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Academic Year/course: 2021/22

453 - Degree in Mathematics

27004 - Numbers and Sets

Syllabus Information

Academic Year:
27004 - Numbers and Sets
Faculty / School:
100 - Facultad de Ciencias
453 - Degree in Mathematics
First semester
Subject Type:
Basic Education

1. General information

1.1. Aims of the course

The subject and its intended results correspond to the following aproach and objectives: this is a subject wich aims to laying a ground material and training for the degree. The main problem that the student faces at the begining of the study of Mathematics is the acquisition of the langauge and general methods of mathematical expression, which tio some extent amounte sto laying the concepts that serve as a foundations of mathematical knowledge in the understanding that at this level thei can only be an elementary version of these. The objective of the present course is providing such a foundation.

1.2. Context and importance of this course in the degree

This course lies within the module Algebraic Structures, although its transversal character makes the competences acquired therein necessary in the rest of the modules of the degree. In this course the stress is placed on the transcersal copenetce C5T. To be able to obtain effective information from bibliographic and informatic resources, of great importance in all the subjects studied in the degree.

1.3. Recommendations to take this course

The attendance to the theoretical classes (pressential or on line) and the personal work, together with the work on the proposed questions and problems, and the use of the the tutorage provided by the teacher.

2. Learning goals

2.1. Competences

The overcoming of the subject will allow the student to be more competent in the development of the objectives described in the  section on the results of the learning exposed in that section (learning goals, see below). Moreover, the student will improve her/his  performance in the following competences:

CT1, CT3, CE1, CE3, CT5 described in the legislation, and to be able of obtaining information by bibliographic, and informatic means.

2.2. Learning goals

To overcome the present subject, the student will be able to show the following skills:

  • He/she makes proper use of the language and the basic properties of set theory, and its applications
  • He/she makes proper use of natural numbers, the induction principle, and the basic combinatorial arguments
  • He/she makes use of the basic results of the arithmetic of integers, and modular arithmetic.
  • He/she has a basic knowledge of the arithe set theoretic construction of the rational, and to some extent of the real numbers.

2.3. Importance of learning goals

The results of of the learnig of the course are very important since they provide a ground formation for the degree. In this course the student acquires competences on the use of mathemaical language and the fundamental concepts of mathematics, whose lack prevents the adequate approach to the mathematical problems. That acquisition is also obtained in the courses of Linear Algebra, and Calculus

3. Assessment (1st and 2nd call)

3.1. Assessment tasks (description of tasks, marking system and assessment criteria)

  • Partial exam on Set Theory (eliminatory for the final exam) 40% of the final exam.
  • Final exam. If the part of Set Theory has been approved, it can only be presented to the rest, which in this case will be 60% of the grade.

In any case, the student will have the right to take the complete final exam and the final grade will be the best for the student, counting the partial exam or not.

Completion of the course "Basic Digital Competence: learn to inform yourself, create and communicate digitally (basic level)" and obtain the pass. At any rate the student has the right to base his/her final graded on just a global exam.

4. Methodology, learning tasks, syllabus and resources

4.1. Methodological overview

The methodology followed in this course is oriented towards the achievement of the learning objectives. A wide range of teaching and learning tasks are implemented, such as lectures, problem-solving sessions, tutorials and autonomous work and study.

4.2. Learning tasks

This course is organized as follows:

  • Lectures.
  • Problem-solving sessions. Participatory sessions addressing issues and problems.
  • Tutorials.
  • Autonomous work and study.

For the online course "Information Management" a training session of 50 minutes is expected, in order to explain to students the objectives and mechanics of operation of the virtual course in Moodle.

The teaching activities and assessment tasks will take place in a face-to-face mode, except in the case that, due to the health situation, the dispositions emitted by the competent authorities and by the University of Zaragoza compel to take them to a greater or lesser extent in a telematic form.

4.3. Syllabus

This course will address the following topics:

  • Topic 0: Origins of number theory.
    • Natural numbers.
    • Induction principle.
    • Basic arithmetics.
    • Number theory in Antiquity.
  • Topic 1: Sets.
    • Basic notations.
    • Axioms: constructions and operations with sets.
    • Maps and relations.
    • Axiom of choice.
    • Notions on cardinals.
  • Topic 2: Natural numbers and integers.
    • Peano Axioms. Natural numbers and set theory.
    • Operations and order relation in the set of natural numbers.
    • Construction of the set of integers from the set of natural numbers.
    • Euclidean algorithm, Bezout's identity and diophantine linear equations. Congruences.
  • Topic 3: Fields of numbers.
    • Rational numbers (construction from ℤ, operations and order relation).
    • Real numbers (approximation to their construction in set theory through Dedekind's cuts).
    • Complex numbers (operations, geometric representation).

4.4. Course planning and calendar

Further information concerning the timetable, classroom, office hours, assessment dates and other details regarding this course will be provided on the first day of class or please refer to the Faculty of Sciences website and Moodle.

