## 29708 - Statistics

### Syllabus Information

2020/21
Subject:
29708 - Statistics
Faculty / School:
110 - Escuela de Ingeniería y Arquitectura
Degree:
434 - Bachelor's Degree in Mechanical Engineering
ECTS:
6.0
Year:
1
Semester:
434-First semester o Second semester
107-Second semester
Subject Type:
Basic Education
Module:
---

### 1.1. Aims of the course

This course covers aspects of data collection, presentation, analysis and treatment, as well as drawing conclusions from the information they provide. Statistical inference plays an important role in the application of many statistical techniques that may be useful in the professional practice of the mechanical engineer. Furthermore, the student learns to model real situations in the presence of uncertainty. Finally, elementary optimization aspects are introduced that play a determining role in decision making.

The final objective is that the student integrates the knowledge that is taken in the subject in the training context of the degree and, to the extent possible, is self-sufficient in the use of statistical techniques in the development of their professional work.

### 1.2. Context and importance of this course in the degree

The subject is compulsory and is part of the basic training of the students. It is located in the second semester of the first year, once the student has acquired a basic training in Mathematics. It is taught simultaneously with the subjects of Fundamentals of Computing, Mathematics II and Physics II of basic training and Environmental Engineering, specific to the industrial branch.

The course will be useful for the future graduate in Mechanical Engineering by providing him with a scientific base that will guide him in decision-making when analyzing information from databases such as, for example, those taken in subjects such as Fundamentals of materials engineering or of Resistance of materials that the student will study in second, in Manufacturing Technologies of third course and in Organization and management of fourth companies, among others. It also provides a solid basis for modeling real situations of a random nature.

The improvement of quality, the design of new products and manufacturing processes and the improvement of existing systems are the activities of a mechanical engineer. Statistical techniques are an essential tool to carry them out as they provide descriptive and analytical methods to approach data processing, transforming them into information. The analysis of the reliability of components and systems has relevance by itself when designing a new product. An important aspect is the guarantee to be offered, associated with the analysis of the distribution of life time, a concept that is studied in this subject.

### 1.3. Recommendations to take this course

Students are advised to study the subject constantly throughout the semester. Students who continue the subject continuously must pass the assessment tests scheduled throughout the course. Those who do not follow the subject continuously must pass a final evaluation test referring to all content modules.

It is recommended that the student possess basic knowledge of integral and differential calculus.

### 2.1. Competences

Specific competences:

C12: Ability to solve mathematical problems that may arise in engineering. Ability to apply statistical and optimization knowledge.

Generic skills:

C4: Ability to solve problems and make decisions with initiative, creativity and critical reasoning.

C5: Ability to communicate and transmit knowledge, abilities and skills in Spanish.

### 2.2. Learning goals

1. Apply data analysis and treatment techniques.
2. Know the concepts, applications and fundamental results of probability.
3. Understand the concepts of one-dimensional and multidimensional random variable.
4. Master the modeling of engineering environments under a stochastic nature using random variables and their applications in situations of uncertainty.
5. Know the sampling and estimation techniques.
6. He knows how to use statistical hypothesis tests and their application in decision making.
7. It has the capacity to prepare, understand and critique reports based on statistical analysis.
8. You have the ability to identify and formulate optimization problems.

### 2.3. Importance of learning goals

This course teaches the basic principles of decision making in the presence of uncertainty. Students develop skills to tackle real problems and to work with real data and learn to recognize and manage models that serve to solve different situations in the presence of randomness.

A mechanical engineer must regularly handle information from databases and must be able to make decisions based on its analysis. Decision making requires an exploratory treatment of the data as well as the establishment of hypothesis tests, with which statistical techniques are essential.

Students learn to pose and solve simple optimization problems.

In addition, students work in groups and with real data, so they also develop team collaboration skills in solving real problems.

### 3.1. Assessment tasks (description of tasks, marking system and assessment criteria)

Global evaluation:

The global evaluation of the subject includes the following activities carried out continuously throughout the course:

1. A written test carried out individually by the entire group of students, during the teaching period of the subject, referring to the Probability Distribution Models module. (Learning outcomes 2, 3 and 4).

2. A written test carried out individually by the entire group of students, in the official announcement of the subject, referring to the Sampling, estimation and hypothesis testing module. (Learning outcomes 5 and 6).

