## 27035 - Fourier Analysis

### Syllabus Information

2021/22
Subject:
27035 - Fourier Analysis
Faculty / School:
Degree:
453 - Degree in Mathematics
ECTS:
6.0
Year:
4
Semester:
Second semester
Subject Type:
Optional
Module:
---

### 1.1. Aims of the course

This is an optional course in the degree of Mathematics. Its goal is to present the essentials of Fourier analysis.

### 1.2. Context and importance of this course in the degree

The subject belongs to the module Ampliación de análisis matemático. To take this subject it is advisable to have passed the subjects of the module Iniciación al análisis matemático, that is, Análisis matemático I, Análisis matemático II and Variable compleja, as well as the subject Integral de Lebesgue. The subject Análisis funcional is a good companion.

### 1.3. Recommendations to take this course

The attendace to the class lectures and the computer laboratory sessions is advisable, as well as the individual work on the problems posed along the course and the use of the individual tutorization.

It is highly advisable to have passed the module Iniciación al Análisis matemático, which comprises the subjects Análisis matemático I, Análisis matemático II and Variable compleja. The subject requires a good knowledge of the Lebesgue integral and the Lebesgue spaces L1 and L2.

### 2.2. Learning goals

At the end of this course students should be able to:

• Know that a periodic function is determined by its Fourier coefficients and understand some convergence results of Fourier series.
• Know how the Fourier coefficients can be obtained by the discrete Fourier transform, and use the basics of the fast Fourier transform.
• Adapt the theory to non-periodic functions with the Fourier transform and understand some inversion results.

### 3.1. Assessment tasks (description of tasks, marking system and assessment criteria)

As a general rule, the module can be passed either showing a regular work along the academic year, or by a final exam.

• Regular work. During the course, the student results will be evaluated through a periodical supply of exercises or short tasks, together with their active participation during the course. The use of LaTeX in written presentations is recommended; the evaluation can also include oral presentations. These evaluations will constitute the final mark.
• Final exam. The aforementioned procedure does not exclude the right, according to the current regulations, to a final exam which, by itself, allows to pass the module.

### 4.1. Methodological overview

The methodology followed in this course is oriented towards the achievement of the learning objectives. A wide range of teaching and learning tasks are implemented, such as lectures, computer laboratory sessions, tutorials and autonomous work and study.

### This course is organized as follows:

• Lectures. Theoretical results will be explained.
• Computer laboratory sessions using software tools to illustrate applications of the theoretical results seen in lectures.
• Tutorials. Teachers will attend students individually.
• Autonomous work and study. Use of the computer tools of the University, mainly the computer laboratories and Moodle.
• Assignments. Problems or homework tasks will be posed during the course, allowing to pass the course.

The teaching activities and assessment tasks will take place in a face-to-face mode, except in the case that, due to the health situation, the dispositions emitted by the competent authorities and by the University of Zaragoza compel to take them to a greater or lesser extent in a telematic form.

### 4.3. Syllabus

This course will address the following topics:

• Topic 1. Historical, physical and mathematical introduction.
• The vibrating string and the wave equation: D'Alembert, Euler, and Bernoulli. The heat transmission and its equation: Fourier. The concept of function: measure theory and functional analysis. The electromagnetic waves.
• Topic 2. Preliminary mathematics.
• Banach spaces of continuous, differentiable, and integrable functions. Convergence of sequences and series of functions. Periodic functions, the torus and a little bit of complex analysis.
• Topic 3. Fourier series.
• Formal Fourier sine, cosine and exponential series. Statement of the problem of the convergence of Fourier series: convolution, kernels, the unit circle, and its relation with complex analysis and the involved spaces. Pointwise, uniform and mean convergence results: summabilities of Fourier series. Riemann-Lebesgue lemma. Dirichlet's theorem and the Gibbs phenomenon. Riemann's localization principle. Exploiting the orthogonality: Hilbert spaces and Plancherel's theorem.
• Topic 4. Discrete Fourier transform.
• Periodic sequences. The discrete transform and its inverse. Sampling and interpolation. Approximate calculus of Fourier coefficients. The FFT algorithm and its use in computer programs (Python).
• Topic 5. Fourier transform.
• The continuous analog of Fourier series. Continuous frequencies. The Schwartz class of functions. Poisson and Gauss-Weierstrass kernels. The inversion formula. Fourier transform and L2 theory. Band limited functions. The uncertainty principle.