4.5. Bibliography and recommended resources

  • Boyer, C. Historia de las Matemáticas, Alianza Editorial, Madrid, 1986
  • Dedekind, R. ¿Qué son y para qué sirven lod números. Alianza Editorial, Madrid 1998
  • Ebbinghaus, H-D. et al. Numbers, Springer, New York, 1991
  • Gerstein, L. J. Introduction to Mathematical Structures and Proofs, Springer, New York, 2012
  • Halmos, P. R. Naive Set Theory, Van Nostrand, New York, 1960
  • Kline, M. El pensamiento matemático de la antihüedad a nuestros díasvols. I and III. Alianza Editorial, Madrid, 1992
  • Tattersall, J. I. Elementary Number Theory, in Nine Chapters, Cambridge Univ. Press, 1999
  • Stewart, I. and Tall. D. The foundations of Mathematics, Oxford University Press, 1977

Curso Académico: 2021/22

453 - Graduado en Matemáticas

27004 - Números y conjuntos

Información del Plan Docente

Año académico:
27004 - Números y conjuntos
Centro académico:
100 - Facultad de Ciencias
453 - Graduado en Matemáticas
Periodo de impartición:
Primer semestre
Clase de asignatura:
Formación básica

1. Información Básica

1.1. Objetivos de la asignatura

La asignatura y sus resultados previstos responden a los siguientes planteamientos y objetivos:

Se trata de una asignatura de formación básica dentro del grado. El principal problema que tiene un estudiante al empezar sus estudios de matemáticas es la adaptación al lenguaje y métodos matemáticos. El objetivo principal de esta asignatura es conducir al estudiante a dicha adaptación.

1.2. Contexto y sentido de la asignatura en la titulación

Esta asignatura se encuentra dentro del módulo Estructuras Algebraicas, aunque su carácter transversal, hace que las competencias adquiridas dentro de la asignatura sean necesarias (por básicas) en el resto de los módulos del grado.

En esta asignatura se hace hincapié en la competencia transversal «CT5. Saber obtener información efectiva mediante recursos bibliográficos e informáticos», de utilidad en todas las asignaturas del grado.

1.3. Recomendaciones para cursar la asignatura

Se recomienda la asistencia a las clases teóricas y prácticas, el trabajo personal, la participación en las sesiones sobre cuestiones y problemas propuestos y el uso de las horas de tutoría.

2. Competencias y resultados de aprendizaje

2.1. Competencias

Al superar la asignatura, el estudiante será más competente para:

Al superar la asignatura, el estudiante será más competente para desenvolverse en el manejo de los objetivos descritos en los resultados de aprendizaje expuestos anteriormente. Además avanzará en la adquisición de las siguientes competencias:

CT1. Saber expresar con claridad, tanto por escrito como de forma oral, razonamientos, problemas, informes, etc.

CT3. Distinguir ante un problema lo que es sustancial de lo que es accesorio, formular conjeturas y razonar para confirmarlas o refutarlas, identificar errores en razonamientos incorrectos, etc.

CE1. Comprender y utilizar el lenguaje y método matemáticos. Conocer demostraciones rigurosas de los teoremas básicos de las distintas ramas de la matemática.

CE3. Resolver problemas matemáticos mediante habilidades de cálculo básico y otras técnicas.

CT5. Saber obtener información efectiva mediante recursos bibliográficos e informáticos.

2.2. Resultados de aprendizaje

El estudiante, para superar esta asignatura, deberá demostrar los siguientes resultados:

  • Manejar el lenguaje y las propiedades básicas de conjuntos y aplicaciones.
  • Utilizar los números naturales, el principio de inducción y los argumentos combinatorios básicos.
  • Conocer los resultados básicos de la aritmética de los números enteros y de la aritmética modular.
  • Comprender la construcción basada en la teoría de conjuntos de los números racionales y reales.

2.3. Importancia de los resultados de aprendizaje

Los resultados de aprendizaje que se obtienen en la asignatura son importantes porque proporcionan una formación de carácter básico dentro del grado. En esta asignatura se adquieren competencias en el uso del lenguaje matemático y de los conceptos fundamentales de las matemáticas sin los cuales no es posible enfrentarse adecuadamente a los problemas matemáticos. Esta adquisición se realiza también en las asignaturas Álgebra Lineal y Análisis Matemático I.

3. Evaluación

3.1. Tipo de pruebas y su valor sobre la nota final y criterios de evaluación para cada prueba

El estudiante deberá demostrar que ha alcanzado los resultados de aprendizaje previstos mediante las siguientes actividades de evaluación:

El estudiante deberá demostrar que ha alcanzado los resultados de aprendizaje previstos mediante las siguientes actividades de evaluación:

- Examen parcial de Teoría de Conjuntos (con carácter eliminatorio para el examen final) 40% de la nota de este.
- Examen final. Si se ha aprobado la parte de Teoría de Conjuntos, se podrá presentar solo al resto que en este caso será el 60% de la calificación.

De cualquier manera el estudiante tendrá derecho a realizar el examen final completo y la calificación final será la mejor para el estudiante, contando el examen parcial o sin contarlo.

La realización del curso "Competencia Digital Básica: aprende a informarte, a crear y a comunicarte digitalmente (nivel básico)" y la obtención del apto.