3. A written test carried out individually by the entire group of students regarding the contents developed in the practical classes of the subject in a computer laboratory to be carried out during the teaching period of the subject and / or in the official call. (Learning outcomes 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, and 8).

4. A statistical report made by the complete group of students, where they apply some of the different statistical techniques studied throughout the course, and to be carried out before the official announcement. (Learning outcomes 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, and 8).

Students who do not take the test proposed in point 1 above scheduled during the course, corresponding to the global assessment, must take it in the official call for the course.

Evaluation criteria:

The following aspects will be considered in the evaluation:

• The problem must be correctly stated.
• They must correctly define the variables used in the problem posed.
• The probability distribution model assigned to each random variable must be duly justified.
• Serious errors in basic concepts of the subject will mean the cancellation of the score given to the corresponding question or problem.

Requirement levels:

The test corresponding to the Probability distribution models module represents 40% of the final grade and the test corresponding to the Sampling, estimation and hypothesis testing module represents 20% of the final grade. To overcome the 60% that both represent, the student must obtain a grade of at least 4 points (out of 10) in each of them and a weighted average of at least 4.5 points (out of 10).

Learning outcomes related to the skill in statistical data analysis will be assessed with the joint score of the Statistical Report (20% of the final grade) and a written test (20% of the final grade). To overcome the 40% that both represent, the student must obtain at least 4 points (out of 10) in each of them and an average of at least 5 points (out of 10) in these activities.

To pass the course, the student must obtain a final grade of at least 5 points, out of 10.

The global evaluation test will consist of a compulsory written test equivalent to the tests described in points 1, 2 and 3, in addition to the completion of the Statistical Report referred to in point 4. The percentage of the final mark for test 1 it is 40% and that of each of the three remaining tests is 20%. The test corresponding to the Statistical Report will take place during the examination period set by the EINA.

### 4.1. Methodological overview

The methodology followed in this course is oriented towards the achievement of the learning objectives. It is based on participation and the active role of the student favours the development of communication and decision-making skills. A wide range of teaching and learning tasks are implemented, such as lectures, guided assignments, laboratory sessions, autonomous work and tutorials.

Students are expected to participate actively in the class throughout the semester.

Classroom materials will be available via Moodle. These include a repository of the lecture notes used in class, the course syllabus, as well as other course-specific learning materials.

Further information regarding the course will be provided on the first day of class. The proposed methodology seeks to encourage the student's continued work and focuses on the most Practices of Statistics: the work with real data.

In the sessions with the complete group, theoretical aspects are treated in the form of a Lecture, that complements each other with its application to solve problems of real nature in the classes of problems in small groups.

The processing of real data is done in sessions in the computer lab using computer programs, and, in addition, basic problems of Optimization are solved by the computer.

The evaluation focuses on both theoretical and applied aspects according to the evaluation criteria established.

The course includes 6 ECTS organized according to:

- Lectures (3 ECTS): 30 hours.

- Laboratory sessions (1.5 ECTS): 15 hours.

- Guided assignments (1.5 ECTS): 15 hours.

- Autonomous work: 90 hours.

- Tutorials: 6 hours/week

Lectures: the professor will explain the theoretical contents of the course and solve illustrative applied problems. These problems and exercises can be found in the problem set provided at the beginning of the semester. Lectures run for 2 weekly hours. Although it is not a mandatory activity, regular attendance is highly recommended.

Laboratory sessions: sessions will take place every 2 weeks (6 sessions in total) and last 2.5 hours each. Students will work together in groups actively doing tasks such as practical demonstrations, measurements, calculations, and the use of graphical and analytical methods.

Guided assignments: students will complete assignments, problems and exercises related to concepts seen in laboratory sessions and lectures. Guided assignments run for 1 weekly hour. They will be submitted at the beginning of every laboratory sessions to be discussed and analyzed. If assignments are submitted later, students will not be able to take the assessment test.

Autonomous work: students are expected to spend about 90 hours to study theory, solve problems, prepare lab sessions, and take exams.

Tutorials: the professor's office hours will be posted on Moodle and the degree website to assist students with questions and doubts. It is beneficial for the student to come with clear and specific questions.

### 4.3. Syllabus

The course will address the following topics:

Sections

Section 1: Exploratory data analysis in the computer laboratory.

Section 2: Models of the probability distribution.

