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Academic Year/course: 2019/20

30106 - Mathematics II

Syllabus Information

Academic Year:
30106 - Mathematics II
Faculty / School:
175 - Escuela Universitaria Politécnica de La Almunia
179 - Centro Universitario de la Defensa - Zaragoza
425 - Bachelor's Degree in Industrial Organisational Engineering
457 - Bachelor's Degree in Industrial Organisational Engineering
563 - Bachelor's Degree in Industrial Organisational Engineering
Second semester
Subject Type:
Basic Education

1. General information

1.1. Aims of the course

Mathematical methods are a basic tool in Engineering. The aims of the course are precisely the knowledge of these tools, in a way that is both theoretical and applied to real problems (using mathematical software). This knowledge and techniques will serve as the basis for other subjects.

1.2. Context and importance of this course in the degree

The subject is compulsory and forms part of the basic education of the students.

It is taught in the second semester of the first course and its content is part of the basis for other subjects. The practical approach of the subject helps to achieve this objective.

The unifying character of Mathematics simplifies problems dealt with in other subjects, and makes evident the similarities in apparently different problems.

1.3. Recommendations to take this course

Students should have the knowledge and skills achieved in Mathematics I and II through the final years of high school (preferably, with curriculum in science and technology). It is recommended that students have assimilated the concepts of the module Mathematics I (30100) taught during the first semester.

To follow this course appropriately, continuous study is required. Moreover, students’ questions should be answered just as they arise, both in class or during office hours.

2. Learning goals

2.1. Competences

1: Ability to solve problems and take decisions with initiative, creativity and critical reasoning.

2: Ability to communicate knowledge and skills in Spanish.

3: Ability to continue learning and develop self-learning strategies.

4: Ability to apply Information and Communication Technologies (ICTs) within the field of engineering.

5: Ability to solve mathematical problems in Engineering. Ability to apply knowledge about Linear Algebra, Numerical Methods, Geometry and Differential Geometry.


2.2. Learning goals

At the end of this module, the student should be able to:

1: Apply the fundamental results of Linear Algebra, Analytic Geometry and Differential Geometry. Describe basic concepts such as: matrix, solution of a linear system, orthogonality, vector subspace, euclidean elements, curves and surfaces in 3-space.

2: Develop problem-solving strategies, distinguishing the most suitable method in each situation.

3: Explain the difficulties in attaining the exact solution of a problem and the necessity to apply numerical methods, determining their order of accuracy and error.

4: Use mathematical software to solve Linear Algebra problems as well as line and surface integrals.

5: Set and solve problems related to the areas above and applied to Industrial Organisational Engineering, selecting the most suitable methods and theoretical results. Moreover, students should be able to use the mathematical software proposed in no. 4 when these real problems are too complex for being solved by analytical methods.

6: Solve the problems described in no. 5 working as a team, expanding the information and methods proposed in class. Make oral presentations about the attained results, using an appropriate mathematical language and suitable computer programs.

7: Express, both orally and in writing, the basic concepts of the subject and the problem solving process, making use of scientific language.

2.3. Importance of learning goals

Students are provided with basic mathematical and procedural knowledge that will be useful for other modules in the degree such as: Physics, Computer Studies, Mechanics, Statistics, Operative Research, Economy, Electronics, Resistance of Materials… The ability to apply mathematical techniques to solve concrete problems in different fields related to Engineering constitutes a fundamental skill for an engineer/officer, as well as the use of the available sources and the appropriate interpretation of results.

3. Assessment (1st and 2nd call)

3.1. Assessment tasks (description of tasks, marking system and assessment criteria)



There will be two types of assessments:

  • Theory and practice assessment. Students are evaluated in the mathematical knowledge and the analytic and numeric skills required to solve problems, both theoretical and practical. During the semester, in a coordinated way with the other modules, different assessments will be proposed. They might cover up to 60% of the theoretical and practical content of the subject. The official assessment consists on a written exam.
  • Applied assessment. Students are evaluated in mathematical reasoning and ability to use symbolic calculus tools in applied problems. During the semester, following the contents of the subject, there will be up to 4 computer practices. Each practice will be marked by means of an individual question paper and/or the files produced by the student during the class. Passing these computer practices during the semester will exempt the student from a final evaluation test on this part of the module.