### 4.4. Course planning and calendar

As a general rule, this course has four face-to-face weekly hours. The schedule is set and made public by the Faculty of Science well before the beginning of the academic year.

Further information concerning the timetable, classroom, office hours, assessment dates and other details regarding this course will be provided on the first day of class or please refer to the Faculty of Sciences website and Moodle.

### 4.5. Bibliography and recommended resources

• F. J. Ruiz Blasco: Análisis de Fourier (in Spanish). Available for students in the Anillo digital docente of the University of Zaragoza.
• E. M. Stein and R. Shakarchi: Fourier analysis. An introduction. Princeton Lectures in Analysis, 1. Princeton University Press, Princeton, NJ, 2003. xvi+311 pp. ISBN: 0-691-11384-X.
• J. Duoandikoetxea: Fourier analysis. Translated and revised from the 1995 Spanish original by David Cruz-Uribe. Graduate Studies in Mathematics, 29. American Mathematical Society, Providence, RI, 2001. xviii+222 pp. ISBN: 0-8218-2172-5.
• Y. Katznelson: An introduction to harmonic analysis. Third edition. Cambridge Mathematical Library. Cambridge University Press, Cambridge, 2004. xviii+314 pp. ISBN: 0-521-83829-0; 0-521-54359-2.
• W. Rudin: Real and complex analysis. Third edition. McGraw-Hill Book Co., New York, 1987. xiv+416 pp. ISBN: 0-07-054234-1.

http://psfunizar10.unizar.es/br13/egAsignaturas.php?codigo=27035

## 27035 - Análisis de Fourier

### Información del Plan Docente

2021/22
Asignatura:
27035 - Análisis de Fourier
Titulación:
Créditos:
6.0
Curso:
4
Periodo de impartición:
Segundo semestre
Clase de asignatura:
Optativa
Materia:
---

### 1.1. Objetivos de la asignatura

Se trata de una asignatura de formación optativa dentro del grado. Su objetivo es presentar al estudiante los fundamentos del análisis de Fourier.

### 1.2. Contexto y sentido de la asignatura en la titulación

La asignatura pertenece al módulo Ampliación de análisis matemático. Para cursarla se recomienda haber superado antes las asignaturas del módulo de Iniciación al análisis matemático (Análisis matemático I y II y Variable compleja) y la asignatura Integral de Lebesgue de este mismo módulo. La asignatura de Análisis funcional es un buen complemento.

### 1.3. Recomendaciones para cursar la asignatura

Se recomienda la asistencia a las clases teóricas y prácticas, el trabajo personal de los problemas propuestos y el uso de las horas de tutorías.

Es conveniente haber superado el módulo de Iniciación al Análisis matemático (las asignaturas Análisis matemático I, Análisis matemático II y Variable compleja). La asignatura requiere manejar bien la integral de Lebesgue y los espacios L1 y L2.

### 2.1. Competencias

#### Al superar la asignatura, el estudiante será más competente para:

Desenvolverse en el manejo de los objetivos descritos en el apartado de resultados de aprendizaje.

CG2. Saber aplicar los conocimientos matemáticos a su trabajo de una forma profesional y poseer las competencias que se demuestran mediante la resolución de problemas en el área de las matemáticas y de sus aplicaciones.

CG5. Haber desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores en matemáticas con un alto grado de autonomía.

CT1. Saber expresar con claridad, tanto por escrito como de forma oral, razonamientos, problemas, informes, etc.

CE1. Comprender y utilizar el lenguaje y método matemáticos. Conocer demostraciones rigurosas de los teoremas básicos de las distintas ramas de la matemática.

Al final del curso los alumnos deberían ser capaces de:

• Conocer que una función periódica queda representada por sus coeficientes de Fourier y comprender algunos resultados de convergencia de la serie de Fourier.
• Saber cómo hallar coeficientes de Fourier mediante la transformada de Fourier discreta y saber usar el algoritmo de la transformada rápida de Fourier.
• Saber adaptar la teoría a funciones no periódicas con la transformada de Fourier y comprender resultados de reconstrucción de una función a partir de su transformada.

### 2.3. Importancia de los resultados de aprendizaje

Proporcionan una formación de carácter optativo dentro del grado (ver el apartado Contexto y sentido de la asignatura en la titulación).

Los conceptos y técnicas que se enseñan en la asignatura han marcado el desarrollo del análisis matemático (y otras ramas de las matemáticas) desde sus inicios hasta el presente.

