic 2. Manifolds and smooth maps. 

Topic 3. Topological properties of manifolds. Partitions of unity. 

Topic 4. Tangent space. Differentiation on a manifold. 

Topic 5. Submersions, immersions and embeddings. 

Topic 6. Submanifolds. 

Topic 7. Lie group actions. 

Topic 8. Integral curves and flows. 

Topic 9. The Lie derivative. 

Topic 10. One-parameter subgroups of a Lie group. 

Topic 11. The exponential map. 

Topic 12. The closed subgroup theorem. 

 

4.4. Course planning and calendar

Further information concerning the timetable, classroom, office hours, assessment dates and other details regarding this
course will be provided on the first day of class or please refer to the Faculty of Sciences website and Moodle. 

4.5. Bibliography and recommended resources

  • Lee, J.M.: Introduction to smooth manifolds. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 218. Springer, New York, 2013.
  • Lee, J.M.: Introduction to Riemannian manifolds. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 176. Springer, Cham, 2018.
  • Auslander, L; Mackenzie, R.E.: Introduction to Differentiable Manifolds. Mc.Graw-Hill. 1963.
  • Boothby, W.M.: An introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry . Ac. Press. 1975.
  • Brickell, F.; Clark, R.S.: Differentiable Manifolds . Van Nostrand, 1970.
  • Warner, F.W.: Foundations of differentiable manifolds and Lie groups. Corrected reprint of the 1971 edition. Graduate Texts in Mathematics, 94. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1983.
  • Burns, K; Gidea, M.: Differentiable Geometry and Topology. Chapman & Hall /CRC. 2005.
  • Conlon, L.: Differentiable Manifolds. A First Course. Birkhäuser, 1993.
  • Gamboa, J.M.; Ruiz J.M.: Iniciación al estudio de las Variedades Diferenciables. Sanz y Torres 2016.
  • Lee, J.M.: Introduction to smooth manifolds. Springer-Verlag 2002.
  • Outerelo, E.; Ruiz, J.M; Rojo, J.A.: Topología Diferencial. Sanz y Torres 2014.

http://psfunizar10.unizar.es/br13/egAsignaturas.php?codigo=27041


Curso Académico: 2021/22

453 - Graduado en Matemáticas

27041 - Variedades diferenciables


Información del Plan Docente

Año académico:
2021/22
Asignatura:
27041 - Variedades diferenciables
Centro académico:
100 - Facultad de Ciencias
Titulación:
453 - Graduado en Matemáticas
Créditos:
6.0
Curso:
4
Periodo de impartición:
Primer semestre
Clase de asignatura:
Optativa
Materia:
---

1. Información Básica

1.1. Objetivos de la asignatura

La asignatura y sus resultados previstos responden a los siguientes planteamientos y objetivos:

Se trata de una asignatura optativa de 6 ECTS que se imparte en el primer semestre. El objetivo es introducir resultados y herramientas propias de la geometría diferencial, que permiten el estudio de una amplia clase de espacios y tienen aplicaciones en otras ramas de las matemáticas y la física. Los objetos de estudio son las variedades diferenciables y las aplicaciones entre ellas. 

1.2. Contexto y sentido de la asignatura en la titulación

Asignatura situada dentro del módulo Ampliación de Geometría y Topología. Es una asignatura cuyos contenidos tienen conexiones con otros campos de las matemáticas y la física, además de la propia geometría y topología. Permite al estudiante adquirir habilidades y herramientas específicas para progresar en tales campos. 

1.3. Recomendaciones para cursar la asignatura

Se recomienda tener superadas las asignaturas de Algebra lineal, Análisis Matemático I y II y aquellas del módulo Fundamentos de Geometría y Topología. 

2. Competencias y resultados de aprendizaje

2.1. Competencias

Al superar la asignatura, el estudiante será más competente para:

Desenvolverse en el manejo de los objetivos descritos en el punto 2.2. 

CG3. Tener la capacidad de reunir e interpretar datos relevantes, particularmente en el área de las matemáticas, para emitir juicios, usando la capacidad de análisis y abstracción, que incluyan una reflexión sobre temas relevantes de índole social, científica o ética. 

CG5: Haber desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores en matemáticas con un alto grado de autonomía. 

CT1. Saber expresar con claridad, tanto por escrito como de forma oral, razonamientos, problemas, informes, etc. 

CE2. Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales sencillas, utilizando las herramientas matemáticas más adecuadas a los fines que se persigan. 

2.2. Resultados de aprendizaje

El estudiante, para superar esta asignatura, deberá demostrar los siguientes resultados:

Comprender las nociones de variedad diferenciable y aplicación diferenciable entre variedades.

Ser capaz de realizar cálculos en coordenadas.

Reconocer y construir nuevas variedades como subvariedades de otras dadas.

Determinar propiedades de variedades con estructura métrica y/o estructura de grupo.