Both the Theory and Practice and the Applied assessments will be marked from 0 to 10 points. To pass the module, a minimal mark will be required in each kind of assessment. Moreover, the weighted average between the two types of assessments must be equal to or bigger than 5 points. This weighted average will give the final mark of the module and will be calculated according to the following criteria: Theory and Practice assessments will constitute at least 85% of the final mark, whereas Applied assessments will constitute up to 15% of the final mark.

If a student does not succeed in passing one of the two assessments above (Theory and Practice or Applied), he/she will be able to keep the mark of the assessment that he/she passed until the end of the course. 


Assessment criteria

In the evaluation of each assessment the following criteria will be followed:

  • Understanding of the mathematical concepts needed to solve the problems.
  • Usage of efficient strategies and procedures in their resolution.
  • Absence of mathematical errors in procedures and solutions.
  • Correct usage of terminology and notations.
  • Organized and clear exposition of ideas.
  • Correct resolution of problems. Correct usage of mathematical strategies and methods.
  • Knowledge and correct usage of mathematical software in the tests concerning Applied Assessment.
  • Correct interpretation of results.
  • Ability to select the most suitable method.
  • Clear and detailed explanations, reasoning the answers to the posed questions.
  • Results and final quality of the tests concerning Applied Assessments.
  • Quality and coordination in the exposition of results.
  • Usage of mathematical language.

4. Methodology, learning tasks, syllabus and resources

4.1. Methodological overview


The learning process designed for this subject is based on the following:

Strong interaction between the teacher/student. This interaction is brought into being through a division of work and responsibilities between the students and the teacher. Nevertheless, it must be taken into account that, to a certain degree, students can set their learning pace based on their own needs and availability, following the guidelines set by the teacher.

Matemáticas II is conceived as a stand-alone combination of contents, yet organized into two fundamental and complementary forms, which are: the theoretical concepts of each teaching unit and the solving of problems or resolution of questions, at the same time supported by other activities.


The learning process designed for this subject is based on the following activities:

Classroom learning:

  • Activities Type I. Theory and problems lectures. Both the theoretical contents, with illustrative examples, and representative problems will be presented in plenary lectures.
  • Activities Type II. Computer-lab lectures. Computer-lab classes will be conducted in computer-lab facilities of the centre. Students will become familiar with symbolic, numerical and graphic calculus using suitable mathematical software.
  • Activities Type III. Evaluation tests. During the course, the student will carry out several evaluation tests of the following types:
    • Theoretical and practical tests.
    • Computer-lab tests.

Non-classroom learning:

  • Activities Type IV. Autonomous study. 

    In order to successfully overcome this subject, it is estimated that students shall expend a minimum of 65 hours of autonomous study.

4.2. Learning tasks


The programme offered to the student to help them achieve their target results is made up of the following activities...

Involves the active participation of the student, in a way that the results achieved in the learning process are developed, not taking away from those already set out, the activities are the following:

  • Face-to-face generic activities:
    • Lectures: The theoretical concepts of the subject are explained and illustrative examples are developed as support to the theory when necessary.
    • Practice Sessions: Problems and practical cases are carried out, complementary to the theoretical concepts studied.
    • Individual Tutorials: Those carried out giving individual, personalized attention with a teacher from the department. Said tutorials may be in person or online.
  • Generic non-class activities:
    • Study and understanding of the theory taught in the lectures.
    • Understanding and assimilation of the problems and practical cases solved in the practical classes.
    • Preparation of seminars, solutions to proposed problems, etc.
    • Preparation of summaries and reports.
    • Preparation of the written tests for continuous assessment and final exams.

The subject has 6 ECTS credits, which represents 150 hours of student work in the subject during the semester, in other words, 10 hours (Lectures: 4 h.; Other Activities: 6 h.) per week for 15 weeks of class.