Sin menoscabo del derecho que, según la normativa vigente, asiste al estudiante para presentarse y, en su caso, superar la asignatura mediante la realización de una prueba global.

4. Metodología, actividades de aprendizaje, programa y recursos

4.1. Presentación metodológica general

El proceso de aprendizaje que se ha diseñado para esta asignatura se basa en lo siguiente:

  • Clases teóricas: exposición de los contenidos necesarios para la adquisición de los resultados de aprendizaje.
  • Clases prácticas: planteamiento de problemas relacionados con la asignatura.
  • Sesiones participativas tratando cuestiones, métodos y solución de problemas.
  • Tutorías personalizadas.
  • Problemas dirigidos que se realizarán por grupos de estudiantes voluntarios y se comentarán con el profesor. Aunque estos problemas no se evaluarán, ayudarán mucho a superar con éxito las pruebas de evaluación.
  • Curso online «Competencia Digital Básica: aprende a informarte, a crear y a comunicarte digitalmente (nivel básico)».

4.2. Actividades de aprendizaje

El programa que se ofrece al estudiante para ayudarle a lograr los resultados previstos comprende las siguientes actividades:

Más información sobre las actividades de la asignatura, incluyendo apuntes y problemas, está accesible en

Para el curso “Competencia Digital Básica: aprende a informarte, a crear y a comunicarte digitalmente (nivel básico)” se prevé:

Sesión presencial, de 50 minutos de duración, en la que se explica a los estudiantes los objetivos y la mecánica de funcionamiento del curso virtual en Moodle.

Trabajo autónomo del estudiante, de 8 a 10 horas aproximadamente de dedicación.

Las actividades docentes y de evaluación se llevarán a cabo de modo presencial salvo que, debido a la situación sanitaria, las disposiciones emitidas por las autoridades competentes y por la Universidad de Zaragoza dispongan realizarlas de forma telemática o semitelemática con aforos reducidos rotatorios.

4.3. Programa

Capítulo 0: ORÍGENES DE LA TEORÍA DE NÚMEROS. Números naturales y principio de inducción. Números poligonales. Aritmética en los Elementos de Euclides (algoritmo de la división y algoritmo euclídeo, Teorema fundamental de la aritmética). Ternas pitagóricas, sumas de cuadrados. Números de Fibonacci. Numeros de Lucas, de Pell y de Pell-Lucas. Ecuación de Pell.

Capítulo 1: CONJUNTOS. Notaciones básicas. Axiomas de extensión, de especificación de unión de conjunto de partes. Pares ordenados, producto cartesiano, relaciones binarias. Aplicaciones. Axioma de elección. Relaciones de orden y conjuntos cocientes. Nociones sobre cardinales.


  1. Números naturales (presentación axiomática y relación con la teoría de conjuntos): axiomas de Peano, operaciones y relación de orden (principio de buena ordenación).
  2. Números enteros: construcción a partir de los números naturales. Algoritmo euclídeo (en Z), identidad de Bezout y ecuaciones diofánticas lineales. Congruencias y operaciones con residuos.


  1. Números racionales: construcción a partir de los números enteros. Operaciones y relación de orden.
  2. Números reales: presentación axiomática y nociones sobre la construcción en teoría de conjuntos a través de las cortaduras de Dedekind. Valor absoluto. Completitud de R.
  3. Números complejos: Construcción a partir de los números reales. Representación geométrica (el plano complejo). Operaciones. Extracción de raíces, raíces de la unidad.

4.4. Planificación de las actividades de aprendizaje y calendario de fechas clave

Calendario de sesiones presenciales y presentación de trabajos:

Ver el calendario académico de la Universidad de Zaragoza y los horarios establecidos por la Facultad de Ciencias y se comunicará al inicio del curso. Son 4 horas semanales. El curso «Gestión de la Información» se llevará a cabo durante una semana a fijar en el mes de octubre.

La prueba correspondiente a la parte de teoría de conjuntos se realizará al finalizar esta (en noviembre).

Prueba al final del curso en las convocatorias oficiales, en las fechas que la Facultad de Ciencias hace públicas antes de iniciarse el curso.

4.5. Bibliografía y recursos recomendados

  • Boyer, C.: Historia de las matemáticas. Alianza Editorial, Madrid, 1986.
  • Dedekind, R.: ¿Qué son y para qué sirven los números? Alianza Editorial, Madrid, 1998.
  • Ebbinghaus H-D. et al.: Numbers, Springer, New York, 1991.
  • Gerstein, L. J.: Introduction to Mathematical Structures and Proofs, Springer, New York, 2012.
  • Halmos, P.: Naive Set Theory, Van Nostrand, New York, 1960.
  • Kline, M.: El pensamiento matemático de la Antigüedad a nuestros días, vols. I y III. Alianza Editorial, Madrid, 1992.
  • Tattersall, J.: Elementary Number Theory in Nine Chapters, Cambridgwe Univ. Press, 1999.
  • Stewart, I.; Tall, D.: The Foundations of Mathematics. Oxford Univ. Press, 1977.