### 3.1. Tipo de pruebas y su valor sobre la nota final y criterios de evaluación para cada prueba

Como regla general, la asignatura se puede aprobar o bien demostrando un trabajo continuado durante el curso, o bien mediante un examen final.

• Trabajo continuado. Durante el curso se evaluará el rendimiento del estudiante mediante la propuesta y posterior evaluación de ejercicios o trabajos breves con contenido: teoría, problemas, problemas teóricos, programación en Python. Se recomendará el uso de LaTeX en las presentaciones escritas. Así mismo, la evaluación podrá incluir presentaciones orales. Estas evaluaciones supondrán el 100% de la nota de la asignatura.
• Examen final. Lo anterior debe entenderse sin menoscabo del derecho que, según la normativa vigente, asiste al estudiante para presentarse y, en su caso, superar la asignatura mediante la realización de una prueba global.

### 4.1. Presentación metodológica general

El proceso de aprendizaje que se ha diseñado para esta asignatura se basa en lo siguiente:

• Exposición de los contenidos teóricos de la asignatura en clases magistrales.
• Aplicación práctica de los resultados teóricos mediante herramientas de cálculo, en aulas de informática.
• Resolución individual de problemas o pequeños trabajos.

• Clases de pizarra para exponer los resultados teóricos.
• Clases prácticas de ordenador con el uso de herramientas de cálculo para mostrar aplicaciones de los conceptos que se han visto en las clases de pizarra.
• Propuestas de problemas o pequeños trabajos para resolver individualmente.
• Tutorías individuales.
• Uso de los recursos informáticos de la Universidad (laboratorios de informática y Anillo digital docente).

Las actividades docentes y de evaluación se llevarán a cabo de modo presencial salvo que, debido a la situación sanitaria, las disposiciones emitidas por las autoridades competentes y por la Universidad de Zaragoza dispongan realizarlas de forma telemática o semitelemática con aforos reducidos rotatorios.

### 4.3. Programa

• Introducción histórica, física y matemática. La cuerda vibrante y la ecuación de ondas: D'Alembert, Euler y Bernoulli. La transmisión del calor y su ecuación: Fourier. El concepto de función: la teoría de la medida y el Análisis Funcional. Las ondas electromagnéticas.
• Matemáticas preliminares. Espacios de Banach de funciones continuas, derivables e integrables. Convergencia de sucesiones y series de funciones. Funciones periódicas, el toro y un poco de variable compleja.
• Series de Fourier. Series formales de Fourier de senos, cosenos y exponenciales. Planteamiento del problema de la convergencia de la serie de Fourier: convolución, núcleos, la circunferencia unidad y la relación con la variable compleja y espacios intervinientes. Resultados de convergencia puntual, uniforme y en media: sumabilidades de la serie de Fourier. Lema de Riemann-Lebesgue. Teorema de Dirichlet y fenómeno de Gibbs. Principio de localización de Riemann. Explotando la ortogonalidad: espacios de Hilbert y teorema de Plancherel.
• Transformada de Fourier discreta. Sucesiones periódicas. La transformada discreta y su inversa. Muestreo e interpolación. Cálculo aproximado de coeficientes de Fourier. El algoritmo FFT y su uso en programas informáticos (Python).
• Transformada de Fourier. El análogo continuo de las series de Fourier. Frecuencias continuas. Funciones de la clase de Schwartz. Núcleos de Poisson y Gauss-Weierstrass. Fórmula de inversión. Transformada de Fourier y teoría L2. Funciones de banda limitada. Principio de incertidumbre.

### 4.4. Planificación de las actividades de aprendizaje y calendario de fechas clave

• De manera general, esta asignatura tiene cuatro horas de clase a la semana. El horario lo fija y hace público la Facultad de Ciencias antes del comienzo del curso.
• Las sesiones de laboratorio se establecerán dentro del horario general, según se vaya cubriendo el programa de la asignatura.
• Periódicamente se propondrán problemas o trabajos y se concretarán los plazos de entrega.
• Las fechas de exámenes las fija y las hace públicas la Facultad de Ciencias con suficiente antelación.

Durante el curso se propondrán periódicamente problemas o trabajos que permitirán aprobar la asignatura.

Habrá un examen final de la asignatura en los periodos oficiales de exámenes. Las fechas de los exámenes se precisarán a lo largo del curso y en la web de la Facultad de Ciencias.

### 4.5. Bibliografía y recursos recomendados

• F. J. Ruiz Blasco, Análisis de Fourier. [Disponible para los alumnos de la asignatura a través del Anillo Digital Docente de la Universidad de Zaragoza.]