## 27029 - Numerical Simulation in Ordinary Differential Equations

### Syllabus Information

2020/21
Subject:
27029 - Numerical Simulation in Ordinary Differential Equations
Faculty / School:
Degree:
453 - Degree in Mathematics
ECTS:
6.0
Year:
4
Semester:
First semester
Subject Type:
Optional
Module:
---

### 1.1. Aims of the course

This is an optional course in the degree of Mathematics. Its goal is to present the essentials of methods for the numerical solution of differential problems.

### 1.2. Context and importance of this course in the degree

The course belongs to the module Cálculo científico y simulación numérica. To take this course it is highly convenient to have passed the courses Análisis matemático I, Análisis matemático II, Ecuaciones diferenciales ordinarias, Informatica I, Análisis numérico I and Análisis Numérico II.

### 1.3. Recommendations to take this course

The attendace to the class lectures and the computer laboratory sessions is highly recomended, as well as the individual work on the problems posed along the course. It is highly convenient to have passed the subjects Análisis matemático I and II, Ecuaciones diferenciales ordinarias, Informatica I, Análisis numérico I and Análisis numérico II.

### 2.2. Learning goals

At the end of this course students should be able to:

• Know criteria to compare and evaluate several numerical methods taking into account the computational cost.
• Evaluate the numerical results obtained and draw conclusions
• Know how approximate numerically the solution of an initial value problem and estimate the error committed by the numerical method.
• Know the limitations and advantages of the numerical methods under consideration.
• Know some commercial software (e.g. Matlab, Mathematica...) and free software (e.g. ipython) for the numerical solution of differential problems.

### 3.1. Assessment tasks (description of tasks, marking system and assessment criteria)

As a general rule, the module can be passed either showing a regular work along the academic year, or by
a final exam.

• Regular work. During the course, the student results will be evaluated through a periodical supply of exercises or short tasks, together with their active participation during the course (30%). The use of LaTeX in written presentations (50%) is recommended; the evaluation include an oral presentation using Beamer (20%). These evaluations will constitute the final mark.
• Final exam. The aforementioned procedure does not exclude the right, according to the current regulations, to a final exam which, by itself, allows to pass the module.

### 4.1. Methodological overview

The methodology followed in this course is oriented towards the achievement of the learning objectives. It is convenient to have knowledge of Mathematical Analysis, Differential Equations, programming languages and Numerical Analysis.

It favors the understanding of the state of the art numerical methods for the numerical integration of initial value problems in ordinary differential equations, and also boundary problems. A wide range of teaching and learning tasks are implemented, such as theory sessions, laboratory sessions and individual assignments.

Students are expected to participate actively in the class throughout the semester.

Classroom materials will be available via Moodle/personal web page of the professor. These include a repository of the lecture notes used in class, the course syllabus, as well as other course-specific learning materials, including a discussion forum.

Further information regarding the course will be provided on the first day of class.

This is a 6 ECTS course organized as follows:

• Lectures (4 ECTS: 40 hours). Lecture notes and a set of problems (and their corresponding solutions) will be available for the students. At the end of each topic, some of the problems will be solved in class by the teacher and the rest will be done individually. The lecturer will also may assign, from those unsolved problems, problems to groups of 4-5 students, which they will submit to the teacher.
• Laboratory sessions (1.5 ECTS: 15 hours). Two-hour sessions that take place approximately every 2 weeks in a computer room. Students are provided in advance with task guidelines for each session. We will use python for the implementation of the algorithms explained in the classroom.
• Assignments (0.5 ECTS: 5 hours). Individual or in groups of two students work on lab reports and different assignments during the course.

The teaching activities and assessment tasks will take place in a face-to-face mode, except in the case that, due to the health situation, the dispositions emitted by the competent authorities and by the University of Zaragoza compel to take them in a telematic form.

### 4.3. Syllabus

The course will address the following topics:

• Section 1. One-step methods. Consistency, stability and convergence.
• Section 2. Runge-Kutta methods.
• Section 3. Linear multistep methods.
• Section 4. Boundary Value Problems. Shooting methods.
• Section 5. Implementation of the numerical schemes and numerical simulation.

### 4.4. Course planning and calendar

Schedule of basic activities under the supervisor’s guidance:

• Determining your topic, scope and purpose. It is strongly advised that the choice of topic and scope for your final presentation is completed by the first four weeks of the second semester.
• Planning individual tutorials.
• Progress reports (draft revisions).
• Final editing and proofreading. The final version of the presentation will be handed in to the supervisor at least two weeks before the deadline for official submission. The presentation of the presentation must be written in English using Beamer with a duration of twenty minutes.

