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Academic Year/course: 2021/22

453 - Degree in Mathematics

27017 - Galois Theory

Syllabus Information

Academic Year:
27017 - Galois Theory
Faculty / School:
100 - Facultad de Ciencias
453 - Degree in Mathematics
First semester
Subject Type:

1. General information

1.1. Aims of the course

This is a compulsory subject in the degree of Mathematics of the University of Zaragoza.

Its main aim is to introduce the students to the basic aspects of group theory and of Galois theory, which uses group theory to study field extensions and algebraic equations.

1.2. Context and importance of this course in the degree

This course presents a key tool in any mathematical area: the theory of groups, which is the tool to measure and take advantage of the symmetries that may appear in any system. It is therefore a basic course.

Inside the syllabus, it corresponds to the algebraic structures module. The student is advised to have completed the second year subject Algebraic Structures before enroling in this one.

1.3. Recommendations to take this course

Regular attendance is strongly recommended. Also, the students is expected to particpate actively in the classes, to make use of the office hours to get a better understanding of the subject and also to work regularly on the exercises and problem sheets. The content learnt in the subject Algebraic Structures will be very much used so the student is advised to have completed that subject before enroling in this one.

Work in groups and active discussions in class will be incentivated.

2. Learning goals

2.1. Competences

Being succesful in this course should mean that the student is competent to

  • Reason in an abstract way.
  • Be able to write and communicate abstract concepts of mathematics.
  • Be able of autonomous learning.

2.2. Learning goals

To complete this subject, the student must be able of:

Make computations in some particular groups (cyclic, dihedral, symmetric of small degree) and rings (of numbers, polynomials ans matrices)

Be familiar with group actions, Sylow theorems and be able to use them to describe the structure of a given group.

Work with expressions involving algebraic and transcendental elements.

Compute explicitly some Galois groups.

Work with Galois correspondence and in particular know the characterization of solvability by radicals of polynomial equations.

2.3. Importance of learning goals

It is a basic part of the syllabus of the Mathematics degree. Moreover, group theory is an important tool in every branch of mathematics.

3. Assessment (1st and 2nd call)

3.1. Assessment tasks (description of tasks, marking system and assessment criteria)

To complete the subject, students will be required to show competence in the required learning goals by means of the following activities.

There will be written individual exercises sets E1 and E2 that will be graded with a maximum of 10 points each.

Sets E1 and E2 will be be comprehensive of everything that has been seen in class untill then. Set E1 will be one hour long and set E2 two hours, both approximate.  Set E1 will be held the week 8-11th November and set E2 the week 20-22nd December.

Besides, there will be a comprehensive final exam F held on the official dates and graded with a maximum of 10 points. This exam will include a part P1 about items 6 and 7 of the syllabus.

Each student will get a continuous evaluation mark EV that will be the maximum between

0.2E1+0.6E2+0.2P1 and 0.8E2+0.2P1

where P1 is understood to be the mark obtaines in the part P1 over a maximum of 10 points.

The final mark in February will be the maximum between the marks EV and F (taking this last one as zero if the student did not attend the final exam).
 The final mark in September will be the mark of the final exam in September.

To pass the subject, it will be required to get at least 5 points in any of those final marks.

Students are guaranteed the right to pass the subject by a comprehensive final exam.

4. Methodology, learning tasks, syllabus and resources

4.1. Methodological overview

There will be theory classes with a lot of examples and exercises proposed to students. Teachers will encourage students to participate and to work together to increase both their mathematical communication skills and their ability for abstract reasoning. There will be some group exercises but grading will be based on personal work only. Students will be able and encouaged to attend office hours.

Written notes, exercise sheets will be available in Moodle.

4.2. Learning tasks

Lessons will follow the written notes available for students in Moodle. Proofs will be expanded with details and examples. There will be plently of problem solving, including a detailed solving of the written individual exercises sets used for the grading and also group problem solving.

