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Academic Year/course: 2020/21

453 - Degree in Mathematics

27014 - Complex Analysis

Syllabus Information

Academic Year:
27014 - Complex Analysis
Faculty / School:
100 - Facultad de Ciencias
453 - Degree in Mathematics
Subject Type:

1. General information

1.1. Aims of the course

The aims and the approach to the course reply to its compulsory character in the degree. The subject covered in the course is present in any branch of mathematics as well as in natural and social sciences, which makes it of great theoretical and applied importance. The aims can be summarized, because of their importance in the study of mathematical analysis, in understanding the similarities and the differences between complex analysis and real analysis in one and several variables, as well as understanding which aspects in real analysis are embedded in complex analysis, which allows them to be better understood.


1.2. Context and importance of this course in the degree

The course is embedded in the module Introduction to Mathematical Analysis, and is the unique course covering the topic Complex variable functions. To follow the course properly it is essential to have taken the courses Mathematical analysis I and Mathematical Analysis II in advance.

On the other hand, it is an important course in order to get a proper academic achievement in other courses of the degree like: Topology, Probability theory, Fourier Analysis, Functional Analysis, Fundaments of mathematical Analysis, Riemannian geometry, Surfaces topology, Differentiable manifolds....

1.3. Recommendations to take this course

  • Attend continuously, and paying attention, to the theoretical and practical lectures.
  • Work with the materila delivered by the instructors in a continuous way.
  • Make a good use of the office hours, whose exact schedule will be delivered at the beginning of the course.
  • It is specially urged to have passed the courses Mathematical analysis I and Mathematical analysis II.
  • The students who cannot attend the lectures should comunicate their situation to the instructors.

2. Learning goals

2.1. Competences

After passing this course the student will be more competent in the aims described in the paragraph Learning goals.

Among the competences that the graduate in mathematics should acquire, we pint out the following ones:

  • CE1. Comprehend and use the language and mathematical methods. Know rigurous proofs of the basic theorems in the course.
  • CT3. Recognise, when facing a problem, what is substantial and what is accesory, make conjectures and reason in order to prove or disprove them, identify mistakes in incorrect reasonings, and so on.
  • CE3. Solve mathematical problems by means of basic calculus and other techniques.
  • CE2. Propose, analyse, validate and interpret models of real simple situations, using the most suitable mathematical tools depending on the ends that are pursued.

2.2. Learning goals

In order to pass this course the student must show the following skills:

  • Knowing, understanding and learning the definition , first properties and basic theory of of holomorphic or analytic functions, meromorphic functions, as well as the bascis in complex integration and local Cauchy's theory.
  • Comprehension and easy handling of power series and Laurent series, and their convergence conditions.
  • Master the computation of residues and some of its applications.
  • Knowing the geometric and analytic aspects of conformal representation and possible applications.

2.3. Importance of learning goals

They give a basic formation in the degree (see the paragraph Context and importance of this course in the degree). Moreover, the concepts and techniques included in this course are basic to model numerous problems that are present in other sciences.

3. Assessment (1st and 2nd call)

3.1. Assessment tasks (description of tasks, marking system and assessment criteria)

The assessment of the course is divided in two terms. In order to pass the course each of both terms must be passed. With this requisite, the final mark will be the mean of the marks in both terms.

In each term, several continuous evaluation examinations will take place during some lecture hours, and a long exam in the official assesment calls.

The number of continuous evaluation examinations will be two or three in each term, although this number could vary if the circumstances so require. The total weight of the marks in these continuous evaluation examinations will be 20 per cent.

In the first term there will also be a long exam in the exams period in January and February, giving the student the possibility to pass the first term in this exams period.

Those students who have not passed some of the terms will take a long exam on the corresponding term in the official assesment calls. The mark of a passed term will be kept through the whole academic year.

According to the University regulations, the students can refuse the aforementioned system and take only the exams in June or September as a global test.

4. Methodology, learning tasks, syllabus and resources

4.1. Methodological overview

The methodology followed in this course is oriented towards the achievement of the learning objectives. A wide range of teaching and learning tasks are implemented, such as lectures, problem-solving sessions, tutorials and individual work and study.

4.2. Learning tasks

This course is organized as follows:

  • Lectures. Three weekly hours on theoretical results and key problems.
  • Problem-solving sessions. With the purpose of understanding and applying the theoretical results.
  • Individual work and study. Including problem assignments for individual work.
  • Tutorials. Individual tutoring.
  • Assessment tasks. Several midterm continuous evaluation exams will be done during the period of classes as well as a bigger midterm exam a the end of the first semester.
  • More information and material is available at and .

