## 27012 - Introduction to Probability and Statistics

### Syllabus Information

2019/20
Subject:
27012 - Introduction to Probability and Statistics
Faculty / School:
Degree:
453 - Degree in Mathematics
ECTS:
6.0
Year:
2
Semester:
Second semester
Subject Type:
Basic Education
Module:
---

### 4.1. Methodological overview

The methodology followed in this course is oriented towards the achievement of the learning objectives. A wide range of teaching and learning tasks are implemented, such as lectures, problem-solving sessions, laboratory sessions, tutorials and autonomous work and study.

This course is organized as follows:

• Lectures. Two weekly hours. Theory explanations will be illustrated by means of a variety of examples and real problems, trying to motivate the students participation. Computer presentations will be used. Such lectures will represent, at most, the 50% of the learning activities.
• Problem-solving sessions. Two weekly hours. Class splitted into two groups. In which different exercises and questions will be solved in detail. The students will have the whole collection of such exercises in advance, in order to facilitate their homework. These problem-solving sessions will represent, at least, the 40% of the learning activities.
• Laboratory sessions. Where the students will learn to use computer tools in order to solve exercises from a numerical viewpoint. They will represent, at least, the 10% of the learning activities.
• Tutorials. Individual tutorial sessions to discuss issues concerning the difficulties in the learning process, to correct the way of working, to monitorize the practical work assigned to each student, etc.
• Autonomous work and study.
• Assessment tasks. A midterm exam will take place.

### 4.3. Syllabus

This course will address the following topics:

• Topic 1. Data Analysis
• 1.1 Introduction: population and sample.
• 1.2 Relative frequencies and graphic representations.
• 1.3 Mean and standard deviation. Median and quantiles. Symmetry and kurtosis.
• 1.4 Outliers. Transformation of variables.
• 1.5 Two-dimensional data: joint, marginal and conditional distributions.
• 1.6 Moments. Covariance matrix and Pearson’s correlation coefficient.
• 1.7 The simplest linear model. Linear regression. Residuals analysis.
• Topic 2. Introduction to Probability
• 2.1 Sample space, events and algebras of events.
• 2.2 Axioms of probability. Consequences.
• 2.3 Classical probability. Combinatorics.
• 2.4 Finite, discrete, and geometric models. Examples.
• 2.5 Conditional probability and independence.
• 2.6 Total probability formula. Bayes formula.
• Topic 3. Discrete Random Variables
• 3.1 Introductory examples. Probability laws and distribution functions.
• 3.2 The most usual distributions: uniform, Bernoulli and binomial, hypergeometric, geometric, negative binomial, and Poisson distributions.
• 3.3 Mathematical expectations. The expectation of a function of a discrete random variable.
• 3.4 Moments and central moments. Computations.
• 3.5 Moments and Chebyshev’s inequality.
• 3.6 Approximations: from the hypergeometric to the binomial, and from the binomial to the Poisson distributions.
• Topic 4. Absolutely Continuous Random Variables
• 4.1 Introduction. Probability densities.
• 4.2 Distribution functions. Properties.
• 4.3 The most usual distributions: uniform, triangular, exponential, gamma, beta, Pareto, Cauchy, and normal distributions.
• 4.4 Transformations of absolutely continuous random variables. Change of variables.
• 4.5 Moments and central moments. Computations.
• 4.6 Moments and Chebyshev’s inequality.
• 4.7 The normal distribution: specific analysis and perspectives.
• 4.8 General random variables.  Mixed random variables.

### 4.4. Course planning and calendar

Further information concerning the timetable, classroom, office hours, assessment dates and other details regarding this course will be provided on the first day of class or please refer to the Faculty of Sciences website and Moodle.