The overall distribution is:

  • 52 hours of lectures, with 50% theoretical demonstration and 50% solving type problems.
  • 8 hours of written assessment tests.
  • 90 hours of personal study, divided up over the 15 weeks of the semester.

There is a tutorial calendar timetable set by the teacher that can be requested by the students who want a tutorial.


The subject consists of different types of activities:

  1. Theory sessions.
  2. Problem-solving sessions.
  3. Computer-lab classes.
  4. Personalized tutoring.
  5. Autonomous study.
  6. Realization of self-evaluation activities.

4.3. Syllabus

 1.- Introduction to Octave.     
 2.- Systems of Linear Equations.
 3.- Determinants.
 4.- Numerical linear algebra.
 5.- Vector Spaces.
 6.- Orthogonality and Least Squares
 7.- The Geometry of Vector Spaces.
 8.- Diagonalization.
 9.- Singular value decomposition.
10.- Multiple integrals: double integrals.
11.- Multiple integrals: change of variables; triple integrals.
12.- Plane and space curves: curvature and torsion.
13.- Line Integrals: the fundamental theorem for line integrals; Green's theorem.
14.- Surfaces: normal vector.
15.- Surface Integrals: Stokes' theorem, Gauss' theorem.


The contents of the subject are the following:

  • Matrices, linear systems and determinants.
  • Vector spaces.
  • Euclidean spaces.
  • Linear maps.
  • Eigenvalues and eigenvectors: Diagonal form.
  • Bilinear and quadratic forms.
  • Affine space. 

4.4. Course planning and calendar

A detailed schedule will be published on the Moodle page of the subject.

The dates of the final exams will be those that are officially published on the School website.


The specific dates for the scheduled activities are made public on the Moodle platform,, in which students are enrolled at the beginning of the course.

Besides, the course schedule can be found on the website of the Centro Universitario de la Defensa:

4.5. Bibliography and recommended resources

Bibliography available in

Curso Académico: 2019/20

30106 - Matemáticas II

Información del Plan Docente

Año académico:
30106 - Matemáticas II
Centro académico:
175 - Escuela Universitaria Politécnica de La Almunia
179 - Centro Universitario de la Defensa - Zaragoza
425 - Graduado en Ingeniería de Organización Industrial
457 - Graduado en Ingeniería de Organización Industrial
563 - Graduado en Ingeniería de Organización Industrial
Periodo de impartición:
Segundo semestre
Clase de asignatura:
Formación básica

1. Información Básica

1.1. Objetivos de la asignatura

Los métodos matemáticos básicos forman parte de las numerosas herramientas con las que todos los profesionales de la Ingeniería deben contar para resolver los problemas que aparecen en su trabajo.

La asignatura Matemáticas II pertenece al módulo de formación básica para abordar la capacidad para la resolución de los problemas matemáticos que puedan plantearse en la Ingeniería, así como la aptitud para aplicar los conocimientos sobre: álgebra lineal y geometría y sus métodos numéricos.

Matemáticas II es una asignatura de carácter obligatorio de 6 créditos ECTS y se encuentra en el segundo cuatrimestre de primer curso.

1.2. Contexto y sentido de la asignatura en la titulación

La asignatura Matemáticas II se imparte durante el segundo semestre del primer curso del Grado en Ingeniería de Organización Industrial.

La asignatura pretende capacitar al alumno para el seguimiento de otras asignaturas de carácter científico del plan de estudios que tienen las matemáticas, y más concretamente el álgebra, como herramienta básica. Los contenidos que se tratarán en la asignatura tienen gran aplicación práctica en otras disciplinas de la titulación como la física, la estadística, la investigación operativa, el dibujo, la informática, la mecánica, la economía o la logística. El lenguaje, el pensamiento crítico y el modo de razonar que proporcionan las matemáticas, facilitará al alumno la comprensión de dichas asignaturas.