2.3. Importancia de los resultados de aprendizaje

Los resultados de aprendizaje proporcionan habilidades básicas dentro del grado (véase Contexto y sentido de la asignatura en la titulación).

3. Evaluación

3.1. Tipo de pruebas y su valor sobre la nota final y criterios de evaluación para cada prueba

El estudiante deberá demostrar que ha alcanzado los resultados de aprendizaje previstos mediante las siguientes actividades de evaluación:

A lo largo del curso se realizarán ejercicios escritos de problemas y cuestiones sobre los temas tratados. 
Se propondrán trabajos sobre temas complementarios de la asignatura que se presentarán oralmente en clase. 
Dichos ejercicios junto con la participación oral en las clases y los trabajos de complementación de los temas que se propondrán a lo largo del curso, servirán para la calificación del seguimiento del curso (NC). 
Dicha calificación supondrá el 70% de la nota final. 

El 30 % restante provendrá del examen final (EF) realizado al finalizar el periodo lectivo de la asignatura. 

Sin menoscabo del derecho que, según la normativa vigente, asiste al estudiante para presentarse y, en su caso, superar la asignatura mediante la realización de una prueba global, que será el examen final anunciado antes. 

Con lo cual la calificación final será el máximo entre (EF) y 0,7(NC) + 0,3(EF). 

4. Metodología, actividades de aprendizaje, programa y recursos

4.1. Presentación metodológica general

El proceso de aprendizaje que se ha diseñado para esta asignatura se basa en lo siguiente:

La metodología que se sigue en esta asignatura está orientada a la adquisición de los resultados de aprendizaje.

Para ello se realizarán clases de teoría, sesiones de problemas participativas y tutorías, así como el estudio y trabajo personal del alumno.

Los trabajos propuestos sobre temas complementarios de la asignatura serán supervisados por el profesor en las tutorías a lo largo del curso.

4.2. Actividades de aprendizaje

- Clases de teoría en forma de exposiciones (tres sesiones semanales). 

- Clases de problemas participativas (una sesión semanal). 

- Tutorías (incluyendo la supervisión de trabajos propuestos). 

- Estudio y trabajo personal del alumno. 

Apoyo a la formación mediante documentos y enlaces en la página de la asignatura en el ADD de la universidad,
moodle.unizar.es. 

Las actividades docentes y de evaluación se llevarán a cabo de modo presencial salvo que, debido a la situación sanitaria,
las disposiciones emitidas por las autoridades competentes y por la Universidad de Zaragoza dispongan realizarlas de
forma telemática. 

4.3. Programa

PROGRAMA: 

1. Variedades diferenciables. 

2. Variedades y aplicaciones diferenciables. 

3. Topología de la variedad. Particiones de la unidad. 

4. Espacio tangente. Diferenciación sobre una variedad. 

5. Submersiones, inmersiones y encajes. 

6. Subvariedades. 

7. Acciones de grupos de Lie. 

8. Curvas integrales y flujos. 

9. La derivada de Lie. 

10. Subgrupos uniparamétricos de un grupo de Lie. 

11. La aplicación exponencial. 

12. El teorema del subgrupo cerrado. 

4.4. Planificación de las actividades de aprendizaje y calendario de fechas clave

Calendario de sesiones presenciales y presentación de trabajos

Se anunciarán en clase y en el ADD con suficiente antelación.

El trabajo se expondrá en las dos últimas semanas de clase en función del número de alumnos.

La prueba final del curso se realizará según el calendario académico de la Facultad.

4.5. Bibliografía y recursos recomendados

  • Lee, J.M.: Introduction to smooth manifolds. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 218. Springer, New York, 2013.
  • Lee, J.M.: Introduction to Riemannian manifolds. Second edition. Graduate Texts in Mathematics, 176. Springer, Cham, 2018.
  • Auslander, L; Mackenzie, R.E.: Introduction to Differentiable Manifolds. Mc.Graw-Hill. 1963.
  • Boothby, W.M.: An introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry . Ac. Press. 1975.
  • Brickell, F.; Clark, R.S.: Differentiable Manifolds . Van Nostrand, 1970.
  • Warner, F.W.: Foundations of differentiable manifolds and Lie groups. Corrected reprint of the 1971 edition. Graduate Texts in Mathematics, 94. Springer-Verlag, New York-Berlin, 1983.
  • Burns, K; Gidea, M.: Differentiable Geometry and Topology. Chapman & Hall /CRC. 2005.
  • Conlon, L.: Differentiable Manifolds. A First Course. Birkhäuser, 1993.
  • Gamboa, J.M.; Ruiz J.M.: Iniciación al estudio de las Variedades Diferenciables. Sanz y Torres 2016.
  • Outerelo, E.; Ruiz, J.M; Rojo, J.A.: Topología Diferencial. Sanz y Torres 2014.

http://psfunizar10.unizar.es/br13/egAsignaturas.php?codigo=27041