Section 3: Sampling, estimation and hypothesis tests.

Section 4: Introduction to Optimization.

Section 1: Exploratory Data Analysis

Descriptive statistics

Basic concepts. Types of variables.

Data organization. Frequency table.

Graphic descriptions of a variable.

Numerical descriptions of a variable. Box-plot.

Bidimensional distributions. Bidimensional table.

Marginal and conditional distributions.

Measures of association. Regression and correlation.

Section 2: Models of the probability distribution

Basic concepts. Sample space and events, algebra of events. Random and deterministic experiments.

Interpretations of probability.

Kolmogorov axiomatic definition.

Conditional probability. Independence of events.

Partition of a sample space, law of total probability and Bayes theorem.

Reliability of systems.

Random variables

Definition of random variable. Classification.

Discrete random variable, probability function, distribution function.

Continuous random variable, density function, distribution function.

Expectation of a random variable and of a function of a random variable.

Basic properties of expectation and variance

Moments of a random variable.

Other measures of central tendency and dispersion.

Chebyshev inequality.

Main discrete distributions: Bernoulli, binomial, Poisson, geometric, hypergeometric.

Main continuous distributions: uniform, exponential, normal.

Reproductivity of random variables.

Poisson process: relationship to exponential distribution.

Approximations between random variables.

Two-dimensional distributions. Calculation of expectations and variances of a linear combination of independent random variables.

Section 3: Sampling, estimation and hypothesis tests

Sampling and Estimation

Introduction. Basic concepts associated with sampling distributions in normal populations: chi-square, Student's t, F.

Distributions important statistical sampling: Central Limit Theorem and Fisher theorem.

Confidence interval estimation. Intervals for means, variances and proportions. Calculation of the minimum sample size.

Hypothesis tests: null and alternative hypothesis, level of significance.

Relationship between confidence intervals and hypothesis tests.

Calculating the p-value.

Hypothesis testing for means, variances and proportions.

Chi-square and tests of contingency tables.

Section 4: Introduction to Optimization

Optimization problems

Decision variables, objective function and constraints.

Linear programming problems: graphic resolution.

Contents of Practical classes in the computer laboratory

• Uni-dimensional descriptive statistics.

• Instructions for implementation of the Statistical Report.

• Two-dimensional Descriptive Statistics. Regression and correlation.

• Probability distributions of discrete and continuous random variables.

• Test goodness of fit.

• Hypothesis testing for means, variances and proportions.

• Introduction to Optimization.

### 4.4. Course planning and calendar

For further details concerning the timetable, classroom and further information regarding this course please refer to the "Escuela de Ingeniería y Arquitectura " website (https://eina.unizar.es/)

### 4.5. Bibliography and recommended resources

The updated bibliography is in the BR of the BUZ

### Información del Plan Docente

2020/21
Asignatura:
110 - Escuela de Ingeniería y Arquitectura
Titulación:
Créditos:
6.0
Curso:
1
Periodo de impartición:
434-Primer semestre o Segundo semestre
107-Segundo semestre
Clase de asignatura:
Formación básica
Materia:

### 1.1. Objetivos de la asignatura

En esta asignatura se cubren aspectos de recopilación, presentación, análisis y tratamiento de datos, así como de extracción de conclusiones a partir de la información que proporcionan. La inferencia estadística juega un papel importante en la aplicación de muchas técnicas estadísticas que podrán ser de utilidad en el ejercicio profesional del ingeniero mecánico. Además, el estudiante aprende a modelar situaciones reales en presencia de incertidumbre. Finalmente se introducen aspectos elementales de Optimización que juegan un papel determinante en la toma de decisiones.

El objetivo final es que el alumno integre los conocimientos que se cursan en la asignatura en el contexto formativo de la titulación y, en la medida posible, sea autosuficiente en la utilización de las técnicas estadísticas en el desarrollo de sus labores profesionales.

### 1.2. Contexto y sentido de la asignatura en la titulación

La asignatura es obligatoria y forma parte de la formación básica de los estudiantes. Se ubica en el segundo cuatrimestre de primer curso, una vez que el estudiante ha adquirido una formación básica en Matemáticas. Se imparte simultáneamente con las asignaturas de Fundamentos de Informática, Matemáticas II y Física II de formación básica e Ingeniería del medio ambiente, específica de la rama industrial.