1.3. Recomendaciones para cursar la asignatura

El perfil recomendable para cursar la asignatura Matemáticas II es poseer los conocimientos y destrezas adquiridos en las asignaturas Matemáticas I y II de Bachillerato, preferiblemente de orientación científico-tecnológica. Sería aconsejable haber asimilado además los conceptos contenidos en la asignatura Matemáticas I (30100) impartida en el semestre anterior.

Para seguir de un modo correcto esta asignatura es también necesario tener una buena disposición para realizar un trabajo y esfuerzo continuado desde el inicio del curso. Es además aconsejable que el alumno resuelva sus dudas a medida que vayan surgiendo, tanto en el aula como haciendo uso de las tutorías y medios que el profesor pone a su a disposición

2. Competencias y resultados de aprendizaje

2.1. Competencias

1: Resolver problemas y tomar decisiones con iniciativa, creatividad y razonamiento crítico.

2: Comunicar y transmitir conocimientos, habilidades y destrezas en castellano.

3: Aprender de forma continuada y desarrollar estrategias de aprendizaje autónomo.

4: Aplicar las tecnologías de la información y de las comunicaciones en la Ingeniería.

5: Resolver los problemas matemáticos que puedan plantearse en la Ingeniería. Aptitud para aplicar los conocimientos sobre: Álgebra Lineal y sus Métodos Numéricos, Geometría y Geometría diferencial.

2.2. Resultados de aprendizaje

1: Sabe aplicar los resultados fundamentales del Álgebra Lineal, la Geometría Analítica y la Geometría Diferencial. Es además capaz de describir conceptos básicos como el de matriz, solución de un sistema lineal, ortogonalidad y subespacio vectorial, elementos euclídeos, curvas y superficies en el espacio y las integrales asociadas a ellas.

2: Desarrolla y experimenta estrategias de resolución de problemas y distingue el método más adecuado en cada situación.

3: Es capaz de razonar la dificultad de resolver un problema de forma exacta y la necesidad de recurrir a la aplicación de métodos de aproximación numérica para su resolución, determinando el grado de precisión y el error cometido.

4: Sabe utilizar algún software matemático en sus aplicaciones al Álgebra Lineal e Integrales de línea y superficie.

5: Es capaz de plantear y resolver con rigor problemas de las áreas anteriores aplicados a la Ingeniería de Organización Industrial, seleccionando de forma crítica los métodos y resultados teóricos más adecuados, y ante la complejidad de la resolución de estos problemas reales de modo analítico es capaz de resolverlos con el software matemático propuesto en el apartado 4.

6: Es capaz de resolver, trabajando en equipo, los problemas del apartado 5, ampliando la información y los métodos propuestos en el aula. Es además capaz de realizar presentaciones orales de los resultados obtenidos, usando el lenguaje matemático adecuado y los programas informáticos más convenientes.

7: Es capaz de expresar tanto de forma oral como escrita y utilizando el lenguaje científico, los conceptos básicos de la asignatura así como el proceso de resolución de problemas.

2.3. Importancia de los resultados de aprendizaje

Los resultados de aprendizaje que se obtienen son importantes porque proporcionan a los estudiantes los conocimientos matemáticos y procedimentales que se encuentran en la base de otras asignaturas de carácter científico-tecnológico del Grado, como, por ejemplo, las asignaturas de Física, Informática, Mecánica, Estadística, Investigación Operativa, Economía, Electrónica, Resistencia de Materiales... La capacidad para aplicar técnicas matemáticas a la resolución de problemas concretos de los distintos campos relacionados con la ingeniería, resulta una competencia fundamental de un ingeniero/oficial, así como la utilización de recursos ya existentes y la interpretación de los resultados obtenidos.

3. Evaluación

3.1. Tipo de pruebas y su valor sobre la nota final y criterios de evaluación para cada prueba


El estudiante deberá demostrar que ha alcanzado los resultados de aprendizaje previstos mediante las siguientes actividades de evaluación:

Pruebas escritas: A lo largo del curso se realizarán dos pruebas escritas. Versarán sobre aspectos teóricos y/o prácticos de la asignatura. Están relacionadas con los resultados de aprendizaje 1, 2, 3, 4, 5 y 7. Su peso en la nota final sera de un 80%.

