## 30605 - Mathematics II

### Syllabus Information

2018/19
Subject:
30605 - Mathematics II
Faculty / School:
109 - Facultad de Economía y Empresa
Degree:
ECTS:
6.0
Year:
1
Semester:
Second semester
Subject Type:
Basic Education
Module:
---

### 1.1. Aims of the course

#### The expected results of the course respond to the following general aims

The general objectives of the mathematical subjects in this Degree are included in the following two main goals: (1) Mathematical education, (2) Training to apply Mathematics to the challenges that the students will encounter in their careers.

The subject Mathematics II supposes a step forward in these objectives which Mathematics I also dealt with. Education in Mathematics is significant not only because of the transmission of new concepts, but also because the students gain a rigorous and accurate perspective, as well as the capacity for abstraction and the scientific method that characterise Mathematics. Regarding the second goal, this subject introduces students to modelling, using the mathematical analysis approach through two different ways: classical optimisation, and dynamical analysis.

### 1.2. Context and importance of this course in the degree

Mathematics II is a course of basic training of 6 ECTS that is taught in the second semester of the first academic year and which is the continuation of Mathematics I taught in the first semester of the same course, on whose concepts are based.

The course mathematics II is divided into two clearly distinct blocks: mathematical programming and dynamic analysis, which respond to two different points of view of economic reality. After the first, the  student will know how to pose and solve a wide range of classic optimization problems: linear or nonlinear, without restrictions or with equality constraints. In the case of optimization programs in which both the objective function and the constraints are linear is used as a technique for resolution simplex method. This theme can be used to connect the traditional teaching of resolution with the use of computer programs that simplify the process of calculation and place the student in professional practice.

In the second block, dynamic analysis, it is solved differential equations and analyzed the solution. Its inclusion in the program is required because in the economic analysis it is usual that economic processes are not static, as for example: optimal economic growth, optimal management of renewable and non-renewable resources, optimum investment in the long term, etc.

As Mathematics is a tool and a support for other subjects that are essential in the education of the students (Microeconomics, Macroeconomics, Econometrics, etc.), Mathematics II continues the line of work of Mathematics I by bringing Mathematics closer to problems in economic scenarios, which will undoubtedly facilitate a deeper comprehension of and, as a consequence, better skills in applying Mathematics.

After passing the mathematical subjects in the Degree, the students will have worked towards attaining one of the most important goals of mathematical theory: to formulate models that explain the real world. Prospective graduates will be able to use the language of science and to understand the role played by Mathematics in the development of their thinking skills, given that the students' logical reasoning, accuracy, rigor, capacity for abstraction and skills in interpreting results will be improved. This is why the subjects of Mathematics are indispensable tools which allow the designing of appropriate models that are used for researching, describing, understanding and thinking about the realities of companies

### 1.3. Recommendations to take this course

The students should have a good command of all the contents of the subject Mathematics I, taught during the first semester of the first year. They must, in any case, know the meaning and implications of the differentiability of a function and be skilled in the calculus of partial derivatives. The students also have to know how to determine the sign of a quadratic form. They must also be able to present and support an argument with a logical sequence and to connect various mathematical aspects previously learnt.

### 2.1. Competences

#### After completing the course, the student will be competent in the following skills:

Problem solving

Analysis and synthesis

Decision-making.

