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Academic Year/course: 2019/20

424 - Bachelor's Degree in Mechatronic Engineering

28810 - Mathematics III

Syllabus Information

Academic Year:
28810 - Mathematics III
Faculty / School:
175 - Escuela Universitaria Politécnica de La Almunia
424 - Bachelor's Degree in Mechatronic Engineering
First semester
Subject Type:
Basic Education

1. General information

1.1. Aims of the course

Differential equations are a key element of modern mathematics. They constitute a solid ground for analysis, modeling and problem solving in diverse fields such as Engineering, Physical Sciences, Economics or Business.

An outstanding learning goal of the course is the mastery of practical and theoretical techniques which can be directly applied to realistic problem solving, using efficient and reliable computational software tools. It is therefore of utmost importance in the training of an engineer/officer to acquire this course's learning goals.

This course belongs to the basic education module. It addresses the ability to solve mathematical problems which can arise in Engineering. The basic education module provides working knowledge of linear algebra, geometry, differential geometry, differential and integral calculus, ordinary and partial differential equations, numerical methods and algorithms, statistics and optimization. All these subjects are covered by the courses Mathematics I, Mathematics II, Mathematics III and Statistics.

Mathematics III is a 6 ECTS credit compulsory course to be taken in the first semester, second year of the degree.

1.2. Context and importance of this course in the degree

The Mathematics III course is taken during the first semester of the second year of the Bachelor's Degree in Mechatronic Engineering.

This course aims to entitle students to pursue another scientific courses featuring mathematics, and prominently differential equations, as basic background. The topics covered in this course have direct applications in Physics, Mechanics, Electronics, Statistics and Economy. The language, critical thinking and reasoning which are inherent to Mathematics will help the students to understand the aforementioned courses.

1.3. Recommendations to take this course

The recommended profile to take Mathematics III is to possess the knowledge and skills acquired in previous subjects of the degree as Mathematics I and II.

In order to follow this subject correctly, it is also necessary to have a willingness to carry out a continuous work and effort from the beginning of the course. It is also advisable for students to resolve its doubts as they arise using classroom, tutorials as well as resources that the teachers make available.

2. Learning goals

2.1. Competences

In passing this subject, the student will be compentent in:

  • GI03 - Knowledge of basic technological areas leading to learning new methods and theories, and providing the versatility needed to adapt oneself to new environments.
  • GI04 - Ability to solve problems and take decisions with initiative, creativity and critical reasoning. Ability to communicate and transmit knowledge and skills in engineering.
  • GC02 - Ability to interpret experimental data, compare them with theoretical models and draw conclusions.
  • GC03 - Ability to use abstraction and logical reasoning.
  • GC04 - Ability to continue learning and develop self-learning strategies.
  • GC05 - Ability to evaluate alternatives.
  • GC07 - Ability to lead a team as well as being a committed team member.
  • GC08 - Ability to locate, comprehend and assess technical information.
  • GC10 - Ability to prepare technical documentation and presentations with the help of appropriate software tools.
  • GC11 - Ability to communicate thoughts and designs in a clear manner to specialist and non-specialist audience.
  • EB01 - Ability to solve mathematical problems in engineering. Ability to apply knowledge about differential equations, integral and discrete transforms, and related numerical methods and algorithmics.

2.2. Learning goals

The student, in order to pass this subject, will have to achieve the following goals…

  1. He/she knows how to apply the main results about ODEs and PDEs as well as the numerical methods solving problems from the aforementioned disciplines.
  2. He/she develops and experiments problem solving strategies and is able to distinguish the most appropriate method in each case.
  3. He/she is able to reason the difficulty of solving a problem in an exact way and the necessity to apply numerical approximation methods to solve it, determining the degree of precision and the error made.
  4. He/she knows how to use a symbolic calculator applied to ODEs and PDEs, integral and discrete transforms.
  5. He/she is able to pose and rigorously solve problems in the previous areas applied to Mechatronic Engineering, choosing the most appropriate methods and theoretical results and, in the view of the complexity of solving these real problems analytically, he/she is able to solve them using the software from point 4.
  6. He/she is able to solve, working in team, the problems from point 5 widening the information and the methods presented during the classes. He/she is, in addition, able to perform oral presentations of the obtained results using the appropriate mathematical language and the more convenient software.
  7. He/she is able to express, both in oral and written form, and using scientific language, the basic facts of the subject and the process of problem solving.