Controles participativos: Para evaluar la participación de los alumnos en clase se llevarán a cabo controles periódicos en clase. Como mínimo se realizarán 4 controles que consistirán en la realización de ejercicios de tipo práctico. Los resultados de aprendizaje con los que están relacionados son el 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Su peso total en la nota final será del 20%.

Prueba global: Los alumnos que no hayan superado la asignatura con el sistema de calificación continuada, deberán realizar en las convocatorias oficiales una prueba escrita de carácter obligatorio equivalente a las pruebas escritas descritas anteriormente, cuyo peso en la nota final será del 100%.

Criterios de evaluación: Los criterios de evaluación son los mismos para todas las actividades de evaluación. Se evaluará:

  • el entendimiento de los conceptos matemáticos usados para resolver los problemas;
  • el uso de estrategias y procedimientos eficientes en su resolución;
  • explicaciones claras y detalladas;
  • la ausencia de errores matemáticos en el desarrollo y las soluciones;
  • uso correcto de la terminología y notación;
  • exposición ordenada, clara y organizada.

Durante el curso se concretarán (en función del calendario real) y publicarán en la plataforma Moodle las fechas de las pruebas escritas, controles, etc. El calendario de las pruebas globales de evaluación se publica en la página web de la Escuela.



La evaluación de la asignatura se realizará mediante pruebas de los siguientes tipos:

  • Pruebas Teórico-Prácticas. Evalúan la capacidad de razonamiento matemático, desarrollo analítico y numérico en problemas de carácter teórico-práctico. Durante el cuatrimestre, y de manera coordinada con el resto de asignaturas del curso, se realizarán pruebas de evaluación continua que podrán llegar a cubrir hasta el 60% de los contenidos teórico-prácticos de la asignatura. En la convocatoria oficial se realizará una prueba escrita de evaluación.


  • Pruebas Aplicadas. Evalúan la capacidad de razonamiento matemático y destreza en el uso de herramientas de cálculo simbólico, numérico y gráfico en problemas de carácter aplicado. Durante el cuatrimestre se realizarán, siguiendo la presentación de contenidos de la asignatura, hasta 4 prácticas en los laboratorios de informática del centro. La evaluación de cada práctica se realizará mediante cuestionarios escritos de carácter individual y/o la recolección de los ficheros de trabajo desarrollados durante la sesión. La superación de estas sesiones prácticas durante el cuatrimestre eximirá, al alumno interesado en ello, de realizar una prueba de evaluación final de esta parte de la asignatura.

Tanto la parte de Pruebas Teórico-Prácticas como la parte de Pruebas Aplicadas se puntuarán de 0 a 10 puntos. Para superar la asignatura será necesario tener una puntuación mínima en cada una de las partes, así como obtener una media ponderada entre los dos tipos de pruebas igual o superior a 5 puntos. Esta media ponderada constituirá la calificación final de la asignatura y se calculará siguiendo estas pautas: la calificación de las Pruebas Teórico-Prácticas corresponderá como mínimo al 85% de la calificación final mientras que la calificación de las Pruebas Aplicadas no superará el 15% de la calificación final.

En los casos en los que la asignatura no se apruebe por no haber superado alguno de los dos tipos de pruebas (Teórico-Prácticas o Aplicadas), se conservará la calificación de la parte superada durante el resto de convocatorias del curso académico.

Criterios de evaluación.

En la evaluación de cada prueba se seguirán los siguientes criterios:

  • El entendimiento de los conceptos matemáticos usados para resolver los problemas.

  • El uso de estrategias y procedimientos eficientes en su resolución.
  • La ausencia de errores matemáticos en el desarrollo y las soluciones.
  • Uso correcto de la terminología y notación.
  • Exposición ordenada, clara y organizada.
  • La correcta resolución de los problemas y los métodos y estrategias matemáticas empleadas.
  • El dominio y uso correcto de los comandos del software matemático necesarios para resolver las pruebas prácticas.
  • La correcta interpretación de los resultados obtenidos.

