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Academic Year/course: 2019/20

453 - Degree in Mathematics

27001 - Calculus I

Syllabus Information

Academic Year:
27001 - Calculus I
Faculty / School:
100 - Facultad de Ciencias
453 - Degree in Mathematics
Subject Type:
Basic Education

1. General information

1.1. Aims of the course

The course and the foreseen results correspond to the following setting and goals:

It is a basic course in the degree. The goal is that the student understands which kind of problems require the use of one variable calculus and how to make use of it to deal with this kind of problems.

1.2. Context and importance of this course in the degree

The course is included in the module of Initiation to Mathematical Analysis. It is advisable to have passed this course before continuing with other courses in this module. As a basic course, the knowledge of the contents in Mathematical Analysis I is convenient for most of the courses in later courses.

1.3. Recommendations to take this course

It is advisable the presence in the theoretical and practical lecures and work in a continuous way with the material, notes, scripts for practical lectures, and problem sheets provided by the instructor. It is also advisable to make use of individual tutorization, the schedule of which will be provided at the beginning of the course. the people who cannot follow the course in a presential way must inform the instructor and will be evaluated with exams corresponding to the official period in June.

2. Learning goals

2.1. Competences

After passing this course the student will be more competent to...

Develop in the handle of the goals described in the Learning outcomes section.

Among the general competences that the student graduated in mathematics acquires, we point out the following:

CG1. Having and comprehending knowledge in the area of Mathematics in a level that, starting from the education acquired in secondary studies, makes use of advanced texts and includes some aspects that imply knowledge from the vanguard in the study of Mathematics.

CT3. Distinguish, when in front of a problem, what is substantial and what is accesory. Formulate conjectures and reason in order to confirm them or refute them. Identify mistakes in incorrect reasonings, and so on.

CE1. Understand and make use of the mathematical language and methods. Know rigurous proofs of basic theorems in different branches of Mathematics.

CE3. Solve mathematical problems by basic calculus skills and other techniques.

2.2. Learning goals

In order to pass this course, the student must show the following:

He/She knows how to handle inequalities, sequences, and series.

He/She analizes and draws graphs of functions, deduces properties of a function from its graph, understands and works in an intituitive, geometric, and formal way with the notions of limit, derivative, and integral.

He/She computes derivatives of functions by using the chain rule.

He/She computes and studies extrem values of functions.

He/She computes integrals of functions.

He/She solves problems that imply the use of integration (computation of lengths, areas, volumes, areas of revolution bodies, and so on).

He/She understands the use of power series and their convergence.

2.3. Importance of learning goals

They provide a basic formation in the degree (see the Context and meaning of the subject in the degree).

3. Assessment (1st and 2nd call)

3.1. Assessment tasks (description of tasks, marking system and assessment criteria)

The student will have to show that he has acquired the foreseen learning outcomes by the means of the following evaluation activities:

The course is divided in theoretical contents, problems, and practical sessions with a computer.

The evaluation of the theoretical part and the problems will have two parts: evaluation during the course and the exams. For the final mark, the evaluation during the course will be counted as a ten per cent. The exams will consist of a partial exam at the end of the first 4-months period  and a final exam, both of them including theoretical contents and problems.


In the same way, there will be an exam regarding the practical sessions with the computer for those students who did not pass these practical sessions with their work in the class.

In no case the students' right, according to present regulation, to pass the course by taking a final global exam will be violated.

4. Methodology, learning tasks, syllabus and resources

4.1. Methodological overview

The methodology followed in this course is oriented towards the achievement of the learning objectives. A wide range of teaching and learning tasks are implemented, such as lectures, problem-solving sessions, tutorials and autonomous work and study.

4.2. Learning tasks

This course is organized as follows:

  • Lectures.
  • Problem-solving sessions.
    • Also, smaller problem-solving sessions split in smaller groups will be held with the use of computers.
  • Tutorials. Individual office hours requested by the student.
  • Autonomous work and study.
  • Assessment tasks. Mid-term exam and final exam.