The teaching activities and assessment tasks will take place in a face-to-face mode, except in the case that, due to the health situation, the dispositions emitted by the competent authorities and by the University of Zaragoza compel to take them in a telematic form.

4.3. Syllabus

This course will address the following topics:

Section I. First term.

  • Topic 1. Holomorphic functions. Cauchy-Riemann conditions. Harmonic functions.
  • Topic 2. Analytic functions. Power series. Elementary functions.
  • Topic 3. Complex integration. Cauchy local theory.

Section II. Second term.

  • Topic 4. Cauchy global theory. Cycles and homology. Simple connection.
  • Topic 5. Zeroes and singularities. Meromorphic functions. Laurent expansions.
  • Topic 6. Residue theorem and applications.
  • Topic 7. Conformal mappings.

4.4. Course planning and calendar

  • Three weekly face-to-face lectures will be delivered during the whole course.
  • Topics  1, 2 y 3 correspond to the first term. Topics 4, 5, 6 y 7 correspond to the second term.
  • At the end of the first term there will be a written exam on the topics covered up to that time.
  • There will be a written exam in each official assessment calls (June and September).
  • The exam periods, the precise dates and the academic calendar can be seen in the Facuclty of Sciences website (
  • During the class period several continuous evaluation exams will be taken, on some dates that will be announced in advance.
  • The first day of the course additional information will be provided.


4.5. Bibliography and recommended resources

Curso Académico: 2020/21

453 - Graduado en Matemáticas

27014 - Variable compleja

Información del Plan Docente

Año académico:
27014 - Variable compleja
Centro académico:
100 - Facultad de Ciencias
453 - Graduado en Matemáticas
Periodo de impartición:
Clase de asignatura:

1. Información Básica

1.1. Objetivos de la asignatura

Los objetivos y el planteamiento de la asignatura responden a su carácter obligatorio dentro del grado. La materia que cubre está presente en cualquier rama de las matemáticas y en todas las ciencias naturales y sociales, de ahí su gran importancia tanto teórica como aplicada. Los objetivos se pueden resumir, por su interés para el aprendizaje del análisis matemático, en entender las similitudes y diferencias de la materia con el análisis real de una y varias variables, así como qué aspectos de la variable real se subsumen en la variable compleja, lo que permite comprenderlos mejor.

1.2. Contexto y sentido de la asignatura en la titulación

La asignatura está situada en el módulo Iniciación al análisis matemático, como única en la materia Funciones de variable compleja. Para su buen seguimiento es en la práctica indispensable haber cursado las asignaturas Análisis matemático I y Análisis matemático II.

Por otro lado, se trata de una asignatura importante para poder cursar con aprovechamiento otras diversas asignaturas del grado como: Topología, Teoría de la probabilidad, Análisis de Fourier, Análisis funcional, Fundamentos de análisis matemático, Geometría riemanniana, Topología de superficies, Variedades diferenciables...

1.3. Recomendaciones para cursar la asignatura

  • Asistencia atenta y continuada a las clases teóricas y prácticas.
  • Trabajo continuo del material que se suministre.
  • Aprovechamiento de las tutorías, cuyo horario se dará al comienzo del curso.
  • Se recomienda especialmente haber aprobado las asignaturas Análisis matemático I y Análisis matemático II.
  • Los alumnos que no puedan asistir a clase deberían comunicarlo a los profesores.

2. Competencias y resultados de aprendizaje

2.1. Competencias

Al superar la asignatura, el estudiante será más competente para desenvolverse en el manejo de los objetivos descritos en el apartado de Resultados de aprendizaje.

De entre las competencias que debe adquirir el graduado en matemáticas, destacamos las siguientes:

  • CE1. Comprender y utilizar el lenguaje y métodos matemáticos. Conocer demostraciones rigurosas de los teoremas básicos de la asignatura.
  • CT3. Distinguir ante un problema lo que es sustancial de lo que es accesorio, formular conjeturas y razonar para confirmarlas o refutarlas, identificar errores en razonamientos incorrectos, etc.
  • CE3. Resolver problemas matemáticos mediante habilidades de cálculo básico y otras técnicas.
  • CE2. Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales sencillas, utilizando las herramientas matemáticas más adecuadas a los fines que se persigan.