2.3. Importance of learning goals

The obtained learning outcomes are important because they provide the students mathematical and procedural knowledge. These are in the basis of other scientific and technological subjects of the degree like, for instance, Physics, Mechanics, Operations research, Economics, Electronics, and Materials resistance. The ability to apply mathematical techniques to solve specific problems of different engineering-related fields is a core competence of an engineer, as well as how to use available resources and how to interpret the solutions.

3. Assessment (1st and 2nd call)

4. Methodology, learning tasks, syllabus and resources

4.1. Methodological overview

The learning process designed for this subject is based on the following:

Strong interaction between the teacher/student. This interaction is brought into being through a division of work and responsibilities between the students and the teacher. Nevertheless, it must be taken into account that, to a certain degree, students can set their learning pace based on their own needs and availability, following the guidelines set by the teacher.

The current subject is conceived as a stand-alone combination of contents, yet organized into three fundamental and complementary forms, which are: the theoretical concepts of each teaching unit, the solving of problems or resolution of questions, at the same time supported by other activities.

The organization of teaching will be carried out using the following steps:

  • Lectures: Theoretical activities carried out mainly through exposition by the teacher, where the theoretical supports of the subject are displayed, highlighting the fundamental, structuring them in topics and or sections, interrelating them.
  • Practice Sessions: The teacher resolves practical problems or cases for demonstrative purposes. This type of teaching complements the theory shown in the lectures with practical aspects.
  • Individual Tutorials: Those carried out giving individual, personalized attention with a teacher from the department. Said tutorials may be in person or online.

4.2. Learning tasks

The course includes the following learning tasks: 

Involves the active participation of the student, in a way that the results achieved in the learning process are developed, not taking away from those already set out, the activities are the following:

  • Face-to-face generic activities:
    • Lectures: The theoretical concepts of the subject are explained and illustrative examples are developed as a support to the theory when necessary.
    • Practice Sessions: Problems and practical cases are carried out, complementary to the theoretical concepts studied.
  • Generic non-class activities:
    • Study and understanding of the theory taught in the lectures.
    • Understanding and assimilation of the problems and practical cases solved in the practical classes.
    • Preparation of seminars, solutions to proposed problems, etc.
    • Preparation of the written tests for continuous assessment and final exams.

The subject has 6 ECTS credits, which represents 150 hours of student work in the subject during the trimester, in other words, 10 hours per week for 15 weeks of class.

4.3. Syllabus

The course will address the following topics: 

  1. Ordinary Differential Equations: basic concepts, existence and uniqueness.
  2. Analytic solvability.
  3. Qualitative aspects: fixed points and linear stability.
  4. Numerical methods: Euler, Runge–Kutta.
  5. Higher orden ODE: Oscillators; resonance. Beam stability.
  6. Higher order numerical methods (FDM y FEM).
  7. Introduction to Partial Differential Equations: separation of variables; vibrations.
  8. Laplace Transform.
  9. Laplace Transform Applications.
  10. Discrete-time systems.
  11. The Z Transform.
  12. Z Transform Applications.
  13. Fourier Series and Fourier Transform.
  14. Applications of Fourier Series and Transforms.
  15. Discrete Time Fourier Transform: FFT and Applications.

4.4. Course planning and calendar

The dates of the final exams will be those that are officially published at

Week Theme Topic Tests Weight Content
1 1 ODE: Introduction, 1st order      
2   Linear equation, Systems 1st test 5 ODE 1st order
3   Linear stability      
4   Numerical Methods      
5 2 2nd order ODE      
6   Oscillators, resonance 2nd test 5 Oscillators
7   Beam Stability      
8     1st Exam 40 ODE, Oscillators
9 3 Signals and systems      
10   Laplace Transform      
11   Applications 3rd test 5 Laplace Transf.
12   Z Transform      
13 4 Fourier Series and Transform 4th test 5 Z/Fourier Transf.
14 5 PDE: Introduction      
15   Separation of variables 2nd Exam 40 Systems, PDE


4.5. Bibliography and recommended resources

Main resources

  • Subject presentations (available in the subject's Moodle webpage)
  • Problem sheets (available in the subject's Moodle webpage)
  • Symbolic calculus tool Maxima