Classes and evaluation will be in person unless the current sanitary situation makes it necessary to move, to a greater or lesser extent, to on-line teaching. This will be determined in any case by the health authority and the University of Zaragoza.

4.3. Syllabus

This course will address the following topics:

  1. Groups: basic notions
  2. Groups of permutations
  3. Group actions and simplicity of A5
  4. Rings, Fields, polynomials and existence of roots
  5. Field extensions. Algebraic extensions
  6. Normal extensions. The Galois group
  7. The Galois theorem. Solvable groups. Solving equations by radicals

4.4. Course planning and calendar

There will be four weekly lecture hours. Theoretical and practical parts will not be separated in advance. Exercises and problems, similar to those in the individual written exercises sets will be proposed and discussed. That discussion will also include office hours.

Further information concerning the timetable, classroom, office hours, assessment dates and other details regarding this course will be provided on the first day of class or via Moodle. Date of the comprehensive exam will be determined and made public by the Faculty of Science. For any other question or requirement, students are recommended to contact teachers by email.

4.5. Bibliography and recommended resources

Curso Académico: 2021/22

453 - Graduado en Matemáticas

27017 - Teoría de Galois

Información del Plan Docente

Año académico:
27017 - Teoría de Galois
Centro académico:
100 - Facultad de Ciencias
453 - Graduado en Matemáticas
Periodo de impartición:
Primer semestre
Clase de asignatura:

1. Información Básica

1.1. Objetivos de la asignatura

Se trata de una asignatura de formación obligatoria dentro del grado de matemáticas.

El objetivo principal es ser una introducción a la teoría de grupos y a la teoría de Galois, en la que se utiliza teoría de grupos para estudiar extensiones de cuerpos y ecuaciones algebraicas.

1.2. Contexto y sentido de la asignatura en la titulación

En este curso se presenta una herramienta básica en matemáticas: la teoría de grupos, que es clave para la comprensión de la simetría. Por tanto es un curso básico.

Dentro de la titulación, se enmarca dentro del módulo de estructuras algebraicas. Se recomienda haber cursado la asignatura Estructuras Algebraicas de segundo curso porque esta es continuación de la misma.

1.3. Recomendaciones para cursar la asignatura

Se recomienda la asistencia a clase y utilizar las horas de tutorías para facilitar la comprensión de la materia. También, se espera que los estudiantes participen activamente en las clases y que resuelvan de forma regular los ejercicios propuestos. Se necesitan los conocimientos de la asignatura de estructuras algebraicas de segundo, por lo que se recomienda esperar a matricularse a tener aprobada esta asignatura.

Se recomienda y se intentará incentivar el trabajo en grupos y las intervenciones orales.

2. Competencias y resultados de aprendizaje

2.1. Competencias

Al superar la asignatura, el estudiante será más competente para:

Razonar en forma abstracta.

Manejar conceptos matemáticos abstractos.

Aprender de forma autónoma.

2.2. Resultados de aprendizaje

El estudiante, para superar esta asignatura, deberá demostrar los siguientes resultados:

Operar en grupos sencillos (cíclicos, diédricos y simétricos de grado pequeño) y en anillos (preferentemente de números, polinomios y matrices).

Familiarizarse con las acciones de grupo, los teoremas de Sylow y el uso de éstos para describir la estructura de un grupo.

Manipular expresiones que involucren elementos algebraicos y trascendentes.

Saber hallar el grupo de Galois de ciertas extensiones y polinomios de grado pequeño.

Manejar la correspondencia de Galois, en especial en la caracterización de la resolubilidad por radicales de las ecuaciones polinómicas.

2.3. Importancia de los resultados de aprendizaje

Proporcionan una formación de carácter básico dentro del grado. Además, la teoría de grupos es una herramienta transversal en todas las ramas de las matemáticas.

3. Evaluación

3.1. Tipo de pruebas y su valor sobre la nota final y criterios de evaluación para cada prueba

El estudiante deberá demostrar que ha alcanzado los resultados de aprendizaje previstos mediante las siguientes actividades de evaluación:

Se propondrán ejercicios escritos para realizar de forma individual E1 y E2 y se calificarán con hasta 10 puntos cada uno.

