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Academic Year/course: 2021/22

447 - Degree in Physics

26933 - Chaos and Nonlinear Dynamic Systems

Syllabus Information

Academic Year:
26933 - Chaos and Nonlinear Dynamic Systems
Faculty / School:
100 - Facultad de Ciencias
447 - Degree in Physics
4 and 3
Second semester
Subject Type:

1. General information

1.1. Aims of the course

Non-linear science is a cross-disciplinary discipline with implications in all areas of science and engineering. The fundamental objective of the course is to provide the student with the basic and computational tools necessary for the study of nonlinear dynamic systems. Given a non-linear dynamic system we are interested in characterizing it properly according to its portrait of phases (fixed points, limit cycles, strange attractors ....) and study the possible bifurcations (static and dynamic phase transitions) that appear when the different parameters of interest are varied. This study will lead us to the presentation of three fundamental paradigms of the non-linear science; the phenomena of chaos, synchronization and nonlinear localization.

Along the course we will work with many different systems and in this way the second fundamental objective will be addressed: To provide to the student basic mechanisms and tools for the design of simple models of complex phenomena.

1.2. Context and importance of this course in the degree

This is an optative course that must be completed in the second semester of the third or fourth year of the degree. It wants to approach the student to the study of a number of problems in the frontier of physics that are usually alien to the core of physics studies. In this way, based on the knowledge obtained by the student along the previous semesters of the degree, the student will be able to address a large number of interesting problems in various disciplines. Such problems have not been studied previously either because of their complexity (the study of the non-linear pendulum as mechanical system for example) or because of its location outside the traditional trunk of the studies in physical (modeling of biophysical systems for example). Acquired knowledge will allow the student to approach the frontier of knowledge in the field of Statistical and Nonlinear Physics, one discipline of physics with great activity today.

1.3. Recommendations to take this course

It is recommended to have studied the courses of Mathematical Analysis, Differential Equations and Computational Physics. Likewise, it is recommended a continuous follow-up of the course with attendance to the classes and interaction with the faculty of the course.

2. Learning goals

2.1. Competences

Upon passing the course, the student will be more competent to:

  • Analyze and understand nonlinear phenomena in various scientific fields.
  • Master the tools of nonlinear science
  • Develop and analyze non-linear dynamic models.
  • Understand the paradigmatic phenomena in non-linear science: chaos, localization and synchronization.
  • Simulate nonlinear dynamic systems

2.2. Learning goals

To pass this course the student must demonstrate the following results:

  • Understands the singularity and importance of nonlinear dynamic systems.
  • It is capable of analyzing a non-linear dynamic system.
  • Knows the fundamental bifurcations characteristic of nonlinear dynamic systems.
  • Understands and quantifies the phenomenon of chaos.
  • Understands the basis of the synchronization phenomenon.
  • Understands the phenomenon of non-linear localization.
  • Recognize and model nonlinear phenomena

2.3. Importance of learning goals

The importance of the learning achieved is basically based on two considerations. On the one hand, the transversality of the course will introduce the student to numerous systems not only of physics, but also of biology, the chemistry or engineering likely to be addressed with the tools acquired. On the other hand the student will learn to make simple models of a diversity of natural phenomena.

We believe that the course Chaos and Nonlinear Dynamic Systems is a fundamental course for deepening in some of the most interesting problems in science today.

3. Assessment (1st and 2nd call)

3.1. Assessment tasks (description of tasks, marking system and assessment criteria)

The marking system is established from 0 (lower park) to 10 (higher mark) points. The student needs a 5 to pass the course.

The student must demonstrate that he/she has achieved the expected learning outcomes through the following assessment activities:

a) Continuous evaluation of the student's learning by means of 5 short questionnaires on the different topics (1 to 5) of the course syllabus. These questionnaires will contain multiple-choice or true-false questions and are intended to assess the degree of understanding and application of the concepts and tools explained and used in class. These 5 activities will have the same weight and together contribute to 50% of the final grade. The minimum mark to pass this assessment must be 3.5 out of 10.

b) Realization and defense of an academic work. A list of works will be provided at the beginning of the course. The defense of the work will consist of a public presentation of 10 minutes per student plus answer to the questions raised. This activity contributes 50% of the final grade. The minimum grade to pass the activity must be 3.5 out of 10.