Curso Académico: 2019/20

424 - Graduado en Ingeniería Mecatrónica

28810 - Matemáticas III

Información del Plan Docente

Año académico:
28810 - Matemáticas III
Centro académico:
175 - Escuela Universitaria Politécnica de La Almunia
424 - Graduado en Ingeniería Mecatrónica
Periodo de impartición:
Primer semestre
Clase de asignatura:
Formación básica

1. Información Básica

1.1. Objetivos de la asignatura

La asignatura y sus resultados previstos responden a los siguientes planteamientos y objetivos:

Los métodos matemáticos básicos forman parte de las numerosas herramientas con las que todos los profesionales de la Ingeniería deben contar para resolver los problemas que aparecen en su trabajo. Entre los resultados de aprendizaje figuran precisamente el dominio de técnicas no sólo teóricas, sino también prácticas, que permiten la aplicación directa de los métodos considerados en la asignatura a problemas reales, con métodos de cálculo realistas que se incorporan en paquetes de software eficaces y contrastados.  Es por tanto fundamental en la correcta formación de un ingeniero obtener los resultados de aprendizaje que abarca esta asignatura. El objetivo final es que el alumno integre los conocimientos básicos de esta asignatura en todo tipo de aspectos relacionados con la ingeniería mecatrónica, de manera que sirvan de base para otras materias y a su vez adquiera unas técnicas que le permitan su desarrollo profesional.

1.2. Contexto y sentido de la asignatura en la titulación

La asignatura es obligatoria y forma parte de la formación básica de los estudiantes. Se imparte en el primer semestre del segundo curso del plan de estudios del Grado de Ingeniería Mecatrónica, lo que supone que el estudiante va a adquirir unos resultados de aprendizaje que le proporciona destrezas en herramientas que serán de utilidad en distintas asignaturas de cursos posteriores. El énfasis se pone en los conceptos que tienen aplicación directa en Física, Mecánica, Electrónica, Estadística, Economía, etc. En muchas ocasiones el enfoque unificador de las Matemáticas simplifica los problemas que se tratan en otras materias, y hace evidentes las semejanzas en problemas aparentemente distintos que pueden ayudar en la solución.

1.3. Recomendaciones para cursar la asignatura

Se trata de una asignatura de carácter básico que representa la continuación natural de las  Matemáticas I y II cursadas en la titulación.  Las ecuaciones diferenciales, bien ordinarias o parciales, y las transformadas, continuas o discretas, suponen la culminación natural de las materias análogas previamente consideradas.

2. Competencias y resultados de aprendizaje

2.1. Competencias

Al superar la asignatura, el estudiante será más competente para…

  • GI03: Conocimientos en materias básicas y tecnológicas, que les capacite para el aprendizaje de nuevos métodos y teorías, y les dote de versatilidad para adaptarse a nuevas situaciones.

  • GI04: Capacidad de resolver problemas con iniciativa, toma de decisiones, creatividad, razonamiento crítico y de comunicar y transmitir conocimientos, habilidades y destrezas en el campo de la Ingeniería Mecatrónica.

  • GC02: Interpretar datos experimentales, contrastarlos con los teóricos y extraer conclusiones.

  • GC03: Capacidad para la abstracción y el razonamiento lógico.

  • GC04: Capacidad para aprender de forma continuada, autodirigida y autónoma.

  • GC05: Capacidad para evaluar alternativas.

  • GC07: Capacidad para liderar un equipo así como de ser un miembro comprometido del mismo.

  • GC08: Capacidad para localizar información técnica, así como su comprensión y valoración.

  • GC10: Capacidad para redactar documentación técnica y para presentarla con ayuda de herramientas informáticas adecuadas.

  • GC11: Capacidad para comunicar sus razonamientos y diseños de modo claro a públicos especializados y no especializados.

  • EB01: Capacidad para la resolución de los problemas matemáticos que puedan plantearse en la ingeniería. Aptitud para aplicar los conocimientos sobre: ecuaciones diferenciales y transformadas integrales y discretas; métodos numéricos relacionados con esas materias.

