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Academic Year/course: 2020/21

453 - Degree in Mathematics

27006 - Calculus II


Syllabus Information

Academic Year:
2020/21
Subject:
27006 - Calculus II
Faculty / School:
100 - Facultad de Ciencias
Degree:
453 - Degree in Mathematics
ECTS:
15.0
Year:
2
Semester:
Annual
Subject Type:
Compulsory
Module:
---

1. General information

2. Learning goals

3. Assessment (1st and 2nd call)

4. Methodology, learning tasks, syllabus and resources

4.1. Methodological overview

The learning process that has been implemented in this subject is based on the following:

Lectures including theoretical concepts and fundamentall exercises.

Problem-solving sessions to practice and consolidate theoretical conceptsand ideas.

Homework based on proposed problems.

There will also be problem-solving sessions in which computers will be used in order to solve different types of exercises proposed in the course.

4.2. Learning tasks

More additional information and material is available in the links http://www.unizar.es/analisis_matematico/docencia.html and https://moodle2.unizar.es/.

The teaching activities and assessment tasks will take place in a face-to-face mode, except in the case that, due to the health situation, the dispositions emitted by the competent authorities and by the University of Zaragoza compel to take them in a telematic form.

4.3. Syllabus

This course will address the following topics:

  • Topic 1. Algebraic and topological properties in Rn
  • Topic 2. Functions of several real variables. Limits and continuity.
  • Topic 3. Partial derivatives and differentiability of real-valued and vector-valued functions. Higher order partial derivatives. Functions of class C^p.
  • Topic 4. Taylor's formula. Application to the study of extreme points.
  • Topic 5. Implicit and inverse function theorems, change of variables.
  • Topic 6. Extreme points on manifolds and the Lagrange multipliers rule.
  • Topic 7. Integration in R^n. Differentiation under integral sign, change of variable and Fubini's theorem.
  • Topic 8. Integration of functions and 1-differential forms on paths. Poincaré's lemma.
  • Topic 9. Integration of functions and 2-differential forms on surfaces in R^3. Riemann-Green, Gauss-Ostrogradski and Stokes theorems.

4.4. Course planning and calendar

The course consists of six hours per week during the first term and four hours per week during the second one, following the official timetable given by the Faculty of Science in the University of Zaragoza. Two hours per week, from the previous six, in the first term, and one hour and a half, from the previous four, in the second term, are devoted to solve exercises in the classroom.

Computer lessons will take place in the first and second term in time and form to be fixed during the course.

 

There will be a written exam about the subject explained in the first term, at the end of it.

Besides this, a written final exam will take place according to the schedule.

Dates and locations for exams will be programmed by the center.

 

Further information concerning timetable, classroom, office hours, assessment dates and other details regarding this course will be provided in class. Alternatively, information is available in the Faculty of Sciences website and Moodle.

 

4.5. Bibliography and recommended resources

  • Apostol, Tom M.. Análisis matemático / Tom M. Apostol . - 2a ed., [reimp.] Barcelona, [etc.] : Reverté, cop.1988
  • Browder, Andrew. Mathematical analysis : an introduction / Andrew Browder New York [etc.] : Springer, cop. 1996
  • Bombal Gordon, Fernando. Problemas de análisis matemático. Vol. 1, Espacios métricos y normados. El espacio Rn / Bombal, Rodríguez, Vera . - [2a. ed. reimp.] Madrid : AC, D.L.1993
  • Bombal Gordon, Fernando. Problemas de análisis matemático. Vol. 2, Cálculo diferencial / Bombal, R. Marín, Vera . - [1a. ed., reimp.] Madrid : AC, D.L. 1995
  • Bombal Gordon, Fernando. Problemas de análisis matemático. Vol. 3, Cálculo integral / Bombal, R. Marín, Vera . - 1a ed., 2a reimp. Madrid : AC, 1994
  • Demidovich, B.P.. 5000 problemas de análisis matemático / B. P. Demidóvich ; traducido del ruso por Emiliano Aparicio Bernardo . - 5ª ed. Madrid : Paraninfo, 1993
  • Pastor, Eduardo. Teoría y problemas de cálculo integral / Eduardo Pastor, Victor Varela . - [1a. ed.] Madrid : Crisser, D.L. 1974
  • Fleming, Wendell H.. Functions of several variables / Wendell Fleming . - 2nd. ed. New York, [etc] : Springer-Verlag, 1977

http://biblos.unizar.es/br/br_citas.php?codigo=27006&year=2020


Curso Académico: 2020/21

453 - Graduado en Matemáticas

27006 - Análisis matemático II


Información del Plan Docente

Año académico:
2020/21
Asignatura:
27006 - Análisis matemático II
Centro académico:
100 - Facultad de Ciencias
Titulación:
453 - Graduado en Matemáticas
Créditos:
15.0
Curso:
2
Periodo de impartición:
Anual
Clase de asignatura:
Obligatoria
Materia:
---

1. Información Básica

1.1. Objetivos de la asignatura

La asignatura y sus resultados previstos responden a los siguientes planteamientos y objetivos:

Se trata de una asignatura de carácter obligatorio dentro del grado.