For those approved, the final grade (NF) will be calculated by renormalizing the student's average grade (NP) for the highest average grade achieved in the group (NPmax):

     NF = 5 * [1+ (NP-5) / (NPmax-5)] (thus if NP = 5 then NF = 5, if NP = NPmax then NF = 10).

If NPmax is less than 9 then the given formula will be adopted using NPmax equal to 9.

Overcoming the course through a unique global test

This global test will consist of a written exam (50% of the final grade) and the evaluation of the work done and its public defense (50% of the final grade).

Students who have already defended the work are exempt from its presentation within the only global test.

4. Methodology, learning tasks, syllabus and resources

4.1. Methodological overview

The methodology followed in this course is oriented towards achievement of the learning objectives. A wide range of teaching and learning tasks are implemented, such as theory sessions, practice sessions, simulation practice sesions, and assignments.

4.2. Learning tasks

The course includes the following learning tasks:

  • Theory sessions: basic theoretical contents and practical skills are presented in a combined way.
  • Practice sessions: in these sessions, the students will have to solve problems in collaboration with other classmates and under the supervision of the teacher. 
  • Simulation practice sessions: students will become familiar with the notions of computational physics that are basic in the study of nonlinear dynamic systems.
  • Assignments:  the student will demonstrate that he is able to integrate the knowledge received in the resolution of a problem of nonlinear physics.

4.3. Syllabus

The course will address the following topics:

  • Topic 0. Introduction.
  • Topic 1. One-dimensional dynamical systems. Flows in the line, bifurcations, flows in the circle.
  • Topic 2. Two-dimensional dynamical systems. Linear systems in the plane, phase plane, oscillations and limit cycles, bifurcations in the plane.
  • Topic 3. Chaos. Lorenz equations, one-dimensional maps, fractals, strange attractors.
  • Topic 4. Non-linear systems with many degrees of freedom and complex interactions. Introduction to the physics of complex networks. Kuramoto model and synchronisation in complex networks.
  • Topic 5. Stochastic processes and nonlinear systems. Propagation phenomena in networks. Epidemic models in metapopulations.

4.4. Course planning and calendar

The course takes place during the second semester of the Physics degree. 

Further information concerning the timetable, classroom, assessment dates and other details regarding this course, will be provided on the first day of class or please refer to the Faculty of Sciences website.

4.5. Bibliography and recommended resources


Curso Académico: 2021/22

447 - Graduado en Física

26933 - Caos y sistemas dinámicos no lineales

Información del Plan Docente

Año académico:
26933 - Caos y sistemas dinámicos no lineales
Centro académico:
100 - Facultad de Ciencias
447 - Graduado en Física
4 y 3
Periodo de impartición:
Segundo semestre
Clase de asignatura:

1. Información Básica

1.1. Objetivos de la asignatura

La asignatura y sus resultados previstos responden a los siguientes planteamientos y objetivos:

La ciencia no lineal es una disciplina de carácter transversal con implicaciones en todas las áreas de la ciencia y la ingeniería.

El objetivo fundamental de la asignatura es proporcionar al alumno de las herramientas básicas y computacionales necesarias para el estudio de sistemas dinámicos no lineales. Dado un sistema dinámico no lineal estamos interesados en caracterizarlo adecuadamente según el retrato de fases del mismo (puntos fijos, ciclos límite, atractores extraños....) y estudiar las posibles bifurcaciones (transiciones de fase estáticas y dinámicas) que aparecen al variar los distintos parámetros de interés del mismo. Este estudio nos llevará a la presentación de tres paradigmas fundamentales de la ciencia no lineal; los fenómenos de caos, sincronización y localización.