Applying knowledge to practice

### 2.2. Learning goals

#### The student, in order to pass the course, will have to show her/his competence in the following skills:

1. To have gained good skills in using mathematical language, both in comprehension and writing.
2. To be able to identify the fundamental elements of an optimisation problem: variables, objective function and constraints.
3. To be able to formulate static optimisation problems: unconstrained, and with equality and/or inequality constraints.
4. To know how to solve an optimisation problem by the graphical method, when that is possible.
5. To be able to evaluate whether or not a mathematical programme meets the conditions that allow it to be solved by the techniques learnt.
6. To be able to distinguish between critical points and extrema (optima).
7. To be able to discriminate between local and global optima.
8. To be able to distinguish between necessary conditions and sufficient conditions for local optimality.
9. To be able to calculate the critical points by solving the system of equations obtained by applying the first-order conditions for local optimality, both for unconstrained cases and for problems with equality constraints.
10. To know how to classify the obtained critical points by using the second-order conditions, both for unconstrained optimisation programmes and for problems with equality constraints.
11. To be able to apply the conditions which guarantee that an optimum is global.
12. To be able to interpret economically the Lagrange multipliers obtained in an optimisation problem with equality constraints.
13. To be able to evaluate whether a mathematical programme is linear. If it is, they must know how to solve it by the graphical method (when that is possible) and by the simplex algorithm.
14. When varying a parameter of a linear optimisation programme, the students must be able to analyse how the solution changes, without solving the new problem.
15. To be able to use some computer programmes to find the solution to an optimisation problem and to be able to interpret the results obtained.
16. To be able to identify a dynamic process in an economic scenario and be able to represent this process (when possible) by an ordinary differential equation.
17. To understand the concept of the solution of an ordinary differential equation and to be able to distinguish between general solution and particular solution.
18. To be able to discriminate between a first-order differential equation and a linear differential equation of order n.
19. To be able to identify whether a first-order differential equation is with separable variables, homogeneous, exact, or of linear type, and to know how to solve the equation by the appropriate method.
20. For a linear differential equation with constant coefficients, they must be able to write the complementary (homogeneous) equation and obtain its general solution.
21. To be able to find a particular solution of a linear differential equation with constant coefficients.
22. To have the know-how to calculate the general solution of a linear differential equation with constant coefficients.
23. To be able to work out the solution of a linear differential equation of order n with constant coefficients, given n initial conditions.

### 2.3. Importance of learning goals

They permit the comprehension of theoretical concepts and models that are part of the contents of other related subjects studied in the Degree. Mathematics is most important in this goal because it facilitates the analysis and discussion of the models and concepts studied. In this regard, it is worth mentioning that Optimisation techniques allow the laying of the foundations of the two basic paradigms of Microeconomics, namely, the theory of consumer choice and the production theory. The concepts of convex set and concave/convex function, whose economic interpretations are, respectively, the diversity in consumption and the law of diminishing marginal returns, have important applications. Linear Programming is very useful in production planning problems and it allows the solving of some simple exercises of comparative statics. Different techniques are required for the analysis of dynamic processes in continuous time, which is essential, for example, in models of economic growth. The theory of differential equations provides the necessary tools to deal with some key concepts such as trajectory over time, evolution of the system, stability, etc.

### 3.1. Assessment tasks (description of tasks, marking system and assessment criteria)

The evaluation will be GLOBAL in the first and second sittings, and it will consits of a written final exam to be done on the dates established by the Faculty for that purpose.

These exams will be written and will assess the proposed learning outcomes by means of theoretical, practical and theoretic-practical questions that will fit the matter taught. Both they will be worth 10 points

In addition, in the first sitting, if the teacher considers it appropriate, it will be possible for students to take a voluntary intermediate test worth 5 points. This test will assess the knowledge of the students about the topics of the first three Chapters of the program of the subject. This test will take place in the middle of the term, and the date will be announced in advance in class and/or the virtual teaching platform.

The students that obtain in the intermediate test a mark equal or greater than 50% of the maximum mark (2.5 out of 5) could eliminate the topics of the Chapters 1,2,3 out of the final exam in the first sitting. In that case, the corresponding mark of the eliminated topics will be incorporated to the mark of the global final exam with the weight that the said contents be considered in the final exam.

In order to pass the subject, students have to obtain at least 5 points out of 10 in any of the final marks.

To be eligible for this form of assessment students are required to participate actively and resolve issues, exercises and tests to be carried out in the classroom, according to indications that the teacher in charge of each group of the subject will be exhibiting the same day of the presentation. In such a case, it is necessary to attend and participate in at least 75% of the face-to-face sessions or proposed activities.

It has to be taken into account that the evaluation process closes at the end of the academic year, so it is not possible to claim academic merits from one academic year in a later one.

Students taking their exams at the fifth or sixth opportunity will be marked following the rules established under the Governing Council Agreement on 22 December 2010, which sets out the assessment regulations in the University of Zaragoza.

Evaluation Criteria

Students will be assessed on whether they have acquired the learning outcomes mentioned above. In particular, they will be assessed on the following aspects:

1. Correct mathematical writing.
2. Logical reasoning in the posing and solving of the problems.
3. Reference to the theoretical results used, when relevant.
4. The choice of the most appropriate method for the solving of problems.
5. Clarity in the application of mathematical concepts and procedures.
6. Computations carried out with care.
7. The correct expression of the results obtained when solving problems.