La asignatura será de utilidad para el futuro graduado en Ingeniería Mecánica al dotarle de una base científica que le guiará en la toma de decisiones al analizar información procedente de bases de datos como, por ejemplo, los tomados en asignaturas tales como Fundamentos de ingeniería de materiales o de Resistencia de materiales que el estudiante cursará en segundo, en Tecnologías de fabricación de tercer curso y en Organización y dirección de empresas de cuarto, entre otras. Asimismo se le proporciona una base sólida modelizar situaciones reales de naturaleza aleatoria.

La mejora de la calidad, el diseño de nuevos productos y procesos de fabricación y el perfeccionamiento de los sistemas existentes, son actividades propias de un ingeniero mecánico. Las técnicas estadísticas constituyen una herramienta imprescindible para llevarlas a cabo pues proporcionan métodos descriptivos y analíticos para abordar el tratamiento de datos, transformándolos en información. El análisis de la fiabilidad de componentes y sistemas tiene relevancia por sí mismo al diseñar un nuevo producto. Un aspecto importante es la garantía que se va a ofrecer, asociada al análisis de la distribución del tiempo de vida, concepto que se estudia en esta asignatura.

### 1.3. Recomendaciones para cursar la asignatura

Se aconseja a los alumnos estudiar la asignatura de manera de manera constante a lo largo de todo el cuatrimestre. Los alumnos que sigan de forma continuada la asignatura deberán superar las pruebas de evaluación programadas a lo largo del curso. Aquellos que no sigan la asignatura de forma continuada deberán superar una prueba de evaluación final referente a todos los módulos de contenido.

Es recomendable que el estudiante posea conocimientos básicos de cálculo integral y diferencial.

### 2.1. Competencias

Competencias específicas:

C12: Capacidad para la resolución de los problemas matemáticos que puedan plantearse en la ingeniería. Aptitud para aplicar los conocimientos sobre estadística y optimización.

Competencias genéricas:

C4: Capacidad para resolver problemas y tomar decisiones con iniciativa, creatividad y razonamiento crítico.

C5: Capacidad para comunicar y transmitir conocimientos, habilidades y destrezas en castellano.

1. Aplica las técnicas de tratamiento y análisis de datos.
3. Comprende los conceptos de variable aleatoria unidimensional y multidimensional.
4. Domina el modelado de entornos de la ingeniería bajo naturaleza estocástica mediante variables aleatorias y sus aplicaciones en situaciones de incertidumbre.
5. Conoce las técnicas de muestreo y estimación.
6. Sabe cómo utilizar contrastes de hipótesis estadísticas y su aplicación en la toma de decisiones.
8. Tiene capacidad para identificar y formular problemas de optimización.

### 2.3. Importancia de los resultados de aprendizaje

Esta asignatura enseña los principios básicos de la toma de decisiones en presencia de incertidumbre. Los estudiantes desarrollan competencias para abordar problemas reales y para trabajar con datos reales y aprenden a reconocer y manejar modelos que sirven para resolver diferentes situaciones en presencia de aleatoriedad.

Un ingeniero mecánico debe manejar con regularidad información procedente de bases de datos y ha de estar capacitado para tomar decisiones a partir del análisis de la misma. La toma de decisiones requiere un tratamiento exploratorio de los datos así como el planteamiento de contrastes de hipótesis, con lo que se hacen imprescindibles las técnicas estadísticas.

Los estudiantes aprenden a plantear y resolver problemas sencillos de Optimización.

Además, los estudiantes trabajan en grupo y con datos reales, por lo que también desarrollan competencias de colaboración en equipo en la resolución de problemas reales.

### 3.1. Tipo de pruebas y su valor sobre la nota final y criterios de evaluación para cada prueba

Evaluación global:

La evaluación global de la asignatura comprende las siguientes actividades realizadas de forma continuada a lo largo del curso:

1. Una prueba escrita realizada de manera individual por el grupo completo de estudiantes, durante el periodo de docencia de la asignatura, referente al módulo Modelos de distribución de probabilidad. (Resultados del aprendizaje 2, 3 y 4).
2. Una prueba escrita realizada de manera individual por el grupo completo de estudiantes, en la convocatoria oficial de la asignatura, referente al módulo Muestreo, estimación y contrastes de hipótesis. (Resultados del aprendizaje 5 y 6).
3. Una prueba escrita realizada de manera individual por el grupo completo de estudiantes referente a los contenidos desarrollados en las clases de prácticas de la asignatura en laboratorio informático a realizar durante el periodo de docencia de la asignatura y/o en la convocatoria oficial. (Resultados del aprendizaje 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8).
4. Un Informe Estadístico realizado por el grupo completo de estudiantes, donde aplique algunas de las diferentes técnicas estadísticas estudiadas a lo largo del curso, y a realizar antes de la convocatoria oficial. (Resultados del aprendizaje 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y 8).