  • La capacidad para seleccionar el método más apropiado.

  • Explicaciones y/o razonamientos claros y detallados a las preguntas realizadas.
  • El resultado y calidad final de la prueba aplicada.

  • La calidad y coordinación en la exposición de la misma.
  • El lenguaje matemático utilizado.

4. Metodología, actividades de aprendizaje, programa y recursos

4.1. Presentación metodológica general


La metodología que se propone trata de fomentar el trabajo continuado del estudiante y se centra en los aspectos más prácticos del cálculo diferencial e integral. Con el fin de conseguir este objetivo se fomentará  el uso de herramientas de tipo informático. Las explicaciones teóricas de los conceptos de la asignatura serán reforzadas con ejemplos o casos prácticos analizados con el ordenador. Asimismo se realizarán tutorías (presenciales, vía correo electrónico y plataforma Moodle) con el fin de reforzar los conceptos desarrollados en las clases.

En todas las aplicaciones de la informática a la materia bajo estudio se usa sólo software de libre distribución, de manera que todos los alumnos puedan acceder a él tanto dentro como fuera del centro.



El proceso de aprendizaje que se ha diseñado para esta asignatura se basa en lo siguiente:

Clases presenciales:

  • Actividades tipo I. Clases magistrales (teoría y problemas).

Se utilizará la lección magistral en la que se presentarán los contenidos teóricos acompañados de ejemplos ilustrativos y la resolución de problemas sin que haya una separación explícita entre ambas.

  • Actividades tipo II. Prácticas aplicadas.

Se realizarán sesiones prácticas que se impartirán en los laboratorios de informática del centro. Se utilizará un software matemático adecuado, que permita al alumno familiarizarse con el cálculo simbólico, numérico y gráfico, facilitando la comprensión de los resultados de aprendizaje propuestos.

  • Actividades tipo III. Realización de exámenes y pruebas.

A lo largo del semestre el alumno deberá realizar varias pruebas evaluativas de los siguientes tipos:

        • Pruebas Teórico-Prácticas.
        • Pruebas Aplicadas.

Clases no presenciales:

  • Actividades tipo IV. Estudio personal del alumno.

Se estima que el alumno deberá dedicar un mínimo de 65 horas al trabajo personal de la asignatura si quiere obtener el rendimiento adecuado.

4.2. Actividades de aprendizaje


Clases teóricas, en las que se exponen los conceptos fundamentales que constituyen el cuerpo de conocimientos básicos que deben aprenderse para conseguir los resultados de aprendizaje. Los conceptos teóricos se complementan con ejemplos detallados que ilustran su funcionamiento dentro de un contexto concreto.

Clases prácticas, en las que se proponen problemas que deberán resolverse empleando los métodos y conceptos considerados con anterioridad. En estas clases se fomenta la discusión, la participación, la cooperación y la reflexión. El uso del paquete informático adecuado a cada situación es permanente (Maxima para cálculo simbólico, Octave para cálculo numérico), de manera que las clases de problemas son a su vez clases de prácticas con el ordenador. Así, el uso del ordenador se enfoca de forma natural como el método de cálculo más conveniente, y quedan integradas las técnicas informáticas con las técnicas abstractas.

Controles de participación, que son clases de problemas y sesiones de evaluación a la vez. Mientras los alumnos resuelven un problema propuesto, se puede evaluar su implicación y colaboración además del resultado que obtienen. Esto sirve como motivación para que trabajen el problema de forma colectiva y con el profesor, facilitando la asimilación de conceptos que se persigue.

Trabajo personal, en el que los alumnos dedican tiempo fuera de clase para estudiar los conceptos impartidos en clase, resolver problemas análogos y/o complementarios a los considerados en clase.