### 4.1. Methodological overview

#### The learning process that has been designed for this course is based on the following activities:

The objective of this subject is that the students should develop the analytical skills, rigour and intuition needed for using mathematical concepts and results and that they should be able to apply these abilities to the analysis of problems of an economic nature. Therefore, the teaching should aim to provide students with a solid mathematical knowledge and to train them in a way of reasoning that will allow them thereafter to successfully solve a wide variety of questions in an economic scenario.

Lectures (1.2. ECTS): 30 hours. At the same time, some exercises will be solved with the participation of the students to help them understand the theoretical concepts presented. These classes are face-to-face and will be given to the whole group.

Practical sessions (1.2 ECTS): 30 hours each subgroup. The students will apply the theoretical contents in order to solve, with the teacher's help, more complex exercises, and problems of an economic nature. Problem sheets will be available for the students and the teacher will announce in advance the problems that will be solved in each practical lesson so that the students can prepare them beforehand. These classes are face-to-face and will be given separately to  each subgroup.

Seminars (practical sessions P6. 0.6 ECTS): 15 hours. It may consist of a number of different activities designed to support the learning process, including: follow-up of some simple projects that had been assigned to small teams of students and the presentation of these projects; answering questions that students may have regarding some of the

contents taught; solving problems of an economic nature by using some of the mathematical tools taught during the classes, etc. These seminars may also be devoted to the teaching of more advanced topics, intended for the students interested in learning some further mathematical tools that would allow them to deal with more general problems. In this way, the students are shown that both Mathematics and Economics are vibrant sciences with many facets to be studied.

Both the splitting in two of the group in the practical sessions and the P6 activities will be subject to the availability of professors.

Autonomous work (3.6 ECTS): 75 hours.

### 4.3. Syllabus

The contents detailed in the programme below will be developed in thelectures and practical sessions. Any variations in the order will be indicated by the teacher in the presentation of the course.

Chapter 1: Mathematical programs

1.1. General formulation of a mathematical program. Classification.

1.2. Definitions and properties. Weierstrass' Theorem.

1.3. Graphical solving.

1.4. Introduction to convexity:

1.4.1. Convex sets. Definition and properties.

1.4.2. Convex and concave functions. Definitions and properties.

1.4.3. Convex programs.

Chapter 2: Programming without constraints

2.1. Problem's formulation.

2.2. Local optima:

2.2.1. First order conditions for the existence of a local optimum.

2.2.2. Second order conditions for the existence of a local optimum.

2.3. Global optima: convex programs.

Chapter 3: Programming with equality constraints

3.1. Problem's formulation.

3.2. Local optima:

3.2.1. First order conditions for the existence of a local optimum.

3.2.2. Second order conditions for the existence of a local optimum.

3.3. Global optima: convex programs and Weierstrass' Theorem.

3.4. Economic interpretation of the Lagrange's multipliers.

Chapter 4: Linear programming

4.1. Formulation of a problem of linear programming.

4.2. Solutions of a linear program. Basic feasible solutions.

4.3. Characterization of the optimal basic feasible solutions. Simplex' Algorithm.

4.4. Introduction to the sensitivity analysis.

4.5. Introduction to the dual program.

Chapter 5: Introduction to ordinary differential equations

5.1. Introduction to the dynamical analysis.

5.2. Concept of differential equation, solution and types of solution.

5.3. First order ordinary differential equations:

5.3.1. Separable equations.

5.3.2. Linear first order equations.

5.4. Linear differential equations of order n with constant coefficients.

5.5. Qualitative analysis: equilibrium points and stability.

### 4.4. Course planning and calendar

1. Presentation of the subject in the first session of the semester, in accordance with the timetable established by the Faculty.
2. Continual attendance at, and productive use of, theoretical and practical classes.
3. Attendance at practical classes P6, which may include computer practice if the global schedule allows it.
4. Midterm exams, scheduled in accordance with the academic calendar.
5. Final exam, on the day established by the Faculty.

## 30605 - Matemáticas II

### Información del Plan Docente

2018/19
Asignatura:
30605 - Matemáticas II
109 - Facultad de Economía y Empresa
Titulación:
432 - Programa conjunto en Derecho-Administración y Dirección de Empresas
Créditos:
6.0
Curso:
1
Periodo de impartición:
Segundo semestre
Clase de asignatura:
Formación básica
Módulo:
Matemáticas

### 1.1. Objetivos de la asignatura

#### La asignatura y sus resultados previstos responden a los siguientes planteamientos y objetivos:

Los objetivos de carácter general de la enseñanza de las matemáticas en este grado pueden englobarse en dos:

1.    Formación matemática del estudiante.

2.    Capacitación del estudiante para la utilización de las matemáticas en los problemas que se le planteen en su futura profesión.