Los alumnos que no realicen la prueba propuesta en el punto 1 anterior programada durante el curso, correspondiente a la evaluación global, deberán realizarla en la convocatoria oficial de la asignatura.

Criterios de evaluación:

En la evaluación se considerarán los siguientes aspectos:

• El problema deberá estar correctamente planteado.
• Errores graves en conceptos básicos de la asignatura supondrán la anulación de la puntuación otorgada a la cuestión o problema correspondiente.

Niveles de exigencia:

La prueba correspondiente al módulo Modelos de distribución de probabilidad supone un 40% de la calificación final y la prueba correspondiente al módulo Muestreo, estimación y contrastes de hipótesis supone un 20% de la calificación final. Para superar el 60% que suponen ambas, el alumno ha de obtener una nota de al menos 4 puntos (sobre 10) en cada una de ellas y una media ponderada de al menos 4.5 puntos (sobre 10).

Los resultados de aprendizaje relativos a la destreza en el análisis estadístico de datos se evaluarán con la calificación conjunta del Informe Estadístico (20% de la calificación final) y una prueba escrita (20% de la calificación final). Para superar el 40% que suponen ambas, el alumno ha de obtener al menos 4 puntos (sobre 10) en cada una de ellas y una media de al menos 5 puntos (sobre 10) en estas actividades.

Para superar la asignatura el alumno deberá obtener una nota final de al menos 5 puntos, sobre 10.

La prueba global de evaluación constará de una prueba escrita de carácter obligatorio equivalente a las pruebas descritas en los puntos 1, 2 y 3, además de la realización del Informe Estadístico contemplado en el punto 4. El porcentaje de la nota final de la prueba 1 es el 40% y el de cada una de las tres pruebas restantes el 20%. La prueba correspondiente al Informe Estadístico se desarrollará durante el periodo de tiempo de exámenes fijado por la EINA.

### 4.1. Presentación metodológica general

La metodología que se propone trata de fomentar el trabajo continuado del estudiante y se centra en los aspectos más prácticos de la Estadística: el trabajo con datos reales.

En las sesiones con el grupo completo se tratan aspectos teóricos que se complementan con su aplicación a la resolución de problemas de naturaleza real en las sesiones de problemas en grupos reducidos.

El tratamiento de datos reales se realiza en las sesiones de laboratorio informático utilizando programas informáticos y, además, se resuelven mediante ordenador problemas básicos de Optimización.

La evaluación se centra tanto en aspectos teóricos como aplicados de acuerdo con los criterios de evaluación establecidos.

El seguimiento de todas las actividades de aprendizaje es de especial relevancia para adquirir las competencias de la asignatura.

La asignatura se articula con 4 horas de clase a la semana durante las 15 semanas que dura el cuatrimestre. De ellas, 2 horas se imparten al grupo completo para la exposición de los conceptos teóricos y ejemplos. Otras 2 horas se imparten a grupos reducidos, para desarrollar destrezas en el planteamiento de problemas reales (modelado o selección de la técnica adecuada), resolución e interpretación de los resultados.

De forma más específica:

Clases magistrales (30 horas con el grupo completo de alumnos).

En estas sesiones se tratan aspectos teóricos de forma participativa para facilitar su asimilación. El seguimiento de estas sesiones es fundamental para la consolidación y el buen desarrollo del aprendizaje programado.

Clases de resolución de problemas (15 horas en grupos reducidos).

Clases de resolución de casos prácticos (15 horas en grupos reducidos).