  • Clases teóricas que permiten transmitir conocimientos al alumno, donde se exponen las bases necesarias para conseguir los resultados de aprendizaje. En dichas clases se propicia la participación de los alumnos en el aprendizaje.
  • Clases de problemas en las que se combina la resolución de problemas en la pizarra por parte del profesor con el trabajo de los alumnos para concluir con la exposición oral de los resultados obtenidos.
  • Clases de prácticas de ordenador impartidas en los laboratorios de informática, utilizando un software matemático adecuado para los objetivos del curso.
  • Atención personalizada en tutorías tanto en grupos reducidos como de modo individual.
  • Estudio y trabajo personal continuado por parte del alumno desde el inicio del curso.
  • Autoevaluaciones de cada uno de los temas a través de la plataforma Moodle. Estas autoevaluaciones presentan una selección de problemas de dificultad creciente a los que los alumnos deben hacer frente de manera autónoma. En un plazo razonable se distribuye la solución a través de Moodle para que cada alumno pueda autoevaluarse y comprobar su estado frente a la asignatura. 

4.3. Programa


Introducción a Octave.     

  1. Sistemas lineales: operaciones elementales; eliminación gaussiana y rango de una matriz; teorema de caracterización de los sistemas lineales (Rouché-Frobenius).
  2. Determinantes.
  3. Álgebra Lineal Numérica: eliminación gaussiana numérica, número de condición; descomposiciones LU, QR y Choleski; métodos iterativos.
  4. Espacios vectoriales: independencia lineal, dimensión y base; subespacios.
  5. Aproximación óptima: producto escalar; distancias, ángulos y ortogonalidad; sistemas y subespacios ortogonales; proyectores y teorema de aproximación óptima.
  6. Aplicación a la geometría tridimensional euclídea: espacio afín; distancias, producto escalar, producto vectorial, producto mixto; elementos euclídeos: Rectas, planos, esferas.
  7. Diagonalización: valores y vectores propios; descomposición espectral y funciones de matrices; matrices normales; cálculo numérico de autovalores.
  8. Valores singulares: descomposición en valores singulares.
  9. Integrales múltiples: integrales dobles.
  10. Integrales múltiples: cambio de variables; integrales triples.
  11. Curvas: curvas tridimensionales, vector tangente, triedro de Frenet; curvatura y torsión.
  12. Integral de línea: campos vectoriales; integral de línea; independencia del camino; trabajo y energía; teorema de Green.
  13. Superficies: definición de superficie, ejemplos; el plano tangente y el vector normal.
  14. Integral de superficie: integrales de superficie; teorema de Stokes, teorema de Gauss.



El contenido del curso se puede desglosar como sigue:

  • Matrices, sistemas de ecuaciones lineales y determinantes.
  • Espacios vectoriales.
  • Espacios euclídeos.
  • Aplicaciones lineales.
  • Vectores y valores propios. Diagonalización.
  • Formas bilineales.
  • Espacio afín euclídeo.

4.4. Planificación de las actividades de aprendizaje y calendario de fechas clave

Se puede consultar la página web de los centros para obtener información acerca de:

- calendario académico (periodo de clases y periodos no lectivos, festividades, periodo de exámenes),

- horarios y aulas,

- fechas en las que tendrán lugar los exámenes de las convocatorias oficiales de la asignatura.

Además el profesor informará con la suficiente antelación de las fechas de realización de las distintas pruebas asociadas al sistema de evaluación continua. Estas fechas se fijarán con antelación por el profesor, y pueden modificarse con previo aviso si el desarrollo del calendario así lo exige.



La asignatura se articula con 4 horas de clase presencial a la semana durante las 15 semanas que dura el semestre. Cada uno de los 15 puntos  del programa (citados anteriormente) se corresponden aproximadamente con la materia desarrollada en una semana.

Un calendario detallado de actividades está a disposición del alumno a través de la página Moodle de la asignatura.



Las fechas concretas de cada una de las sesiones correspondientes a las actividades programadas se hacen públicas en la plataforma Moodle, de modo que los alumnos pueden consultarlas identificándose con su usuario y contraseña en la dirección

También se puede encontrar la información de calendarios y horarios en la página web del Centro Universitario de la Defensa:


4.5. Bibliografía y recursos recomendados

Bibliografía disponible en: