## 27011 - Algebraic Structures

### Syllabus Information

2021/22
Subject:
27011 - Algebraic Structures
Faculty / School:
Degree:
453 - Degree in Mathematics
ECTS:
6.0
Year:
2
Semester:
Second semester
Subject Type:
Compulsory
Module:
---

### 1.1. Aims of the course

The goal of this course is to introduce the students to abstract algebra.

This will be done starting with the algebraic structures of commutative rings, extending their more concrete. knowledge of integers and polynomials.

### 1.2. Context and importance of this course in the degree

The student should have passed the courses Números y conjuntos and Álgebra lineal before enrolling in this course, as this is strongly based on them. The course is a step further in the abstraction process, which is part of the realm of Mathematics.

### 1.3. Recommendations to take this course

This course assumes an interactive approach in its structure and in its presentation, which requires engaged participation from all members of the class. The student's presence is essential to the liveliness of this course and concomitantly to their individual success in it. Therefore, regular attendance is expected.

Students should work on the exercises and problems sheets regularly, should study on a continuous basis and should make use of the office hours (their schedule will be communicated at the beginning of the course).

### 2.1. Competences

#### Being succesful in this course should mean that the student is competent to:

• Reason in an abstract way.
• Recognize algebraic structures and be able to delve into their behavior.
• Be able to write and communicate abstract concepts of Mathematics.
• Be able to learn by oneself, and to look for information through different media.

### 2.2. Learning goals

The student, in order to pass this course, should show proficiency in the following aspects:

• Be familiar with quotient structures.
• Operations in abelian groups.
• Operations in commutative rings, with special emphasis on the rings of integeres and of polynomials.
• Construction of new rings from known ones and checking the properties that are inherited.
• Factorization as a product of irreducible elements.
• Manipulate algebraic expressions with algebraic elements.

### 2.3. Importance of learning goals

Being able to do abstract and logical reasoning is an essential part of Mathematics.

### 3.1. Assessment tasks (description of tasks, marking system and assessment criteria)

#### The student will show that she/he has reached the learning goals through the following activities of continus evaluation:

15% obtained from the  resolution of questions of problems posed in the lectures, or in the tutoring sessions

50 % obtained from the result of examswhich  pruebas o exámenes that will acquit the corresponding of which at least two will take place,

The remaining 35 % will be obtained from an exam of global nature. Taking this exam will be voluntaryfor the students that will overcome the course with the points obtained from the above procedures.

At any rate, the student has the right of being graded on the ground of a single global exam instead of the previous procedure.

### 4.1. Methodological overview

The methodology followed in this course is oriented towards the achievement of the learning objectives. A wide range of teaching and learning tasks are implemented, such as lectures, problem-solving sessions, tutorials and autonomous work and study.

This course is organized as follows:

• Lectures.
• Problem-solving sessions. Interactive classes for exercises and problems.
• Autonomous work and study. Use of the Moodle.
• Tutorials. Professor will attend students during office hours, which is highly recommended.
• Small groups question discussing and problem-solving

The teaching activities and assessment tasks will take place in a face-to-face mode, except in the case that, due to the health situation, the dispositions emitted by the competent authorities and by the University of Zaragoza compel to take them to a greater or lesser extent in a telematic form.

### 4.3. Syllabus

This course will address the following topics:

• Topic 1. Arithmetic.
• Integers.
• Congruences.
• Topic 2. Rings.
• Groups and monoids.
• Rings: definitions, constructions, and homomorphisms.
• Topic 3. Factorization.
• Factorization in integral domains.
• Factorizations in polynomial rings.
• Topic 4. Introduction to module theory.
• Definitions.
• Free and torsion modules.
• The theorems of structure.

### 4.4. Course planning and calendar

There will be four one-hour classes each week of the corresponding semester.

Further information concerning the timetable, classroom, office hours, assessment dates and other details regarding this course will be provided on the first day of class or please refer to the Faculty of Sciences website and Moodle.

### 4.5. Bibliography and recommended resources

N. Bourbaki, Elements of Mathematics. Algebra, (2 vol.) Springer.

P. M. Cohn, Groups, Rings and Fields, Springer

N. Jacobson, Basic algebra I and II, Dover Publications, inc.

S. Lang, Algebra, Springer.

B. L. van der Waerden, Modern algebra, 2 vols. Springer.

http://psfunizar10.unizar.es/br13/egAsignaturas.php?codigo=27011

## 27011 - Estructuras algebraicas

### Información del Plan Docente

2021/22
Asignatura:
27011 - Estructuras algebraicas
Titulación:
Créditos:
6.0
Curso:
2
Periodo de impartición:
Segundo semestre
Clase de asignatura:
Obligatoria
Materia:
---

### 1.1. Objetivos de la asignatura

#### La asignatura y sus resultados previstos responden a los siguientes planteamientos y objetivos:

El objetivo de esta asignatura es introducir al estudiante al álgebra abstracta.

Ello será llevado a cabo partiendo de la estructura algebraica de anillo conmutativo extendiendo los conceptos concretos de enteros y polinomios.

### 1.2. Contexto y sentido de la asignatura en la titulación

Se recomienda haber superado las asignaturas Números y conjuntos y Álgebra lineal antes de cursar esta, que depende mucho de ellas. El curso es un paso adelante del proceso de abstracción, que es uno de los objetivos de las matemáticas.

### 1.3. Recomendaciones para cursar la asignatura

Este curso supone una aproximación interactiva en su estructura y en su presentación, lo que requiere una participación activa de los miembros de la clase. Su presencia es fundamental para su superación efectiva. Por lo tanto se espera la asistencia.

Lo estudiantes deben trabajar de forma continua teoría, ejercicios y problemas así como hacer uso de las horas de tutoría (que se comunican al principio del curso).

### 2.1. Competencias

#### Al superar la asignatura, el estudiante será más competente para:

• Razonar de forma abstracta.
• Reconocer estructuras algebraicas y ser capaz de valorar su comportamiento.
• Poder explicar y escribir conceptos abstractos de Matemáticas.
• Tener autonomía para estudiar por sí mismo y buscar información.

#### El estudiante, para superar esta asignatura, deberá demostrar los siguientes resultados:

• Familiarizarse con las estructuras cociente.
• Operar en anillos (preferentemente de números y polinomios).
• Construir anillos a partir de otros conocidos y estudiar las propiedades heredadas.
• Factorizar como producto de irreducibles.
• Manipular expresiones que involucren elementos algebraicos.

### 2.3. Importancia de los resultados de aprendizaje

Ser capaz de razonar en abstracto de forma lógica como parte esencial de las matemáticas.

### 3.1. Tipo de pruebas y su valor sobre la nota final y criterios de evaluación para cada prueba

#### El estudiante deberá demostrar que ha alcanzado los resultados de aprendizaje previstos mediante las siguientes actividades de evaluación continua:

El 15% por la resolución de cuestiones o problemas planteados en las clases on en las tutorías.

El 50 % por el resultado de unas pruebas o exámenes liberatorios de materia de las que, al menos, se celebrarán dos.

El 35 % restante por un examen final de carácter global. Este examen será voluntario para los estudiantes que superen el curso con la aplicación de los apartados anteriores.

Y todo ello sin menoscabo del derecho que, según la normativa vigente, asiste al estudiante para presentarse y, en su caso, superar la asignatura mediante la realización de una única prueba global.

### 4.1. Presentación metodológica general

#### El proceso de aprendizaje que se ha diseñado para esta asignatura se basa en lo siguiente:

Clases de teoría, clases de problemas tutelando el trabajo de los estudiantes, tutorías individuales. Trabajo personal del estudiante. Uso del add y/o moodle.

#### Las actividades de aprendizaje para esta asignatura son las siguientes:

• Clases expositivas de la materia teórica.
• Clases participativas de problemas.
• Apoyo a la formación mediante con la ayuda de los medios técnicos  que ofrece la Universidad: documentos y enlaces  en la página de la asignatura en el ADD de la universidad moodle.unizar.es, videoconferencias...
• Tutorías individuales online.
• Sesiones de resolución de problemas y discusión de cuestiones en grupos pequeños.

Las actividades docentes y de evaluación se llevarán a cabo de modo presencial salvo que, debido a la situación sanitaria, las disposiciones emitidas por las autoridades competentes dispongan realizarlas de forma telemática o semitelemática con aforos reducidos rotatorios.

### 4.3. Programa

• Tema 1. Aritmética
• Enteros.
• Congruencias.
• Tema 2. Anillos
• Grupos y monoides.
• Anillos: definiciones, construcciones y homomorfismos.
• Tema 3. Factorización
• Factorización en dominios de integridad.
• Factorización en anillos de polinomios.
• Tema 4. Introducción a la teoría de módulos
• Definiciones.
• Modulos libres y torsión.
• Los teoremas de estructura.

### 4.4. Planificación de las actividades de aprendizaje y calendario de fechas clave

#### Calendario de sesiones presenciales y presentación de trabajos:

Ver el calendario académico de la Universidad de Zaragoza y los horarios establecidos por la Facultad de Ciencias. Este calendario se comunicará al inicio del curso. Son 4 horas semanales.

Las convocatorias propias de la asignatura se concertarán en clase.

Prueba al final del curso en las convocatorias oficiales, en las fechas que la Facultad de Ciencias hace públicas antes de iniciarse el curso.

### 4.5. Bibliografía y recursos recomendados

N. Bourbaki, Elements of Mathematics. Algebra, (2 vol.) Springer.

P. M. Cohn, Groups, Rings and Fields, Springer

N. Jacobson, Basic algebra I and II, Dover Publications, inc.

S. Lang, Algebra, Springer.

B. L. van der Waerden, Modern algebra, 2 vols. Springer.

http://psfunizar10.unizar.es/br13/egAsignaturas.php?codigo=27011