## 27017 - Galois Theory

### Syllabus Information

2019/20
Subject:
27017 - Galois Theory
Faculty / School:
100 - Facultad de Ciencias
Degree:
453 - Degree in Mathematics
ECTS:
6.0
Year:
3
Semester:
First semester
Subject Type:
Compulsory
Module:
---

### 1.1. Aims of the course

Introduce the students to the basic aspects of Group Theory, which deals with symmetry, as well as Galois Theory, which uses Group Theory to study field extensions and algebraic equations.

### 1.2. Context and importance of this course in the degree

This course presents a key tool in any mathematical area: the Theory of Groups, which is the tool to measure and take advantage of the symmetries that may appear in any system. It is therefore a basic course.

### 1.3. Recommendations to take this course

This course assumes an interactive approach in its structure and in its presentation, which requires engaged participation
from all members of the class. The student's presence is essential to the liveliness of this course and concomitantly to
their individual success in it. Therefore, regular attendance is expected.
Students should work on the exercises and problems sheets regularly, should study on a continuous basis and should
make use of the office hours (their schedule will be communicated at the beginning of the course).

### 2.1. Competences

Being succesful in this course should mean that the student is competent to

• Reason in an abstract way.
• Recognize the symmetries of a given situation and is able to use Group Theory to study it.
• Know about some of the classical mathematical problems, like the unsolvability of the quintic by radicals.
• Be able to write and communicate abstract concepts of Mathematics.
• Be able to learn by oneself, and to look for information through different media.

### 2.2. Learning goals

• Become familiar with group concepts.
• Be able to use Group Theory to take advantage of symmetry.
• Learn about classical problems, like the unsolvability of the quintic by radical.

### 2.3. Importance of learning goals

Numbers and symmetry constitute two of the basic mathematical concepts. Both are blended in this course.

### 3.1. Assessment tasks (description of tasks, marking system and assessment criteria)

20% of the final grade will be obtained by means of a continuous evaluation throughout the course. This will include
solving exercises sheets and share the information with the classmates.
There will be a final exam which will amount for the remaining 80% of the final grade.
The student has the right to base his/her final graded on just a global exam.

### 4.1. Methodological overview

The methodology followed in this course is oriented towards the achievement of the learning objectives. A wide range of teaching and learning tasks are implemented, such as lectures, problem-solving sessions and tutorials.

### 4.2. Learning tasks

This course is organized as follows:

• Lectures and problem-solving sessions. During the lectures, the teacher will provide explanations on the topics covered by the notes that will be available at the ADD. In addition, the solutions of the proposed problems, previously considered by the students either in their individual or group work outside the class hours, will be discussed. The interaction between students and the teacher will be encouraged, so as to increase the students' capacity for abstract reasoning, and to improve their level of mathematical expression. In addition, some problems to be solved either individually or in small groups will be proposed to the students, notwithstanding the fact that exams will be individual.
• Tutorials. Some problems will be proposed to be solved in groups by the students which will have the opportunity of asking doubts during the office hours of attention to students. Those exercises will be similar to the ones that will be asked in the exams. Upon request, students also have the option of meeting the teacher at times different from the ones scheduled to that purpose.

### 4.3. Syllabus

This course will address the following topics:

• Topic 1. Groups: basic notions
• Topic 2. Groups of permutations
• Topic 3. Actions of groups
• Topic 4. Structure of finite groups
• Topic 5. Field extensions. Algebraic extensions
• Topic 6. Splitting extensions. Extensions of homomorphisms
• Topic 7. Normal extensions. The Galois group
• Topic 8. The Galois Theorem
• Topic 9. Solving equations by radicals

### 4.4. Course planning and calendar

Four weekly lecture hours. Theoretical and practical parts will not be separated in advance.

Further information concerning the timetable, classroom, office hours, assessment dates and other details regarding this course will be provided on the first day of class or please refer to the Faculty of Sciences website and Moodle.

### 4.5. Bibliography and recommended resources

http://biblos.unizar.es/br/br_citas.php?codigo=27017&year=2019

## 27017 - Teoría de Galois

### Información del Plan Docente

2019/20
Asignatura:
27017 - Teoría de Galois
100 - Facultad de Ciencias
Titulación:
Créditos:
6.0
Curso:
3
Periodo de impartición:
Primer semestre
Clase de asignatura:
Obligatoria
Materia:
---

### 1.1. Objetivos de la asignatura

#### La asignatura y sus resultados previstos responden a los siguientes planteamientos y objetivos:

Se trata de una asignatura de formación obligatoria dentro del Grado de matemáticas

### 1.2. Contexto y sentido de la asignatura en la titulación

Módulo de estructuras algebráicas. Se recomienda haber cursado la asignatura estructuras algebraicas de segundo curso porque esta es continuación de la misma.