2.2. Resultados de aprendizaje

El estudiante, para superar esta asignatura, deberá demostrar los siguientes resultados…

  • Sabe aplicar los resultados fundamentales de las ecuaciones diferenciales y las transformadas integrales y discretas.
  • Desarrolla y experimenta estrategias de resolución de problemas y distingue el método más adecuado en cada situación.
  • Es capaz de razonar la dificultad de resolver un problema de forma exacta y la necesidad de recurrir a la aplicación de métodos de aproximación numérica para su resolución, determinando el grado de precisión y el error cometido.
  • Sabe utilizar algún software matemático en sus aplicaciones a las ecuaciones diferenciales y las transformadas integrales y discretas.
  • Es capaz de plantear y resolver con rigor problemas de las áreas anteriores aplicados a la Ingeniería Mecatrónica, seleccionando de forma crítica los métodos y resultados teóricos más adecuados, y ante la complejidad de la resolución de estos problemas reales de modo analítico es capaz de resolverlos con el software matemático propuesto en el apartado 4.
  • Es capaz de resolver, trabajando en equipo, los problemas del apartado 5, ampliando la información y los métodos propuestos en el aula. Es además capaz de realizar presentaciones orales de los resultados obtenidos, usando el lenguaje matemático adecuado y los programas informáticos convenientes.
  • Es capaz de expresar tanto de forma oral como escrita y utilizando el lenguaje científico, los conceptos básicos de la asignatura así como el proceso de resolución de problemas.

2.3. Importancia de los resultados de aprendizaje

Los resultados de aprendizaje de la asignatura se plasman en la resolución de problemas matemáticos que pueden plantearse en la ingeniería mecatrónica, en el conocimiento del uso reflexivo de herramientas de cálculo simbólico y numérico, en la utilización de métodos numéricos en la resolución de algunos problemas matemáticos. Proporcionan a los estudiantes los conocimientos matemáticos y procedimentales que se encuentran en la base de otras asignaturas de carácter científico-tecnológico del Grado, como, por ejemplo, las asignaturas de Física, Mecánica, Estadística, Economía o Electrónica. La capacidad para aplicar técnicas matemáticas a la resolución de problemas concretos de los distintos campos relacionados con la ingeniería, resulta una competencia fundamental de un ingeniero, así como la utilización de recursos ya existentes y la interpretación de los resultados obtenidos.

3. Evaluación

3.1. Tipo de pruebas y su valor sobre la nota final y criterios de evaluación para cada prueba

El estudiante deberá demostrar que ha alcanzado los resultados de aprendizaje previstos mediante las siguientes actividades de evaluación:

  • Sistema de evaluación continua:
    • Pruebas escritas: A lo largo del curso se realizarán dos pruebas escritas. Versarán sobre aspectos teóricos y/o prácticos de la asignatura. Están relacionadas con los resultados de aprendizaje 1, 2, 3, 4 y 7. Su peso en la nota final será de un 80 %.

      En estas pruebas se evaluará:

      • El entendimiento de los conceptos matemáticos y estadísticos usados para resolver los problemas.
      • El uso de estrategias y procedimientos en su resolución.
      • Explicaciones claras y detalladas.
      • Uso correcto de la terminología y notación.
      • Exposición ordenada, clara y organizada.

      Para poder optar por la modalidad de evaluación continua, es necesario asistir al menos a un 80% de las actividades presenciales de la asignatura.

    • Controles participativos: A lo largo del curso el alumno realizara 4 controles de tipo participativo valorados en un 20% de la nota final, que consistirán en la realización de ejercicios de tipo práctico o cuestionarios evaluativos programados a través de la plataforma virtual Moodle. Los resultados de aprendizaje con los que estan relacionados son el 1, 2, 3, 4 y 7.

      En estas pruebas se evaluará:

      • El entendimiento de los conceptos matemáticos y estadísticos usados para resolver los problemas.
      • El uso de estrategias y procedimientos en su resolución.
      • Explicaciones claras y detalladas.
      • Uso correcto de la terminología y notación.
      • Exposición ordenada, clara y organizada.
  • Evaluación global

    Los alumnos que no hayan superado la asignatura con el sistema de calificación continuada, deberán realizar en las convocatorias oficiales una prueba escrita de carácter obligatorio equivalente a las pruebas escritas descritas en el punto 1, cuyo peso en la nota final será del 100%.

    Los criterios de evaluación serán los descritos en los apartados anteriores.

