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Academic Year/course: 2021/22

453 - Degree in Mathematics

27040 - Topology of Surfaces

Syllabus Information

Academic Year:
27040 - Topology of Surfaces
Faculty / School:
100 - Facultad de Ciencias
453 - Degree in Mathematics
Second semester
Subject Type:

1. General information

1.1. Aims of the course

This subject and its syllabus have the following goals:

Give the student a topological sense of the study and classification of surfaces. The notion of topological invariant, such as the fundamental group, is relevant to the study of mathematical objects. In this class, a particular topological invariant, having an algebraic structure (a group) will be able of determine the topological structure of compact surfaces, and even determine their orientability.

1.2. Context and importance of this course in the degree

This subject is part of the módulo Ampliación de Geometría y Topología (Higher Geometry and Topology)

As mentioned in section 1.1, it is recommended that the student is familiar with both algebraic and topological techniques, such as those provided in Algebra lineal, Topología general, and Estructuras algebraicas. This class will connect them considering certain topological invariants of an algebraic nature and applying them to solve concrete problems.

1.3. Recommendations to take this course

Students are recommended to have aquired the competences associated with the Fundamentos de Geometría y Topología (Fundamentals in Geometry and Topology), in particular Algebra lineal, Topología general and Estructuras Algebraicas.

2. Learning goals

2.1. Competences

Upon succesfully completion of this subject the student will improve the following abilities:

Carry out the goals described in section 2.1

CG3. To have the ability to gather and interpret the relevant data, particularly in the field of mathematics, in order to make statements using analytical methods as well as abstraction, containing insights on relevant topics, be it of a social, scientific, or ethical nature.

CG5: To develop learning skills that will be necessary to continue studies in mathematics with a high degree of autonomy.

CT1. Be able to clearly state, both orally and in writing, the student's reasoning, problem solving techniques, reports, etc.

CE1. Understand and apply both mathematical language and methods. Learn rigorous proofs of the basic theorems in the different areas of mathematics.

2.2. Learning goals

In order to pass this class, the student should be able to show the following skills:

Understand the notion of fundamental group and be able to compute it in some concrete situations.

Topologically recognize compact surfaces and classify them.

2.3. Importance of learning goals

The learning objectives provide basic skills within the degree (see Context and importance of this course in the degree).

3. Assessment (1st and 2nd call)

3.1. Assessment tasks (description of tasks, marking system and assessment criteria)

The student must demonstrate that they have achieved the learning objectives by means of the following evaluation activities:

Along the course, students are asked to solve different activities (mostly exercises and problems). These activities are the part of continuous evaluation.

Besides, the students are asked to give an oral presentation about a basic subject of the course.

The final grade will be obtained averaging the degrees in the continuous evaluation and the oral presentation.

If that grade is not enough, the student can take a written exam after the end of the classes. In that case, the result of the exam will give the final grade.

4. Methodology, learning tasks, syllabus and resources

4.1. Methodological overview

The methodology followed in this course is oriented towards the achievement of the learning objectives. A wide range of teaching and learning tasks are implemented, such as lectures, problem-solving sessions, tutorials and autonomous work and study.

4.2. Learning tasks

This course is organized as follows:

  • Lectures. Three weekly sessions.
  • Problem-solving sessions in small groups. One weekly session. Oral presentations of problems.
  • Tutorials.
  • Autonomous work and study. In addition to the general teaching methodology activities students are afforded the opportunity to submit individual homework assignments. These assignments are checked by the teacher and returned on a regular basis. This process allows students to pinpoint strengths/weaknesses and helps in their learning process.
  • Final presentations. Besides presenting their work,each student should do a self evaluation, and and evaluation  of the other classmates presentations.

These tasks will take place in-person at the classroom, unless the University of Zaragoza stablishes that, because of the public health situation, they should be done online.

4.3. Syllabus

This course will address the following topics:

  • Topic 1. Fundamental group.
    • Definition and preliminaries.
    • Calculations of fundamental groups.
    • The fundamental group of the circumference.
    • Seifert-Van Kampen theorem.
  • Topic 2. Classification of surfaces.
    • Connected sum. Surgery.
    • Triangulation. Euler characteristic.
    • Classification theorem.
  • Topic 3. Covering spaces.
    • G-spaces and group actions.
    • Definition and motivation of covering space.
    • Covering spaces of surfaces.
  • Topic 4. Introduction to knot theory.

4.4. Course planning and calendar

Calendar of classes and oral presentations:

They will be announced previously in class and in the ADD.

The deadlines for the exercises will be announced in class enough time ahead.

Oral presentations will be done in the last two weeks of the class period. The exact times of these presentations will be decided deppending on the number of students.

The final exam, if necessary, will take place according to the School academic calendar.

4.5. Bibliography and recommended resources

Basic bibliography:

  • Massey, William S.. Introducción a la topología algebraica / William S. Massey . Barcelona[etc.] : Reverté, cop.1982.
  • Armstrong, M.A.. Topología básica / M.A. Armstrong . Barcelona [etc.] : Reverté, D.L. 1987.

Curso Académico: 2021/22

453 - Graduado en Matemáticas

27040 - Topología de superficies

Información del Plan Docente

Año académico:
27040 - Topología de superficies
Centro académico:
100 - Facultad de Ciencias
453 - Graduado en Matemáticas
Periodo de impartición:
Segundo semestre
Clase de asignatura:

1. Información Básica

1.1. Objetivos de la asignatura

La asignatura y sus resultados previstos responden a los siguientes planteamientos y objetivos:

Se trata de una asignatura optativa desarrollada en el segundo semestre. El objetivo es dotar al alumno de herramientas algebro-geométricas para estudiar variedades topológicas básicas, como es el caso de las superficies; fundamentalmente, a través de la noción de de invariante topológico, como el grupo fundamental.