La asignatura supone un paso más en dichos objetivos ya abordados, por otra parte, en las Matemáticas I. La importancia de la formación matemática no radica sólo en los nuevos conceptos que proporciona sino en la adquisición de un enfoque riguroso, preciso, así como la capacidad de abstracción y el método científico que caracterizan a la Matemática. En cuanto al segundo objetivo, se introduce al estudiante en técnicas de modelización desde el punto de vista del análisis matemático a través de dos vías diferentes: optimización clásica por un lado y análisis dinámico por otro.

### 1.2. Contexto y sentido de la asignatura en la titulación

Matemáticas II es una asignatura de formación básica de 6 créditos ECTS que se imparte en el segundo cuatrimestre del primer curso y que es la continuación de Matemáticas I impartida en el primer cuatrimestre del mismo curso, en cuyos conceptos se fundamenta.

La asignatura Matemáticas II está dividida en dos bloques claramente diferenciados: Programación Matemática y Análisis Dinámico, que dan respuesta a dos puntos de vista de la realidad económica diferentes. Tras el primero el estudiante sabrá plantear y resolver un amplio abanico de problemas de optimización clásica: lineales o no lineales, sin restricciones o con restricciones de igualdad. En el caso de programas de optimización en los que tanto la función objetivo como las restricciones son lineales se utiliza como técnica de resolución el método del simplex. Puede utilizarse este tema para conectar la enseñanza  tradicional de resolución con el uso de programas informáticos, que simplifican el proceso de cálculo y sitúan al estudiante en la práctica profesional.

En el segundo bloque, análisis dinámico, se trata de resolver ecuaciones diferenciales y analizar su solución. Su inclusión en el programa es necesaria porque en el análisis económico es habitual que los procesos económicos sean no estáticos, como por ejemplo: crecimiento económico óptimo, gestión óptima de recursos renovables y no renovables, inversión óptima a largo plazo, etc.

Dado que las asignaturas de matemáticas deben de ser un instrumento y apoyo de otras que son esenciales en su formación, tales como Microeconomía, Macroeconomía, Econometría, etc., se continúa en la línea de trabajo ya abordada en Matemáticas I de acercar las matemáticas a los problemas de naturaleza económica, lo que sin duda ayudará a una mejor comprensión de las matemáticas y, en consecuencia, a una mayor capacidad para su aplicación.

Al finalizar estas asignaturas los estudiantes habrán trabajado para conseguir uno de los fines más importantes de la teoría matemática: construir modelos que describan el mundo real. El futuro graduado será capaz de utilizar el lenguaje en el que se expresa la ciencia, reconociendo el papel que las matemáticas juegan en el desarrollo de su pensamiento, al mejorar su razonamiento lógico, precisión, rigor, abstracción y capacidad para valorar resultados. Por ello, las asignaturas de carácter matemático son herramientas imprescindibles que permiten diseñar los modelos oportunos mediante los cuales se investiga, describe, comprende y reflexiona acerca de la realidad de la empresa.

### 1.3. Recomendaciones para cursar la asignatura

Es aconsejable que los estudiantes que vayan a cursar esta asignatura hayan adquirido todos los conocimientos necesarios para superar la asignatura Matemáticas I del primer semestre del primer curso. En cualquier caso, los estudiantes deben conocer el significado e implicaciones de la diferenciabilidad de una función y tener destreza en el cálculo de derivadas parciales de una función así como en la determinación del signo de una forma cuadrática. Además deben de poder realizar y seguir una secuencia lógica así como relacionar entre si distintos aspectos de las matemáticas ya conocidos.

### 2.1. Competencias

#### Al superar la asignatura, el estudiante será más competente para

La resolución de problemas.

El análisis y la síntesis.

La toma de decisiones.

La aplicación de los conocimientos en la práctica.

#### El estudiante, para superar esta asignatura, deberá demostrar los siguientes resultados...

1.    Ha adquirido destreza en el uso del lenguaje matemático, tanto en su comprensión como en su escritura.

2.    Identifica los elementos fundamentales de un problema de optimización: variables, función objetivo y restricciones.