Ambos ejercicios E1, E2 serán sobre la materia que se haya visto desde el inicio del curso hasta el momento de realizarlos. El ejercicio E1 será de  una hora de duración y E2 de dos horas, en ambos casos aproximadamente.
El ejercicio E1 se celebrará la semana del 8 al 11 de noviembre y E2 la semana del 20 al 22 de diciembre.

Además, se hará una prueba final F (que se calificará con hasta 10 puntos) en la que habrá un apartado destacado P1 y que se celebrará en febrero, en las fechas previstas en el calendario académico. El apartado P1 será sobre los temas 6 y 7 de la asignatura.

La nota final del estudiante por evaluación continua será la nota EV y será la mejor de las dos notas siguientes:
 0.2E1+0.6E2+0.2P1 y 0.8E2+0.2P1
donde se entiende que al apartado P1 se le dará también una calificación de hasta 10 puntos.  

La nota final de febrero será la mejor de las notas EV y F. La nota final de septiembre será la obtenida en el examen final de septiembre. Para aprobar la asignatura será necesario obtener al menos un cinco en una de ellas.

Todo lo anterior se realizará sin menoscabo del derecho que, según la normativa vigente, el estudiante podrá presentarse y, en su caso, superar la asignatura mediante la realización de una única prueba global.


4. Metodología, actividades de aprendizaje, programa y recursos

4.1. Presentación metodológica general

Habrá clases teóricas en las que se intercalarán ejemplos y se propondrán ejercicios. Se fomentará la relación entre los estudiantes y con el profesor como manera de potenciar en los alumnos, por parte de este,  su capacidad de razonamiento abstracto y de mejorar el nivel de su expresión matemática. También se propondrán problemas para resolver individualmente y por grupos, aunque las pruebas que sirvan para calificar se harán de manera individual. Se atenderá a los estudiantes en las horas de tutoría.

Los apuntes y todo el material que se vaya a utilizar en las clases estará disponible en el anillo digital docente, concretamente en Moodle.

4.2. Actividades de aprendizaje

Se darán explicaciones en clase sobre los apuntes que estarán en el ADD. Se comentarán los razonamientos y la resolución de los problemas propuestos que los estudiantes de manera individual y en equipo habrán resuelto fuera de clase o lo habrán intentado.

Las actividades docentes y de evaluación se llevarán a cabo de modo presencial salvo que, debido a la situación sanitaria, las disposiciones emitidas por las autoridades competentes y por la Universidad de Zaragoza dispongan realizarlas de forma telemática o semitelemática con aforos reducidos rotatorios.

4.3. Programa

  1. Grupos, nociones básicas.
  2. Grupos de permutaciones.
  3. Acciones de grupos y simplicidad de A5.
  4. Anillos, cuerpos y polinomios y existencia de raices.
  5. Extensiones de cuerpos, extensiones algebraicas.
  6. Extensiones normales. El grupo de Galois.
  7. El teorema de Galois. Grupos resolubles. Resolubilidad por radicales de ecuaciones algebraicas.

4.4. Planificación de las actividades de aprendizaje y calendario de fechas clave

Habrá cuatro horas semanales de clase. Se mezclarán teoría y problemas. Se propondrán ejercicios para que se resuelvan en grupos y se consulten en las horas de tutorías. Estos ejercicios serán similares a los que se propondrán en las pruebas de evaluación.

Horario de tutorías: Se comunicarán a principio de curso. Tambien se podrá quedar con el profesor a otras horas solicitandolo previamente. Para cualquier consulta, petición de cita o pregunta se recomienda ponerse en contactto con la profesora por correo electrónico.

La prueba global será en la fecha que determine la Facultad de Ciencias. Todas las convocatorias a pruebas parciales y globales se realizarán en el tablón de anuncios del área de álgebra y a través del ADD.

4.5. Bibliografía y recursos recomendados