Su temática está presente en cualquier rama de las matemáticas y en todas las ciencias naturales y sociales, de ahí su vital importancia tanto teórica como aplicada.

1.2. Contexto y sentido de la asignatura en la titulación

La asignatura está situada en el módulo "Iniciación al análisis matemático", como única en la materia "Funciones de varias variables reales". Para su seguimiento es indispensable haber cursado la asignatura "Análisis matemático I". Es una asignatura básica para poder seguir la práctica totalidad de las asignaturas del grado.

1.3. Recomendaciones para cursar la asignatura

Se recomienda haber aprobado la asignatura "Análisis matemático I"

Se recomienda la asistencia continuada a las clases teóricas, para conocer los conceptos y resultados básicos de la asignatura y su práctica en ejercicios modelo, así como a las clases de problemas en las que se ejercitarán los conocimientos adquiridos mediante la resolución de variados problemas propuestos por el profesor, y recurrir a las horas de tutoría para despejar las dudas que permanezcan.

 Así mismo, se recomienda la asistencia a las prácticas de ordenador para conocer el uso de la informática en relación con la asignatura.

2. Competencias y resultados de aprendizaje

2.1. Competencias

Al superar la asignatura, el estudiante será más competente para...

Desenvolverse en el manejo de los objetivos descritos.

Comprender y utilizar el lenguaje y métodos matemáticos. Conocer demostraciones rigurosas de los teoremas básicos de la asignatura.

Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales sencillas, utilizando las herramientas matemáticas más adecuadas a los fines que se persigan.

Poder comunicar, de forma oral y escrita, información, ideas, problemas y soluciones del ámbito matemático, a un público tanto especializado como no especializado.

Distinguir, ante un problema, lo que es sustancial de lo que es accesorio, formular conjeturas y razonar para confirmarlas o refutarlas, identificar errores en razonamientos incorrectos.

2.2. Resultados de aprendizaje

El estudiante, para superar esta asignatura, deberá demostrar los siguientes resultados...

Comprensión topológica y algebraica de Rn.

Calcular derivadas de funciones mediante la regla de la cadena, el teorema de la función implícita.

Calcular y estudiar extremos de funciones.

Saber plantear y resolver integrales de funciones de varias variables, integrales curvilíneas e integrales de superficie.

Utilizar, en aplicaciones a otros campos, los conceptos asociados a las derivadas parciales, a las integrales de línea y de superficie y a las integrales de dos o tres variables.

2.3. Importancia de los resultados de aprendizaje

Proporcionan una formación de carácter básico dentro del grado, sirviendo de apoyo a las asignaturas de la mayor parte de las materias de la titulación.

Así mismo, los conceptos y técnicas contenidos en la asignatura son la base de la modelización de numerosos problemas que se presentan en otras ciencias.

3. Evaluación

3.1. Tipo de pruebas y su valor sobre la nota final y criterios de evaluación para cada prueba

El estudiante deberá demostrar que ha alcanzado los resultados de aprendizaje previstos mediante las siguientes actividades de evaluacion

Se evaluarán todas las partes de las que consta la asignatura: teoría, problemas y prácticas de ordenador.

Se realizará evaluación a lo largo del año mediante periódicas pruebas en el aula o trabajo personal sobre cuestiones propuestas por el profesor. Esta evaluación contará entre un diez y un veinte por ciento de la nota final.

Realización de al menos dos pruebas teórico-prácticas a lo largo del curso. El primer examen parcial al final del primer cuatrimestre servirá para eliminar materia. El segundo parcial se realizará con el examen final. Caso de no haber superado el primer parcial o de querer mejorar nota, los alumnos se presentarán al examen final. En cualquier caso, será necesario aprobar ambos parciales por separado.

Así mismo, habrá examen de prácticas de ordenador en las convocatorias oficiales, para los alumnos que no hayan superado estas prácticas con su trabajo en el aula.

Sin menoscabo del derecho que, según la normativa vigente, asiste al estudiante para presentarse y, en su caso, superar la asignatura mediante la realización de una prueba global.