A lo largo del curso se trabajará con muchos sistemas diferentes y de este modo se abordará el segundo objetivo fundamental del mismo: presentar al alumno mecanismos para el diseño de modelos sencillos de fenómenos complejos.

1.2. Contexto y sentido de la asignatura en la titulación

Se trata de una asignatura optativa que se debe cursar en el tercer o cuarto año del grado. Su oferta responde a un intento de acercar al alumno el estudio de problemas en la frontera del conocimiento de la física que habitualmente son ajenos a la troncalidad de los estudios. De este modo, asentado en los conocimientos obtenidos a lo largo de los 5 primeros semestres del grado, el alumno será capaz de abordar un gran número de problemas interesantes en diversas disciplinas, que no han sido estudiados anteriormente ya sea por su complejidad (el estudio del péndulo no lineal como sistema mecánico por ejemplo) o por su situación al margen de las campos troncales tradicionales de los estudios de física (modelización de sistemas biofísicos por ejemplo). Los conocimientos adquiridos permitirán al alumno acercarse a la frontera del conocimiento en el campo de la Física Estadística y No Lineal, una de las disciplinas de la física de mayor interés en la actualidad.

1.3. Recomendaciones para cursar la asignatura

Se recomienda haber cursado las asignaturas de Análisis Matemático, Ecuaciones Diferenciales y Física Computacional. Así mismo se recomienda un seguimiento continuado de la asignatura con asistencia a las clases presenciales e interacción con el profesorado de la misma.

2. Competencias y resultados de aprendizaje

2.1. Competencias

Al superar la asignatura, el estudiante será más competente para:

  • Analizar y comprender fenómenos no lineales en diversos campos científicos.
  • Dominar de las herramientas de la ciencia no lineal
  • Elaborar y analizar modelos dinámicos no lineales.
  • Comprender los fenómenos paradigmáticos en ciencia no lineal: caos, localización y sincronización
  • Simular sistemas dinámicos no lineales.

2.2. Resultados de aprendizaje

El estudiante, para superar esta asignatura, deberá demostrar los siguientes resultados:

  • Entiende la singularidad e importancia de los sistemas dinámicos no lineales.
  • Es capaz de analizar un sistema dinámico no lineal.
  • Conoce las bifurcaciones fundamentales propias de los sistemas dinámicos no lineales.
  • Entiende y cuantifica el fenómeno del caos.
  • Entiende las bases del fenómeno de sincronización.
  • Entiende el fenómeno de localización no lineal.
  • Reconoce y modela fenómenos no lineales

2.3. Importancia de los resultados de aprendizaje

La importancia del aprendizaje realizado se asienta básicamente en dos consideraciones. Por un lado la transversalidad de la asignatura presentará al alumno numerosos sistemas propios no sólo de la física, si no también de la biología, la química o la ingeniería susceptibles de ser abordados con las herramientas adquiridas. Por otro lado el alumno aprenderá a realizar modelos sencillos de una diversidad de fenómenos naturales. Creemos que la asignatura Caos y Sistemas Dinámicos No Lineales es una asignatura fundamental para la profundización en algunos de los problemas más interesantes de la ciencia en la actualidad.

3. Evaluación

3.1. Tipo de pruebas y su valor sobre la nota final y criterios de evaluación para cada prueba

El estudiante deberá demostrar que ha alcanzado los resultados de aprendizaje previstos mediante las siguientes actividades de evaluacion:
Evaluación continuada del aprendizaje del alumno mediante 5 cuestionarios breves sobre los distintos temas (1 a 5) del programa de la asignatura. Estos cuestionarios contendrán preguntas de tipo respuesta múltiple o verdadero-falso y están destinados a evaluar el grado de comprensión y aplicación de los conceptos y herramientas explicados y usados en clase. Estas 5 actividades tendrán el mismo peso y en conjunto contribuyen al 50% de la nota final. La nota mínima para superar esta evaluación debe ser 3.5 sobre 10.
Realización y defensa de un trabajo. Una lista de trabajos será facilitada al principio del curso. La defensa del trabajo consistirá en una exposición pública de 10 minutos por alumno más respuesta a las cuestiones planteadas. Esta actividad contribuye al 50% de la nota final. La nota mínima para superar la actividad debe ser 3.5 sobre 10.
Para los aprobados, la nota final (NF) será calculada renormalizando la nota promedio del alumno (NP) por la mayor nota promedio conseguida en el grupo (NPmax):