Las clases magistrales se complementan con sesiones de resolución de problemas y casos prácticos. Las sesiones de laboratorio informático están diseñadas para que el alumno maneje programas informáticos de apoyo en la resolución de problemas y para el análisis de datos con ejercicios que suponen por un lado, la selección de la técnica adecuada a aplicar a los datos y por otro lado, la interpretación de los resultados obtenidos. Durante estas clases se programan actividades para incorporar estrategias metodológicas participativas que favorecen el aprendizaje.

Trabajo práctico tutelado (15 horas de trabajo no presencial).

Estudio personal (70 horas de trabajo no presencial).

Evaluación (5 horas de trabajo no presencial).

### 4.3. Programa

Se plantean los siguientes módulos de aprendizaje:

1. Módulo 1: Análisis exploratorio de datos en el laboratorio informático.
2. Módulo 2: Modelos de distribución de probabilidad.
3. Módulo 3: Muestreo, estimación y contrastes de hipótesis.
4. Módulo 4: Introducción a la optimización.

Módulo 1: Análisis exploratorio de datos

Conceptos básicos, tipos de variables.

Organización de los datos. Tabla de frecuencias.

Descripciones gráficas de una variable.

Descripciones numéricas de una variable. Gráfico-caja.

Distribuciones bidimensionales. Tabla de doble entrada.

Medidas de asociación. Regresión y Correlación.

Módulo 2: Modelos de distribución de probabilidad

Conceptos básicos. Experimentos aleatorios y deterministas.

Definición axiomática de Kolmogorov.

Sistema completo de sucesos, teorema de la probabilidad total y teorema de Bayes.

Variables aleatorias

Definición de variable aleatoria. Clasificación.

Variable aleatoria discreta, función de probabilidad, función de distribución.

Variable aleatoria continua, función de densidad, función de distribución.

Esperanza de una variable aleatoria y de una función de una variable aleatoria.

Momentos de una variable aleatoria.

Otras medidas de centralización y dispersión.

Principales distribuciones discretas: Bernoulli, binomial, Poisson, geométrica, hipergeométrica.

Principales distribuciones continuas: uniforme, exponencial, normal.

Proceso de Poisson: relación con la distribución exponencial.

Aproximaciones entre variables.

Introducción a las distribuciones bidimensionales. Cálculo de esperanzas y varianzas de combinaciones lineales de variables aleatorias independientes.

Módulo 3: Muestreo, estimación y contrastes de hipótesis

Muestreo y estimación

Introducción. Conceptos básicos.

Snedecor-Fisher.

Distribuciones de muestreo de estadísticos importantes: Teoremas central del límite y Teorema de Fisher.

Estimación por intervalo de confianza. Intervalos para medias, varianzas y proporciones.  Cálculo del tamaño muestral mínimo.

Contrastes de Hipótesis. Conceptos básicos: hipótesis nula y alternativa, nivel de significación.

Relación entre intervalos de confianza y contrastes de hipótesis.

Cálculo del p-valor del contraste.

Contrastes para medias, varianzas y proporciones.

Módulo 4: Introducción a la optimización

Problemas de optimización

Variables de decisión, función objetivo y restricciones.

Problemas de programación lineal: resolución gráfica.

Contenidos de las Prácticas en laboratorio informático

• Instrucciones para la realización del Informe Estadístico.
• Estadística descriptiva bidimensional. Regresión y Correlación.
• Distribuciones de probabilidad de variables aleatorias discretas y continuas.
• Contrastes de Igualdad de medias, varianzas y proporciones.
• Introducción a la Optimización.

### 4.4. Planificación de las actividades de aprendizaje y calendario de fechas clave

La planificación de las sesiones se ajustarán a lo dispuesto en el calendario académico y horarios fijados por el centro.

Los 6 créditos de la asignatura se dividen en 3 ECTS impartidos al grupo completo en los que se harán exposiciones de la teoría y ejemplos que motivan su utilidad en el ámbito de la Ingeniería; y 3 ECTS en grupos reducidos dirigidos a desarrollar destrezas para el planteamiento y la resolución de problemas que se asemejen a situaciones reales. La mitad de estos 3 últimos créditos se llevarán a cabo en el aula de informática.

Se realizarán dos pruebas escritas de evaluación de los módulos Modelos de distribución de probabilidad y de Muestreo, estimación y contrastes de hipótesis y se evaluarán también los contenidos prácticos desarrollados durante el curso.

### 4.5. Bibliografía y recursos recomendados

La bibliografía actualizada se encuentra en la BR de la BUZ