4.3. Syllabus

This course will address the following topics:

  • Topic 1. Real numbers.
    • Inequalities.
  • Topic 2. Sequences of real numbers.
    • Convergence.
    • Computation of limits.
  • Topic 3. Series of real numbers.
    • Series of non-negative terms.
    • Convergence criteria.
    • Series of any kind of terms.
    • Methods to sum series.
  • Topic 4. Continuity.
    • Limits of functions.
    • Continuous functions.
    • Properties.
    • Weierstrass, Bolzano and Darboux theorems.
    • Classification of discontinuities.
  • Topic 5. Differentiability.
    • Differentiation rules.
    • Rolle's and Mean Value theorem.
    • Extreme values of functions.
    • L'Hopital's rule.
    • Taylor's and Young's theorems.
    • Applications.
  • Topic 6. Integration.
    • Riemann's integral.
    • Properties of the integral.
    • Fundamental theorems of Integral Calculus.
    • Applications of Integral Calculus.
    • Improper integrals.
  • Topic 7. Power series.
    • Convergence of power series.
    • Differentiability and integrability of power series.

4.4. Course planning and calendar

Further information concerning the timetable, classroom, office hours, assessment dates and other details regarding this course will be provided on the first day of class or please refer to the Faculty of Sciences website and Moodle.

4.5. Bibliography and recommended resources

Curso Académico: 2019/20

453 - Graduado en Matemáticas

27001 - Análisis matemático I

Información del Plan Docente

Año académico:
27001 - Análisis matemático I
Centro académico:
100 - Facultad de Ciencias
453 - Graduado en Matemáticas
Periodo de impartición:
Clase de asignatura:
Formación básica

1. Información Básica

1.1. Objetivos de la asignatura

La asignatura y sus resultados previstos responden a los siguientes planteamientos y objetivos:

Se trata de una asignatura de formación básica dentro del grado. El objetivo es que el estudiante entienda qué tipo de problemas requieren del Análisis Matemático de una variable  y cómo opera este para tratar esos problemas.

1.2. Contexto y sentido de la asignatura en la titulación

La asignatura pertenece al módulo de Iniciación al Análisis Matemático. Se recomienda haber aprobado esta materia antes de continuar con las otras asignaturas del módulo. Como asignatura de formación básica, el conocimiento de Análisis Matemático I es conveniente para la mayor parte de las asignaturas de los cursos superiores.

1.3. Recomendaciones para cursar la asignatura


Se recomienda la asistencia atenta a las clases teóricas y prácticas y trabajar de manera continuada el material, apuntes, guiones de prácticas, hojas de problemas, que se suministre. Se recomienda también utilizar las tutorías individuales, cuyo horario se dará al comienzo del curso. Las personas que no puedan seguir el curso de forma presencial deberán comunicarlo y serán evaluados mediante las pruebas correspondientes en la convocatoria oficial de junio.

2. Competencias y resultados de aprendizaje

2.1. Competencias

Al superar la asignatura, el estudiante será más competente para...

Desenvolverse en el manejo de los objetivos descritos en el apartado de Resultados de aprendizaje.

De entre las competencias generales que adquiere el graduado en matemáticas, destacamos las siguientes:

CG1. Poseer y comprender conocimientos en el área de las Matemáticas a un nivel, que partiendo de la formación adquirida en la educación secundaria general, se apoya en textos avanzados e incluye algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia en el estudio de las Matemáticas.

CT3. Distinguir ante un problema lo que es sustancial de lo que es accesorio, formular conjeturas y razonar para confirmarlas o refutarlas, identificar errores en razonamientos incorrectos, etc.

CE1. Comprender y utilizar el lenguaje y método matemáticos. Conocer demostraciones rigurosas de los teoremas básicos de las distintas ramas de la Matemática.

CE3. Resolver problemas matemáticos mediante habilidades de cálculo básico y otras técnicas.