Further information concerning the timetable, classroom, office hours, assessment dates and other details regarding this course will be provided on the first day of class or please refer to the Facultad de Ciencias website (https://ciencias.unizar.es) and the department website.

### 4.5. Bibliography and recommended resources

• Ernst Hairer, Syvert Paul Norsett, Gerhard Wanner, Solving Ordinary Differential Equations I. Nonstiff Problems. Springer Series in Comput. Mathematics, Vol. 8, Springer-Verlag 1987, Second revised edition 1993.
• Ernst Hairer, Gerhard Wanner, Solving Ordinary Differential Equations II. Stiff and Differential-Algebraic Problems. Springer Series in Comput. Mathematics, Vol. 14, Springer-Verlag 1991, Second revised edition 1996.
• M. Calvo, J. I. Montijano y L. Rández; Curso de Análisis Numérico (Métodos de Runge-Kutta para la resolución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias). Servicio de Publicaciones de la Universidad de Zaragoza, 1985.
• M. Calvo y J. I. Montijano, L. Rández; Curso de Análisis Numérico (Métodos lineales multipaso para la resolución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias). Servicio de Publicaciones de la Universidad de Zaragoza, 1985.

http://biblos.unizar.es/br/br_citas.php?codigo=27029&year=2020

## 27029 - Simulación numérica en ecuaciones diferenciales ordinarias

### Información del Plan Docente

2020/21
Asignatura:
27029 - Simulación numérica en ecuaciones diferenciales ordinarias
Titulación:
Créditos:
6.0
Curso:
4
Periodo de impartición:
Primer semestre
Clase de asignatura:
Optativa
Materia:
---

### 1.1. Objetivos de la asignatura

#### La asignatura y sus resultados previstos responden a los siguientes planteamientos y objetivos:

Se trata de una asignatura optativa dentro del grado cuyo objetivo es familiarizar al alumno con las técnicas de integración numérica para la resolución numérica de problemas en ecuaciones diferenciales ordinarias y proporcionar las herramientas necesarias que permitan llevar a cabo los algoritmos en un lenguaje de programación.

### 1.2. Contexto y sentido de la asignatura en la titulación

Esta materia está encuadrada en el módulo de Cálculo científico y simulación numérica.

Esta asignatura se cursa después de la asignaturas Análisis Numérico I y Análisis Numérico IIy precede a la optativa Tratamiento numérico de las ecuaciones en derivadas parciales.

Se recomienda haber cursado antes las asignaturas Análisis Matemático I y II, Informática I, Ecuaciones diferenciales ordinarias, Análisis numérico I y Análisis numérico II.

### 1.3. Recomendaciones para cursar la asignatura

Se recomienda que se curse de modo presencial y que la participación del alumno sea activa, realizando los problemas que se propongan y las prácticas de ordenador previstas y la exposición de un trabajo en clase. Se prevé un examen para aquellos que, de manera justificada, no puedan hacerla de modo presencial. La parte práctica de esta asignatura requiere del uso del manipulador numérico ipython y de LATEX.

Formación previa: para seguir la asignatura se recomienda haber aprobado las de cursos anteriores. Conviene tener conocimientos de análisis matemático, ecuaciones diferenciales, informática y análisis numérico.

### 2.1. Competencias

#### Al superar la asignatura, el estudiante será más competente para:

Desenvolverse en el manejo de los objetivos descritos (véase apartado Resultados de aprendizaje)

Desarrollar e implementar algoritmos y programas para resolver problemas matemáticos utilizando el entorno computacional adecuado.

Saber aplicar los conocimientos matemáticos a su trabajo de una forma profesional y ser capaz de abordar la resolución de problemas en el área de las matemáticas y de sus aplicaciones.

Trabajar en equipos participando en las discusiones que se generen.

Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales sencillas, utilizando las herramientas matemáticas más adecuadas a los fines que se persigan.

Utilizar aplicaciones informáticas con distintos tipos de software científico para experimentar en matemáticas y resolver problemas.

#### El estudiante, para superar esta asignatura, deberá demostrar los siguientes resultados...

Conocer las técnicas básicas del cálculo numérico, su aplicación a los problemas del álgebra lineal y de la aproximación de funciones y su traducción en algoritmos o métodos constructivos de resolución de dichos problemas.

Conocer las técnicas básicas del cálculo numérico, su aplicación a problemas de modelización y la integración numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias y la implementación en algoritmos o métodos constructivos de resolución de dichos problemas.

Tiene criterios para valorar y comparar distintos métodos en función de los problemas que deben resolverse, el coste computacional y la presencia de errores.

Evalúa los resultados obtenidos y obtiene conclusiones después de un proceso de cálculo.