### 4.5. Bibliography and recommended resources

References

-

 Bartoszynski, Robert. Probability and statistical inference / Robert Bartoszynski, Magdalena Niewiadomska-Bugaj New York [etc.] : John Wiley and Sons, cop. 1996 Chung, Kai Lai. Elementary probability theory : with stochastic processes and an introduction to mathematical finance / Kai Lai Chung, Farid AitSahlia . - 4th ed. New York : Springer cop. 2003 Grimmett, Geoffrey. Probability and random processes / Geoffrey Grimmett and David Stirzaker . - 3rd. ed., repr. with corr. Oxford : Oxford University Press, 2004 Lasala, Pilar. Introducción al cálculo de probabilidades / Pilar Lasala Calleja Zaragoza : Prensas Universitarias de Zaragoza, 1996 Lasala, Pilar. Problemas resueltos de cálculo de probabilidades / Pilar Lasal Calleja Zaragoza : Prensas Universitarias de Zaragoza, 1996 Uña Juárez, Isaías. Lecciones de cálculo de probabilidades : curso teórico- práctico / Isaías Uña Juárez, Venancio Tomeo Perucha, Jesús San Martín Moreno Madrid [etc.] : Thomson, D.L. 2003 Uña, I.. Cálculo de Probabilidades. Garceta. 2010. Vélez Ibarrola, Ricardo. Cálculo de probabilidades I / Ricardo Vélez Ibarrola, Víctor Hernández Morales . - [1a.ed.] Madrid : UNED, 1995

- Lecture notes on the course. Available online at the Moodle page of the Zaragoza University.

http://biblos.unizar.es/br/br_citas.php?codigo=27012&year=2019

### Información del Plan Docente

2019/20
Asignatura:
Titulación:
Créditos:
6.0
Curso:
2
Periodo de impartición:
Segundo semestre
Clase de asignatura:
Formación básica
Materia:
Matemáticas

### 1.1. Objetivos de la asignatura

#### La asignatura y sus resultados previstos responden a los siguientes planteamientos y objetivos:

Es una asignatura de formación básica dentro del Grado en Matemáticas; uno de los principales objetivos es que los conocimientos teóricos y las técnicas adquiridas sirvan como base para asignaturas del módulo "Probabilidad y Estadística" de cursos posteriores.

### 1.2. Contexto y sentido de la asignatura en la titulación

Es una asignatura introductoria enmarcada en el módulo "Probabilidad y Estadística", dedicada esencialmente al estudio de técnicas básicas del análisis de datos, introducción de conceptos y resultados elementales del Cálculo de Probabilidades y aprendizaje en la modelización de fenómenos reales sencillos.

Para su correcto desarrollo se requieren conocimientos básicos de las asignaturas Algebra Lineal, Grafos y Combinatoria, y Análisis Matemático I y II.

### 1.3. Recomendaciones para cursar la asignatura

Se trata de una asignatura introductoria en la que los alumnos se enfrentan por primera vez al estudio de los fenómenos aleatorios y deben superar, por tanto, los esquemas determinísticos fuertemente arraigados. Dichos fenómenos aleatorios se hallan, en general, fuera de un marco formal preestablecido y requieren, en consecuencia, del arte de la modelización o capacidad de formalización en términos matemáticos.

De ahí que el estudio y trabajo continuado desde el principio de curso son esenciales para no perder el ritmo de introducción de contenidos y poder, finalmente, aprobar la asignatura. En este sentido, es recomendable que el alumno invierta el tiempo suficiente para resolver problemas por sí mismo con la ayuda de las herramientas que se proponen en clase.

Es importante que el alumno adquiera los conocimientos suficientes en esta asignatura para poder afrontar con garantía las restantes asignaturas del módulo "Probabilidad y Estadística" que forman parte del título de Graduado en Matemáticas.

### 2.1. Competencias

#### Al superar la asignatura, el estudiante será más competente para...

Construir modelos probabilísticos en situaciones aleatorias reales sencillas

Calcular probabilidades en ambientes de incertidumbre

Comprender y utilizar el lenguaje y método estadísticos

#### El estudiante, para superar esta asignatura, deberá demostrar los siguientes resultados...

Realizar un análisis descriptivo de un conjunto de datos, utilizando las técnicas gráficas y numéricas adecuadas, y sintetizar e interpretar los resultados.

Entender y saber aplicar los conceptos de independencia y condicionamiento. Calcular probabilidades en ambas situaciones.

Reconocer y modelizar situaciones reales en las que aparecen las distribuciones de probabilidad más usuales.

Manejar variables aleatorias, tanto discretas como absolutamente continuas, y conocer su utilidad para la modelización de fenómenos reales.

Conocer los modelos más importantes de vectores aleatorios discretos. Conocer la importancia de las sumas de variables aleatorias discretas y saber aplicarlas en problemas de modelización.