3.    Plantea problemas de optimización estática sin restricciones y con restricciones de igualdad y de desigualdad.

4.    Resuelve gráficamente, en los casos en que sea posible, un problema de optimización.

5.    Valora si un programa matemático cumple las condiciones para ser resuelto mediante las técnicas estudiadas.

6.    Distingue entre puntos críticos y extremos u óptimos.

7.    Distingue entre óptimos locales y óptimos globales

8.    Distingue entre condiciones necesarias y condiciones suficientes de optimalidad local

9.    Calcula los puntos críticos resolviendo el sistema de ecuaciones obtenido al plantear las condiciones de primer orden de optimalidad local, tanto en el caso sin restricciones como en el caso de restricciones de igualdad

10.  Estudia los puntos críticos obtenidos utilizando las condiciones de segundo orden, tanto en el caso de problemas de optimización sin restricciones como en el caso de problemas con restricciones de igualdad.

11.  Aplica las condiciones que aseguran la globalidad de los óptimos.

12.  Interpreta el significado económico de los multiplicadores de Lagrange obtenidos en un problema de optimización con restricciones de igualdad.

13.  Evalúa si un programa matemático es lineal y lo resuelve gráficamente, si es posible, y por medio del algoritmo del simplex.

14.  Analiza la variación en la solución de un problema de optimización lineal ante una modificación en algún dato del problema sin necesidad de resolver un nuevo problema.

16.  Identifica un proceso dinámico en un fenómeno económico y lo representa si es posible mediante una ecuación diferencial ordinaria.

17.  Comprende el concepto de solución de una ecuación diferencial ordinaria y distingue entre solución general y solución particular.

18.  Distingue entre ecuación diferencial de primer orden y ecuación diferencial lineal de orden n utilizando el método adecuado.

19.  Distingue si una ecuación diferencial  lineal de coeficientes constantes, la ecuación homogénea asociada y calcula la solución general.

20.  Calcula una solución particular de una ecuación diferencial lineal de coedicientes constantes.

21.  Calcula una solución general de una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes.

22.  Calcula la solución de una ecuación diferencial lineal de coeficientes constantes de orden n con n condiciones iniciales.

23.  Es capaz de relacionar los distintos temas tratados en la asignatura.

### 3.1. Tipo de pruebas y su valor sobre la nota final y criterios de evaluación para cada prueba

La evaluación será GLOBAL, tanto en primera como en segunda convocatoria, y consistirá en un examen final a realizar en el periodo establecido por el Centro.

Dicho examen se realizará de forma escrita y evaluará los resultados de aprendizaje propuestos mediante preguntas teóricas, prácticas y/o teórico-prácticas que se ajustarán a la materia impartida. Se puntuará sobre 10 puntos.

Además, en la primera convocatoria, cabe la posibilidad de realizar una prueba voluntaria intermedia valorada en 5 puntos. Esta prueba evaluará los conocimientos sobre la materia que comprende los tres primeros temas del programa. Dicha prueba tendrá lugar en la mitad del cuatrimestre, asimismo se indicará la fecha de realización con suficiente antelación en el aula y/o plataformas docentes del profesorado.

Los estudiantes que obtengan en dicha prueba una calificación superior o igual al 50% de la nota (2,5 sobre 5) podrán optar por eliminar dicha materia del examen global de la primera convocatoria; en cuyo caso la nota correspondiente a la materia eliminada será traspasada a la nota del examen global en el porcentaje en que dichos contenidos se valoren en el examen final . Para superar la asignatura el estudiante debe obtener un mínimo de 5 puntos sobre 10.

Para poder optar a esta forma de evaluación es obligatorio participar activamente y resolver las cuestiones, ejercicios y pruebas que se realizarán en las clases presenciales, según las indicaciones que el profesor responsable de cada grupo de la asignatura expondrá el día de la presentación de la misma. En tal caso es necesario asistir y participar en al menos el 75% de las sesiones presenciales y/o de actividades propuestas.

Debe tenerse en cuenta que los cursos académicos cierran los procesos de evaluación, lo que hace que no puedan reclamarse méritos de un año para evaluaciones de años académicos posteriores.

La evaluación de los estudiantes de quinta y sexta convocatoria se realizará según el acuerdo de 22 de diciembre de 2010 del Consejo de Gobierno por el que se aprueba el reglamento de normas de evaluación del aprendizaje de la Universidad de Zaragoza.