Es capaz de aproximar numericamente la solución de problemas de valor inicial, estimando el error cometido por dichas aproximaciones.

Es capaz de detectar las ventajas y las limitaciones de cada uno de los métodos numéricos para su óptima aplicación.

Manejar a nivel de usuario programas comerciales (matlab, Mathematica) donde se aplican las técnicas estudiadas.

### 2.3. Importancia de los resultados de aprendizaje

Proporcionan una formación de carácter básico dentro del grado (ver Contexto y sentido de la asignatura en la titulación).

Dotan al alumno de una perspectiva de las técnicas relacionadas con la resolución aproximada de problemas que se presentan al aplicar las matemáticas en problemas reales y que conllevan una gran complejidad de cálculo.

### 3.1. Tipo de pruebas y su valor sobre la nota final y criterios de evaluación para cada prueba

#### El estudiante deberá demostrar que ha alcanzado los resultados de aprendizaje previstos mediante las siguientes actividades de evaluacion:

• Entrega de la colección de ejercicios resueltos que han sido asignados de entre las hojas de problemas y/o propuestos en clase, bien de forma individual o por parejas. La calificación de esta prueba representará un 30% de la nota final.
• El trabajo de asignatura consistirá en la implementación de métodos numéricos para la resolución de problemas diferenciales. La implementación se realizará preferentemente con el manipulador numérico ipython y la memoria deberá escribirse en LATEX. La calificación de esta prueba representará un 50% de la nota final.
• Consistirá en la presentación y defensa oral del trabajo realizado para la asignatura, delante de los profesores y del resto de alumnos de la misma. Tendrá una duración de unos 20 minutos, con preguntas finales por parte de los asistentes. La presentación se hará utilizando Beamer (LATEX). La calificación de esta prueba representará un 20 % de la nota final.
• Lo anterior debe entenderse sin menoscabo del derecho que, según la normativa vigente, asiste al estudiante para presentarse y, en su caso, superar la asignatura mediante la realización de una prueba global.

### 4.1. Presentación metodológica general

#### El proceso de aprendizaje que se ha diseñado para esta asignatura se basa en lo siguiente:

Clases teóricas

Clases de problemas en grupos reducidos

Clases prácticas de ordenador en grupos reducidos

Tutorías individuales de carácter voluntario

Estudio y trabajo del alumno

#### El programa que se ofrece al estudiante para ayudarle a lograr los resultados previstos comprende las siguientes actividades:

• Métodos de un paso: consistencia, estabilidad y convergencia.
• Métodos Runge-Kutta.
• Métodos lineales multipaso.
• Problemas de contorno: métodos de tiro.
• Implementación de los métodos y simulación numérica.

Las actividades docentes y de evaluación se llevarán a cabo de modo presencial salvo que, debido a la situación sanitaria, las disposiciones emitidas por las autoridades competentes y por la Universidad de Zaragoza dispongan realizarlas de forma telemática.

### 4.3. Programa

• Métodos de un paso: consistencia, estabilidad y convergencia.
• Métodos Runge-Kutta.
• Métodos lineales multipaso.
• Problemas de contorno: métodos de tiro.
• Implementación de los métodos y simulación numérica.

### 4.4. Planificación de las actividades de aprendizaje y calendario de fechas clave

#### Calendario de sesiones presenciales y presentación de trabajos

Véase el calendario de la Universidad de Zaragoza y los horarios establecidos por la Facultad de Ciencias.

El horario de las clases teoría y practicas estrarán disponibles en la web de la Facultad de Ciencias.

### 4.5. Bibliografía y recursos recomendados

• Ernst Hairer, Syvert Paul Nørsett, Gerhard Wanner, Solving Ordinary Differential Equations I. Nonstiff Problems. Springer Series in Comput. Mathematics, Vol. 8, Springer-Verlag 1987, Second revised edition 1993.
• Ernst Hairer, Gerhard Wanner, Solving Ordinary Differential Equations II.Stiff and Differential-Algebraic Problems. Springer Series in Comput. Mathematics, Vol. 14, Springer-Verlag 1991, Second revised edition 1996.
• M. Calvo, J. I. Montijano y L. Rández; Curso de Análisis Numérico (Métodos de Runge-Kutta para la resolución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias). Servicio de Publicaciones de la Universidad de Zaragoza, 1985.
• M. Calvo y J. I. Montijano, L. Rández; Curso de Análisis Numérico (Métodos lineales multipaso para la resolución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias). Servicio de Publicaciones de la Universidad de Zaragoza, 1985.

http://biblos.unizar.es/br/br_citas.php?codigo=27029&year=2020