2.2. Resultados de aprendizaje

El estudiante, para superar esta asignatura, deberá demostrar los siguientes resultados:

  • Conocer, entender y aprender la definición, primeras propiedades y teoría básica de las funciones holomorfas o analíticas, y meromorfas, así como las bases de la integración compleja y la teoría local de Cauchy.
  • Comprender y manejar con soltura las series de potencias y de Laurent, y las condiciones para su convergencia.
  • Dominar el cálculo de residuos y algunas de sus aplicaciones.
  • Conocer los aspectos geométrico y analítico de la representación conforme y posibles aplicaciones.

2.3. Importancia de los resultados de aprendizaje

Proporcionan una formación de carácter básico dentro del grado (ver el apartado de Contexto y sentido de la asignatura en la titulación). Así mismo, los conceptos y técnicas contenidos en la asignatura son básicos para modelizar numerosos problemas que se presentan en otras ciencias.

3. Evaluación

3.1. Tipo de pruebas y su valor sobre la nota final y criterios de evaluación para cada prueba

La asignatura se divide en dos cuatrimestres. Para superar la asignatura se deberán aprobar ambos cuatrimestres por separado. Con este requisito, la nota final será la media de la nota en ambos cuatrimestres.

En cada cuatrimestre se realizarán varias pruebas de evaluación continua, en horario de clase, y un examen largo en las convocatorias oficiales.

Se estima que el número de pruebas de evaluación continua será de dos o tres en cada cuatrimestre, aunque este número podrá variar si las circunstancias lo aconsejan. El valor total de las pruebas de evaluación continua en la nota del cuatrimestre será de un 20 por ciento.

En el primer cuatrimestre se realizará además un examen largo en el periodo de exámenes de enero y febrero, proporcionando así al alumno la posibilidad de aprobar el primer cuatrimestre en este periodo de exámenes.

Quien no hubiese superado alguno de los cuatrimestres se examinará del cuatrimestre correspondiente realizando una prueba larga en las convocatorias oficiales. La nota de un cuatrimestre superado se conservará a lo largo de todo el año académico.

Según la normativa vigente, el alumno puede prescindir de lo anterior y presentarse únicamente a los exámenes de junio o septiembre como prueba global.

4. Metodología, actividades de aprendizaje, programa y recursos

4.1. Presentación metodológica general

  • Clases en pizarra de teoría y problemas.
  • Uso de Moodle para facilitar material y comunicación.
  • Tutorías.

4.2. Actividades de aprendizaje

  • Clases magistrales con conceptos y resultados teóricos y ejercicios modelo.
  • Clases de problemas para practicar y afianzar los conceptos y resultados teóricos.
  • Problemas propuestos para trabajo personal del alumno.
  • Tutorías individuales de carácter voluntario.
  • Tareas de evaluación. Varios exámenes de evaluación continua se realizarán durante el periodo de clases así como un examen largo al final del primer cuatrimestre.
  • En y hay disponible más información y material.

Las actividades docentes y de evaluación se llevarán a cabo de modo presencial salvo que, debido a la situación sanitaria, las disposiciones emitidas por las autoridades competentes y por la Universidad de Zaragoza dispongan realizarlas de forma telemática.

4.3. Programa

En este curso se estudiarán los siguientes temas:

Sección I. Primer cuatrimestre.

  • Tema 1. Funciones holomorfas. Condiciones de Cauchy-Riemann. Funciones armónicas.
  • Tema 2. Funciones analíticas. Series de potencias. Funciones elementales.
  • Tema 3. Integración compleja. Teoría local de Cauchy.

Sección II. Segundo cuatrimestre.

  • Tema 4. Teoría global de Cauchy. Ciclos y homología. Conexión simple.
  • Tema 5. Ceros y singularidades. Funciones meromorfas. Desarrollos de Laurent.
  • Tema 6. Teorema de los residuos y aplicaciones.
  • Tema 7. Aplicaciones conformes.

4.4. Planificación de las actividades de aprendizaje y calendario de fechas clave

  • Se impartirán tres horas semanales de clase presencial durante todo el curso.
  • Las lecciones 1, 2 y 3 corresponden al primer cuatrimestre. Las lecciones 4, 5, 6 y 7, al segundo cuatrimestre.
  • Al final del primer cuatrimestre se hará un examen escrito sobre la materia explicada hasta entonces.
  • Habrá un examen escrito en cada convocatoria oficial (junio y septiembre).
  • El periodo de exámenes y las fechas concretas de los mismos, así como el calendario académico en general, pueden consultarse en la página web de la Facultad de Ciencias (
  • Durante el periodo de clases se irán realizando pruebas de evaluación continua, en fechas que se anunciarán con suficiente antelación.
  • El primer día de clase se proporcionará información adicional.

4.5. Bibliografía y recursos recomendados