### 1.3. Recomendaciones para cursar la asignatura

Se recomienda la asistencia a clase y utilizar las horas de tutorías para facilitar la comprensión de la materia. Se necesitan los conocimientos de la asignatura de estructuras algebraicas de segundo, por lo que se recomienda esperar a matricularse a tener aprobada esta asignatura.

### 2.1. Competencias

#### Al superar la asignatura, el estudiante será más competente para...

Desenvolverse en el manejo de los objetivos descritos (Ver apartado “Resultados de Aprendizaje”)

### 2.2. Resultados de aprendizaje

#### El estudiante, para superar esta asignatura, deberá demostrar los siguientes resultados...

Operar en grupos sencillos (cíclicos, diédricos y simétricos de grado pequeño) y en anillos (preferentemente de números, polinomios y matrices).

Familiarizarse con las acciones de grupo, los teoremas de Sylow y el uso de éstos para describir la estructura de un grupo.

Manipular expresiones que involucren elementos algebraicos y trascendentes.

Saber hallar el grupo de Galois de ciertas extensiones y polinomios de grado pequeño.

Manejar la correspondencia de Galois, en especial en la caracterización de la resolubilidad por radicales de las ecuaciones polinómicas.

### 2.3. Importancia de los resultados de aprendizaje

Proporcionan una formación de carácter básico dentro del Grado.

### 3.1. Tipo de pruebas y su valor sobre la nota final y criterios de evaluación para cada prueba

#### El estudiante deberá demostrar que ha alcanzado los resultados de aprendizaje previstos mediante las siguientes actividades de evaluacion

El 20% de la nota se obtendrá mediante evaluación de la actividad del alumno a lo largo del curso. La actividad de la que se trata consistirá, por una parte en  resolución de ejercicios, cuestiones y problemas, en la participación del alumno en las discusiones informales en las clases y en la asistencia a las turorías durante el periodo que se imparta la asignatura. La otra parte fundamental de la actividad en cuestión consistirá en la realización de pruebas escritas parciales, de las cuales se realizará al menos una.

Lo descrito en el punto anterior se realizará sin menoscabo del derecho que, según la normativa vigente, asiste al estudiante para presentarse y, en su caso, superar la asignatura mediante la realización de una prueba global.

### 4.1. Presentación metodológica general

#### Habrá clases teóricas en las que se intercalarán ejemplos y se propondrán ejercicios. Se fomentará la relación entre los estudiantes y con el profesor como manera de potenciar en los alumnos, por parte de este,  su capacidad de razonamiento abstracto y de mejorar el nivel de su expresión matemática. También se propondrán problemas para resolver individualmente y por grupos, aunque las pruebas que sirvan para calificar se harán de manera individual. Se atenderá a los estudiantes en las horas de tutoría.

Los apuntes y todo el material que se vaya a utilizar en las clases estará disponible en el anillo digital docente, concretamente en moodle.

### 4.3. Programa

• Grupos, nociones básicas.

• Grupos de permutaciones.
• Acciones de grupos

• Estructura de grupos finitos.

• Extensiones de cuerpos, extensiones algebraicas.

• Cuerpos de descomposición. Homomorfismos

• Extensiones normales. El grupo de Galois.

• El teorema de Galois.

• Grupos resolubles. Resolubilidad por radicales de ecuaciones algebraicas.

### 4.4. Planificación de las actividades de aprendizaje y calendario de fechas clave

#### Calendario de sesiones presenciales y presentación de trabajos

Cuatro horas semanales de clase. Se mezclarán teoría y problemas. Se propondrán ejercicios para que se resuelvan en grupos y se consulten en las horas de tutorías. Estos ejercicios serán similares a los que se propondrán en las pruebas de evaluación.

Horario de tutorías: Se comunicarán a principio de curso. Tambien se podrá quedar con el profesor a otras horas solicitandolo previamente. Para cualquier consulta, petición de cita o pregunta se recomienda ponerse en contactto con la profesora por correo electrónico.

Se realizarán al menos 2 ejercicios escritos para control del dominio de la asignatura. La prueba global será en la fecha que determine la Facultad de Ciencias. Todas las convocatorias a pruebas parciales y globales se realizarán en el tablón de anuncios del área de álgebra y a través del ADD.