1.2. Contexto y sentido de la asignatura en la titulación

Asignatura situada dentro del módulo Ampliación de Geometría y Topología.

Se recomienda tener superadas las asignaturas de Álgebra lineal, Topología general y Estructuras algebraicas.

1.3. Recomendaciones para cursar la asignatura

Se recomienda haber adquirido las competencias del módulo Fundamentos de Geometría y Topología.

2. Competencias y resultados de aprendizaje

2.1. Competencias

Al superar la asignatura, el estudiante será más competente para:

Desenvolverse en el manejo de los objetivos descritos (Ver apartado Resultados de aprendizaje)

CG3. Tener la capacidad de reunir e interpretar datos relevantes, particularmente en el área de las matemáticas, para emitir juicios, usando la capacidad de análisis y abstracción, que incluyan una reflexión sobre temas relevantes de índole social, científica o ética.

CG5: Haber desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores en matemáticas con un alto grado de autonomía.

CT1. Saber expresar con claridad, tanto por escrito como de forma oral, razonamientos, problemas, informes, etc.

CE1. Comprender y utilizar el lenguaje y método matemáticos. Conocer demostraciones rigurosas de los teoremas básicos de las distintas ramas de la matemática.

2.2. Resultados de aprendizaje

El estudiante, para superar esta asignatura, deberá demostrar los siguientes resultados:

Comprender la noción de grupo fundamental y ser capaz de determinarlo en algunas situaciones concretas.

Reconocer topológicamente las superficies compactas y su clasificación.

2.3. Importancia de los resultados de aprendizaje

Proporcionan una formación de carácter optativo dentro del grado (ver Contexto y sentido de la asignatura en la titulación).

3. Evaluación

3.1. Tipo de pruebas y su valor sobre la nota final y criterios de evaluación para cada prueba

El estudiante deberá demostrar que ha alcanzado los resultados de aprendizaje previstos mediante las siguientes actividades de evaluación:

Durante el curso, se realizarán diversas actividades evaluables en clase (fundamentalmente ejercicios). Estas actividades supondrán la parte de evaluación contínua.

Cada alumno realizará un trabajo sobre un tema básico de la asignatura y lo presentará oralmente en clase.

La nota de la asignatura se obtendrá promediando las notas de las actividades de evaluación contínua y la exposición final.

En caso de no superar la asignatura con dicha nota, el alumno podrá realizar un examen escrito al terminar el periodo lectivo. En ese caso, la nota del alumno será el resultado de dicho examen.

4. Metodología, actividades de aprendizaje, programa y recursos

4.1. Presentación metodológica general

El proceso de aprendizaje que se ha diseñado para esta asignatura se basa en lo siguiente:

Clases de teoría.

Clases de problemas.

Exposiciones orales.

El curso se imparte en cuatro horas de clase semanales de las que al menos una se dedicará a resolución de problemas con participación de los alumnos.

4.2. Actividades de aprendizaje

  • Clases de teoría en forma de exposiciones.
  • Clases de problemas participativas.
  • Prácticas de ordenador en grupos reducidos.
  • Tutorías individuales.
  • Estudio y trabajo personal del alumno.
  • Apoyo a la formación mediante documentos y enlaces en la página de la asignatura en el ADD de la universidad, (acceso restringido a los alumnos matriculados con el NIP y la contraseña suministrada por la Universidad).
  • Además de las actividades de aprendizaje anteriores, los estudiantes tienen la oportunidad de entregar trabajos individuales que se irán proponiendo a lo largo del curso. Estos trabajos son evaluados por el profesor y se devuelven al alumno explicándole los aspectos mejorables. Este proceso permite detectar debilidades, afianzar fortalezas y, en general, ayuda al estudiante en su proceso de aprendizaje a lo largo de la asignatura.
  • Presentaciones de los trabajos finales. Además de realizar la presentación de su trabajo, cada alumno deberá realizar una autoevaluación, y una evaluación de las demás presentaciones.

Las actividades docentes y de evaluación se llevarán a cabo de modo presencial salvo que, debido a la situación sanitaria, las disposiciones emitidas por las autoridades competentes y por la Universidad de  Zaragoza dispongan realizarlas de forma telemática.

4.3. Programa

El programa que se ofrece al estudiante para ayudarle a lograr los resultados previstos comprende las siguientes actividades:


  1. Grupo fundamental.
    1. Preliminares y definición.
    2. Cálculo de grupos fundamentales:
    3. El grupo de la circunferencia.
    4. Teorema de Seifert-VanKampen.
  2. Clasificación de superficies
    1. Suma conexa. Cirugía.
    2. Triangulación. Característica de Euler.
    3. Teorema de clasificación
  3. Espacios recubridores
    1. G-espacios y acciones.
    2. Motivacion y definición de espacio recubridor.
    3. Espacios recubridores de superficies.
  4. Introducción a la teoría de nudos

4.4. Planificación de las actividades de aprendizaje y calendario de fechas clave

Calendario de sesiones presenciales y presentación de trabajos:

Se anunciarán en clase y en ADD.

Las fechas de entrega de los ejercicios se anunciará en clase con suficiente antelación.

El trabajo se expondrá en las dos últimas semanas del periodo de  clases. Los horarios de estas presentaciones se decidirían en función del número de alumnos.

La prueba final del curso se realizará según el calendario académico de la Facultad.

4.5. Bibliografía y recursos recomendados

Bibliografía básica:

  • Massey, William S.. Introducción a la topología algebraica / William S. Massey . Barcelona[etc.] : Reverté, cop. 1982.
  • Armstrong, M.A.. Topología básica / M.A. Armstrong . Barcelona [etc.] : Reverté, D.L. 1987.