2.2. Resultados de aprendizaje

El estudiante, para superar esta asignatura, deberá demostrar los siguientes resultados...

Maneja adecuadamente desigualdades, sucesiones y series

Analiza y dibuja funciones, deduce propiedades de una función a partir de su gráfica, comprende y trabaja intuitiva, geométrica y formalmente con las nociones de límite, derivada e integral.

Calcula derivadas de funciones mediante la regla de la cadena.

Calcula y estudia extremos de funciones.

Calcula integrales de funciones.

Resuelve problemas que impliquen el planteamiento de integrales (longitudes, áreas, volúmenes, areas de revolución, etc.)

Comprende las series de potencias y su convergencia.

2.3. Importancia de los resultados de aprendizaje

Proporcionan una formación de carácter básico dentro del grado (ver el apartado de Contexto y sentido de la asignatura en la titulación).

3. Evaluación

3.1. Tipo de pruebas y su valor sobre la nota final y criterios de evaluación para cada prueba

El estudiante deberá demostrar que ha alcanzado los resultados de aprendizaje previstos mediante las siguientes actividades de evaluacion

La asignatura se divide en teoría, problemas y prácticas de ordenador.

La evaluación de la teoría y problemas tendrá dos partes: la evaluación durante el curso y los exámenes. Para la calificación final, la evaluación durante el curso ponderará un 20 por ciento. Los exámenes consistirán en un primer examen parcial al final del primer cuatrimestre y un examen final, ambos con contenido de teoría y problemas.


Así mismo, habrá examen de prácticas de ordenador en las convocatorias oficiales, para los alumnos que no hayan superado estas prácticas con su trabajo en el aula.

Sin menoscabo del derecho que, según la normativa vigente, asiste al estudiante para presentarse y, en su caso, superar la asignatura mediante la realización de una prueba global.

4. Metodología, actividades de aprendizaje, programa y recursos

4.1. Presentación metodológica general

El proceso de aprendizaje que se ha diseñado para esta asignatura se basa en lo siguiente:

Clases teóricas.

Clases de problemas.

Clases prácticas de ordenador en grupos reducidos.

Tutorías individuales de carácter voluntario.

Utilización del Anillo Digital Docente.

Estudio y trabajo del alumno.

4.2. Actividades de aprendizaje

El programa que se ofrece al estudiante para ayudarle a lograr los resultados previstos comprende las siguientes actividades...

Asistencia a las clases teóricas

Realización de ejercicios

Tutorías individuales

Prácticas con ordenador

4.3. Programa

La planificación de las enseñanzas seguirá el programa:

  1. Números reales. Desigualdades.

  2. Sucesiones de números reales. Convergencia. Cálculo de límites.

  3. Series de números reales. Series de términos no negativos. Criterios de convergencia. Series de términos cualesquiera. Métodos para sumar series.

  4. Continuidad. Límites de funciones. Funciones continuas. Propiedades. Teoremas de Weierstrass, Bolzano y Darboux. Clasificación de discontinuidades.

  5. Derivabilidad. Reglas de derivación. Teoremas de Rolle y del Valor Medio. Extremos de funciones. Regla de L'Hopital. Teoremas de Taylor y Young. Aplicaciones

  6. Integración. La integral de Riemann. Propiedades de la Integral. Los Teoremas Fundamentales del Cálculo. Aplicaciones del Cálculo Integral. Integrales impropias.

  7. Series de potencias. Convergencia de series de potencias. Derivabilidad e integrabilidad de series de potencias.

4.4. Planificación de las actividades de aprendizaje y calendario de fechas clave

Calendario de sesiones presenciales y presentación de trabajos

Ver el apartado de fechas e hitos clave de la asignatura, así como el calendario académico de la Universidad de Zaragoza y los horarios establecidos por la Facultad de Ciencias.


Realización de una prueba escrita hacia la mitad del curso.

Realización del examen escrito correspondiente a la convocatoria oficial.

4.5. Bibliografía y recursos recomendados