(así si NP=5 entonces NF=5; si NP=NPmax entonces NF=10).

Si NPmax es menor que 9 entonces se adoptará la fórmula dada usando NPmax igual a 9.

Superación de la asignatura mediante una prueba global única

Dicha prueba global consistirá en un examen escrito (50% de la nota final) y la evaluación del trabajo realizado y la defensa pública del mismo (50% de la nota final).

Los alumnos que ya hayan defendido el trabajo realizado están eximidos de realizar la presentación del mismo dentro de la prueba global única.

4. Metodología, actividades de aprendizaje, programa y recursos

4.1. Presentación metodológica general

El proceso de aprendizaje que se ha diseñado para esta asignatura se basa en lo siguiente:

  • Lecciones magistrales: presentan al alumno los contenidos teóricos básicos para lograr la adquisición por su parte de las competencias técnicas asociadas. Intercalan la presentación de las nociones teóricas básicas con la realización de problemas.
  • Realización de problemas en grupo: en dichas sesiones el alumno deberá afrontar la resolución de problemas en colaboración con otros compañeros y bajo la supervisión del profesor de la asignatura.
  • Prácticas de simulación: permiten al alumno familiarizarse con las nociones de la física computacional que son básicas en el estudio de sistemas dinámicos no lineales.
  • Realización de trabajos: el alumno demostrará que es capaz de integrar los conocimientos recibidos en la resolución de un problema de la física no lineal.

4.2. Actividades de aprendizaje

Las actividades docentes y de evaluación se llevarán a cabo de modo presencial salvo que, debido a la situación sanitaria, las disposiciones emitidas por las autoridades competentes y por la Universidad de Zaragoza dispongan realizarlas de forma telemática o semi-telemática con aforos reducidos rotatorios.

El programa que se ofrece al estudiante para ayudarle a lograr los resultados previstos comprende las siguientes actividades...

  • Clases magistrales participativas, incluyendo la realización de problemas y simulaciones con software específico.
  • Realización de un trabajo en el contexto de la asignatura
  • Realización no presencial de simulaciones de sistemas dinámicos no lineales usando software específico a disposición del alumno.

4.3. Programa

0 Introducción

1 Sistemas dinámicos en una dimensión. Flujos en la línea, bifurcaciones, flujos en el círculo

2 Sistemas dinámicos en dos dimensiones. Sistemas lineales en el plano, plano de fases, oscilaciones y ciclos límite, bifurcaciones en el plano.

3 Caos. Ecuaciones de Lorenz, "maps" unidimensionales, fractales, atractores extraños.

4 Sistemas no lineales con muchos grados de libertad e interacciones complejas. Introducción a la física de redes complejas. Modelo de Kuramoto y sincronización en redes complejas.

5 Procesos estocásticos y sistemas no lineales. Fenómenos de propagación en redes. Modelos epidémicos en metapoblaciones.

4.4. Planificación de las actividades de aprendizaje y calendario de fechas clave

Las clases de teoría y de problemas se imparten a lo largo del segundo semestre del Grado de Física en el lugar y horario que establezca el centro al respecto.

Sesiones de evaluación: la evaluación continua se realiza a lo largo de todo el periodo de impartición. Las sesiones de evaluación mediante una prueba escrita global son las que el Decanato de la Facultad de Ciencias determina y publica cada año en su página web.

4.5. Bibliografía y recursos recomendados