### 2.3. Importancia de los resultados de aprendizaje

Proporcionan una formación de carácter básico dentro del Grado en Matemáticas para poder afrontar con éxito las asignaturas del módulo "Probabilidad y Estadística".

### 3.1. Tipo de pruebas y su valor sobre la nota final y criterios de evaluación para cada prueba

#### El estudiante deberá demostrar que ha alcanzado los resultados de aprendizaje previstos mediante las siguientes actividades de evaluacion

1-Examen optativo de ordenador sobre el Tema 1 tras su finalización.

La nota obtenida representa el 20% de la nota global de la asignatura.

Los alumnos que lo superen podrán examinarse del resto de los temas en las convocatorias de junio o septiembre.

2-Realización voluntaria de problemas y pequeños trabajos que se irán proponiendo a lo largo del curso.

La nota obtenida, que será como máximo el 10% de la nota global, se añadirá a la nota final obtenida por el alumno en cualquiera de las convocatorias de junio o septiembre.

3-Examen en la convocatoria de junio: con ordenador sobre el Tema 1 y por escrito sobre los temas restantes.

Examen en la convocatoria de septiembre: con ordenador sobre el Tema 1 y por escrito sobre los temas restantes.

Sin menoscabo del derecho que, según la normativa vigente, asiste al estudiante para presentarse y, en su caso, superar la asignatura mediante la realización de una prueba global.

### 4.1. Presentación metodológica general

#### El proceso de aprendizaje que se ha diseñado para esta asignatura se basa en lo siguiente:

Clases de teoría: Siguiendo principalmente el modelo de lección magistral participativa, utilizando el apoyo de medios audiovisuales y recursos informáticos cuando sea conveniente, y procurando también cierta interacción con los estudiantes. Como máximo, supondrán el 50% de las clases.

Técnicas y herramientas para la resolución de problemas: Se enseñarán técnicas de resolución de ejercicios, problemas y prácticas de ordenador en clase. Se propondrán también problemas y ejercicios. Los alumnos tendrán que realizar por su parte un trabajo personal para la resolución de los problemas propuestos y la redacción de soluciones. Supondrán al menos el 40% de las clases.

Seminarios tutelados de teoría/problemas/prácticas de ordenador: En estos seminarios los estudiantes plantearán las dudas y dificultades con las que se han encontrado, de manera que el papel del profesor consistirá en dar indicaciones específicas que desbloqueen la situación. Supondrán al menos el 10% de las clases.

Tutorías. Horarios de tutorías personales establecidos por el profesor.

Trabajo personal. El estudio individual le permitirá asentar los conceptos explicados en las clases, así como aprender y aplicar adecuadamente las técnicas explicadas. Deberá manejar la bibliografía propuesta por el profesor, además de los apuntes de clase. También dedicará una parte importante de su tiempo a la resolución de los ejercicios propuestos.

La asignatura aparece en el Moodle de la Universidad de Zaragoza. Así, el alumno puede obtener información sobre la asignatura, apuntes, bibliografía adicional, material complementario, hojas de problemas, etc.

#### El programa que se ofrece al estudiante para ayudarle a lograr los resultados previstos comprende las siguientes actividades:

-Dos horas semanales de lecciones magistrales participativas, dirigidas a todos los estudiantes del curso.

-Dos horas semanales de clases de problemas y clases en aula informática. Para facilitar el aprendizaje, tales sesiones prácticas se impartirán por duplicado a dos grupos.

-Otras actividades: tutorías personalizadas, estudio y trabajo personal del estudiante, trabajos en grupo,...

### 4.3. Programa

1.1.- Introducción: población, muestra y variables estadísticas.

1.2.- Distribuciones de frecuencias y representaciones gráficas.

1.3.- Medidas de tendencia central, dispersión, simetría y curtosis.

1.4.- Datos atípicos. Transformación de variables.

1.5.- Estadística bidimensional: distribuciones conjuntas, marginales y condicionales.

1.6.- Momentos. Covarianza y coeficiente de correlación.

1.7.- Regresión lineal simple. Recta de regresión. Análisis de residuos.

2.1.- Espacio muestral. Sucesos. Tribus.

2.2.- Axiomática de Kolmogorov. Consecuencias.