4. Metodología, actividades de aprendizaje, programa y recursos

4.1. Presentación metodológica general

El proceso de aprendizaje que se ha diseñado para esta asignatura se basa en lo siguiente:

La metodología que se propone trata de fomentar el trabajo continuado del estudiante y se centra en los aspectos más prácticos de las ecuaciones diferenciales y las transformadas discretas y continuas. Con el fin de conseguir este objetivo se fomentará el uso de herramientas de tipo informático. Las explicaciones teóricas de los conceptos de la asignatura serán reforzadas con ejemplos o casos prácticos analizados con el ordenador. Asimismo  se realizarán tutorías con el fin de reforzar los conceptos desarrollados en las clases.

4.2. Actividades de aprendizaje

El programa que se ofrece al estudiante para ayudarle a lograr los resultados previstos comprende las siguientes actividades…

La asignatura se articula con 4 horas de clase presencial a la semana durante las 15 semanas que dura el cuatrimestre. Todas las horas se imparten en el aula de informática, donde se consideran conceptos teóricos que son reforzados con el trabajo práctico mediante el uso de programas de cálculo simbólico y numérico.

Trabajo personal: 90 horas

4.3. Programa

El programa de la asignatura:

  1. Ecuaciones diferenciales ordinarias: conceptos básicos, existencia y unicidad.
  2. Resolubilidad analítica.
  3. Estudios cualitativos: puntos fijos y estabilidad lineal.
  4. Métodos numéricos: Euler y Runge–Kutta.
  5. EDO de orden mayor que uno: Osciladores; resonancia. Estabilidad de vigas.
  6. Métodos numéricos para EDO de orden dos y superior: PVI y PVF (MDF y MEF).
  7. Introducción a las EDP: separación de variables; vibraciones.
  8. Transformada de Laplace.
  9. Aplicaciones de la transformada de Laplace.
  10. Sistemas en tiempo discreto.
  11. La transformada z.
  12. Aplicaciones de la transformada z.
  13. Series y transformada de Fourier.
  14. Aplicaciones de las series y transformada de Fourier.
  15. Transformada de Fourier en tiempo discreto: FFT y aplicaciones.

4.4. Planificación de las actividades de aprendizaje y calendario de fechas clave

Calendario de sesiones presenciales y presentación de trabajos

Las fechas de los exámenes finales se publicarán oficialmente en

Los contenidos de la asignatura, los hitos evaluatorios y su distribución por semanas será aproximadamente como sigue:

Semana Tema Contenidos Hitos evaluatorios Pesos Contenido
1 1 EDO: Introducción, 1er orden      
2   Ecuación lineal, Sistemas 1er control 5 EDO 1er orden
3   Estabilidad lineal      
4   Métodos numéricos      
5 2 EDO 2º orden      
6   Osciladores, resonancia 2º control 5 Osciladores
7   Estabilidad de vigas      
8     1ª prueba escrita 40 EDO, Osciladores
9 3 Señales y sistemas      
10   La transformada de Laplace      
11   Aplicaciones 3er control 5 Transf. Laplace
12   La transformada Z      
13 4 Series y transformada de Fourier 4º control 5 Transf.Z/Fourier
14 5 EDP: Introducción      
15   Separación de variables 2ª prueba escrita 40 Sistemas, EDP


La impartición de las clases se realizará a lo largo de las 15 semanas docentes. Se impartirán conceptos teóricos que serán reforzados con la aplicación práctica en resolución de ejercicios y análisis de resultados mediante el uso permanente de herramientas de tipo informático. Se realizarán dos pruebas escritas sobre la materia de la asignatura a lo largo del curso. Además, se realizará un trabajo en grupo sobre dicha materia. El trabajo continuado en el aula también será evaluado con la realización de 4 controles de tipo participativo, consistentes en la resolución de ejercicios de tipo práctico.
Durante el curso se concretarán (en función del calendario real) y publicarán (en la plataforma Moodle) con suficiente antelación  las fechas concretas de las actividades de la asignatura.

4.5. Bibliografía y recursos recomendados

Recursos principales

  • Transparencias de la asignatura (disponibles en la página Moodle de la asignatura)
  • Hojas de problemas (disponibles en la página Moodle de la asignatura)
  • Programa de cálculo simbólico Maxima