4. Metodología, actividades de aprendizaje, programa y recursos

4.1. Presentación metodológica general

El proceso de aprendizaje que se ha diseñado para esta asignatura se basa en lo siguiente:

Clases magistrales con conceptos y resultados teóricos y ejercicios modelo.

Clase de problemas para practicar y afianzar los conceptos y resultados teóricos adquiridos.

Problemas propuestos para trabajo personal del alumno.

Prácticas de ordenador para resolución, vía informática, de tipos de ejercicios de la asignatura.

4.2. Actividades de aprendizaje

 

En las direcciones http://www.unizar.es/analisis_matematico/docencia.html y https://moodle2.unizar.es/ está disponible más información y material.

Las actividades docentes y de evaluación se llevarán a cabo de modo presencial salvo que, debido a la situación sanitaria, las disposiciones emitidas por las autoridades competentes y por la Universidad de Zaragoza dispongan realizarlas de forma telemática.

4.3. Programa

El programa que se ofrece al estudiante para ayudarle a lograr los resultados previstos comprende las siguientes actividades...

El programa que recoge los contenidos de la asignatura es el siguiente:

1. Propiedades algebraicas y topológicas de Rn.

2. Funciones de varias variables reales. Límites y continuidad.

3. Derivadas parciales y diferenciabilidad de funciones de varias variables reales. Derivadas parciales de orden superior. Funciones de clase C(p.

4. Fórmula de Taylor. Aplicación al cálculo de extremos.

5. Teoremas de la función implícita e inversa, cambio de variable.

6. Variedades, extremos condicionados y multiplicadores de Lagrange.

7. Integración en Rn. Diferenciación bajo signo integral . Teoremas de Fubini y de cambio de variable.

8. Integración de funciones y 1-formas sobre caminos. Lema de Poincaré.

9. Integración de funciones y 2-formas sobre superficies en R3.Teoremas  de Riemann-Green, Gauss-Ostrogradski y Stokes.

4.4. Planificación de las actividades de aprendizaje y calendario de fechas clave

Calendario de sesiones presenciales y presentación de trabajos

Se impartirán seis horas semanales de clase presencial en el primer cuatrimestre y cuatro horas semanales en el segundo, según el horario que se expondrá en los tablones de alumnos y que estará incluido en la página web de la Facultad.

De estas horas habrá, al menos, dos horas semanales de clases de problemas en el primer cuatrimestre y hora y media semanales en el segundo.

Las clases prácticas de ordenador tendrán lugar durante el primer y segundo cuatrimestre.

Se realizará un examen escrito sobre la materia explicada en el primer cuatrimestre, al final del mismo.

También se realizarán exámenes finales escritos correspondientes a las convocatorias oficiales.

Todos ellos en fechas y ubicaciones programadas por el centro.

Se proporcionará más información sobre el horario, el aula, el horario de tutoría, las fechas de evaluación y otros detalles sobre este curso el primer día de clase. Puede consultarse también la página web de la Facultad de Ciencias y la plataforma  Moodle.

4.5. Bibliografía y recursos recomendados

  • Apostol, Tom M.. Análisis matemático / Tom M. Apostol . - 2a ed., [reimp.] Barcelona, [etc.] : Reverté, cop.1988
  • Browder, Andrew. Mathematical analysis : an introduction / Andrew Browder New York [etc.] : Springer, cop. 1996
  • Bombal Gordon, Fernando. Problemas de análisis matemático. Vol. 1, Espacios métricos y normados. El espacio Rn / Bombal, Rodríguez, Vera . - [2a. ed. reimp.] Madrid : AC, D.L.1993
  • Bombal Gordon, Fernando. Problemas de análisis matemático. Vol. 2, Cálculo diferencial / Bombal, R. Marín, Vera . - [1a. ed., reimp.] Madrid : AC, D.L. 1995
  • Bombal Gordon, Fernando. Problemas de análisis matemático. Vol. 3, Cálculo integral / Bombal, R. Marín, Vera . - 1a ed., 2a reimp. Madrid : AC, 1994
  • Demidovich, B.P.. 5000 problemas de análisis matemático / B. P. Demidóvich ; traducido del ruso por Emiliano Aparicio Bernardo . - 5ª ed. Madrid : Paraninfo, 1993
  • Pastor, Eduardo. Teoría y problemas de cálculo integral / Eduardo Pastor, Victor Varela . - [1a. ed.] Madrid : Crisser, D.L. 1974
  • Fleming, Wendell H.. Functions of several variables / Wendell Fleming . - 2nd. ed. New York, [etc] : Springer-Verlag, 1977

http://biblos.unizar.es/br/br_citas.php?codigo=27006&year=2020