2.3.- Modelo clásico. El arte de contar.

2.4.- Modelos finito, discreto y geométrico. Ejemplos.

2.6.- Teoremas de la probabilidad compuesta y de la probabilidad total. Teorema de Bayes.

Tema 3.- Variables aleatorias discretas

3.1.- Ejemplos introductorios. Ley de probabilidad y función de distribución.

3.2.- Distribuciones más usuales: uniforme, Bernoulli y binomial, hipergeométrica, geométrica, binomial negativa y Poisson.

3.3.- Esperanza matemática y su relación con la media muestral. Esperanza de una función de una variable aleatoria discreta.

3.4.- Momentos centrales y con respecto al origen. Cálculo de momentos de las distribuciones más usuales.

3.5.- Momentos y desigualdades de Chebyshev.

3.6.- Aproximaciones: de la hipergeométrica a la binomial y de la binomial a la Poisson.

Tema 4. Variables aleatorias absolutamente continuas

4.3.- Distribuciones más usuales: uniforme, triangular, exponencial, gamma, beta, Pareto, Cauchy y normal.

4.4.- Distribución de una función de una variable absolutamente continua. Cambio de variable.

4.5.- Momentos centrales y respecto al origen. Cálculo de momentos de las distribuciones más usuales.

4.6.- Momentos y desigualdades de Chebyshev.

4.7.- La distribución normal: análisis específico y perspectivas.

4.8.- Variable aleatoria general. Variables aleatorias mixtas.

### 4.4. Planificación de las actividades de aprendizaje y calendario de fechas clave

#### Calendario de sesiones presenciales y presentación de trabajos

Todas las actividades presenciales (teoría, problemas, prácticas de ordenador y seminarios, 4 horas a la semana) se imparten según horario establecido por el centro, publicado con anterioridad a la fecha de comienzo del curso.

Se realizará asimismo un examen al finalizar el tema 1, que se anunciará previamente en el Moodle de la asignatura.

Clases de pizarra y de ordenador.

Colecciones de problemas sobre cada uno de los temas.

Realización voluntaria de una prueba parcial de ordenador a mediados de cuatrimestre, en fecha a fijar con los alumnos, correspondiente al tema 1 de la asignatura.

Realización voluntaria de problemas o trabajos que se propondrán a lo largo del curso.

Realización de una prueba de ordenador y de un examen escrito de toda la asignatura a final de cuatrimestre, en fecha determinada por el centro.

Los alumnos dispondrán con suficiente antelación de un calendario con las fechas de exámenes y plazos de entrega de los trabajos voluntarios.

### 4.5. Bibliografía y recursos recomendados

Bibliografía

 Bartoszynski, Robert. Probability and statistical inference / Robert Bartoszynski, Magdalena Niewiadomska-Bugaj New York [etc.] : John Wiley and Sons, cop. 1996 Chung, Kai Lai. Elementary probability theory : with stochastic processes and an introduction to mathematical finance / Kai Lai Chung, Farid AitSahlia . - 4th ed. New York : Springer cop. 2003 Grimmett, Geoffrey. Probability and random processes / Geoffrey Grimmett and David Stirzaker . - 3rd. ed., repr. with corr. Oxford : Oxford University Press, 2004 Lasala, Pilar. Introducción al cálculo de probabilidades / Pilar Lasala Calleja Zaragoza : Prensas Universitarias de Zaragoza, 1996 Lasala, Pilar. Problemas resueltos de cálculo de probabilidades / Pilar Lasal Calleja Zaragoza : Prensas Universitarias de Zaragoza, 1996 Uña Juárez, Isaías. Lecciones de cálculo de probabilidades : curso teórico- práctico / Isaías Uña Juárez, Venancio Tomeo Perucha, Jesús San Martín Moreno Madrid [etc.] : Thomson, D.L. 2003 Uña, I.. Cálculo de Probabilidades. Garceta. 2010. Vélez Ibarrola, Ricardo. Cálculo de probabilidades I / Ricardo Vélez Ibarrola, Víctor Hernández Morales . - [1a.ed.] Madrid : UNED, 1995

- Materiales de la asignatura. Disponibles online en Moodle de la Universidad de Zaragoza.

http://biblos.unizar.es/br/br_citas.php?codigo=27012&year=2019