## Criterios de valoración

Se evaluará si el estudiante ha adquirido los resultados de aprendizaje expuestos anteriormente. En particular se valorarán los siguientes aspectos:

1. El uso correcto de la escritura del lenguaje matemático.
2. El razonamiento lógico en el planteamiento y en la resolución de los problemas.
3. La referencia al contenido teórico que se utiliza, si es destacable.
5. La claridad en la aplicación de los conceptos y procedimientos matemáticos.
7. La expresión correcta en los resultados obtenidos al resolver problemas.

### 4.1. Presentación metodológica general

Con esta asignatura se persigue que el estudiante desarrolle la capacidad analítica, el rigor y la intuición en el uso de los conceptos y resultados matemáticos y los sepa aplicar al análisis de problemas de índole económico. Es por esto que la formación del estudiante debe ir orientada en la dirección de dotarle de unos sólidos conocimientos matemáticos e inculcarle una sistemática en el razonamiento que posteriormente le permita encarar con éxito la solución de un amplio abanico de problemas en el contexto económico.

Clases teóricas, en las que se combinará la clase magistral para exponer los conceptos y resultados de los contenidos de la asignatura con la resolución participativa de ejercicios, en los que se aplicará de forma inmediata los aspectos teóricos explicados para ayudar a los estudiantes a asimilarlos. Estas clases serán presenciales y se impartirán a todo el grupo. Cuantificación temporal: 1,2 créditos ECTS (30 horas).

Clases prácticas, en las que los estudiantes irán resolviendo, con la ayuda del profesor, ejercicios más completos y problemas de carácter económico en los que se apliquen los resultados matemáticos vistos. Estos ejercicios y problemas estarán en las hojas de problemas de la asignatura (ver enlace a web) y se anunciará con antelación cuáles se van a resolver en cada clase práctica para que el estudiante los pueda preparar. Estas clases serán presenciales y se impartirán a la mitad del grupo.

Cuantificación temporal: 1,2 créditos ECTS (30 horas).

Seminarios (prácticas tipo P6) y tutorias, en los que se podrán realizar diversas actividades: seguimiento del desarrollo de un trabajo que se habrá propuesto a un grupo de estudiantes y defensa del mismo; tutorías colectivas de determinados temas; desarrollo de problemas de carácter económico en cuya resolución se utilicen herramientas matemáticas explicadas en la asignatura... Estos seminarios podrían dedicarse además a la ampliación de conocimientos mostrando a los estudiantes que estén interesados otras herramientas matemáticas que permitan resolver problemas más generales. Se pone así de manifiesto que tanto la Ciencia Matemática como la Ciencia Económica son ciencias vivas y por tanto con muchos aspectos para estudiar.

Cuantificación temporal: 0,6 creditos ECTS (15 horas)

Tanto los desdobles de las clases prácticas como los seminarios (practicas tipo P6) se ajustarán a la disponibilidad de profesorado.

Actividades no presenciales. Cuantificación temporal: 3,6 créditos ECTS (75 horas)

### 4.3. Programa

Tema 1: Programas matemáticos

1.1  Formulación general de un programa matemático. Clasificación.

1.2  Definiciones y propiedades. Teorema de Weierstrass.

1.3  Resolución gráfica.

1.4.1 Conjuntos convexos. Definición y propiedades.

1.4.2 Funciones convexas y cóncavas. Definiciones y propiedades.

1.4.3 Programas convexos.

Tema 2: Programación sin restricciones

2.1 Formulación del problema.

2.2 Óptimos locales.

2.2.1 Condiciones de primer orden para la existencia de óptimo local.

2.2.2 Condiciones de segundo orden para la existencia de óptimo local.

2.3 Óptimos globales. Programas convexos.

Tema 3: Programación con restricciones de igualdad.

3.1 Formulación del problema.

3.2 Óptimos locales.

3.2.1 Condiciones de primer orden para la existencia de óptimo local.

3.2.2 Condiciones de segundo orden para la existencia de óptimo local.

3.3 Óptimos globales: Programas convexos y Teorema de Weiertrass.

3.4 Interpretación económica de los multiplicadores de Lagrange.

Tema 4: Programación lineal.

4.1 Formulación del problema de programación lineal.

4.2 Soluciones de un programa lineal. Soluciones factibles básicas.

4.3 Caracterización de las soluciones básicas óptimas. Algoritmo simplex.

4.4 Introducción al análisis de la sensibilidad.

4.5 Introducción al programa dual.

Tema 5: Introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias.

5.1 Introducción al análisis dinámico.

5.2 Concepto de ecuación diferencial, solución y tipos de soluciones.

5.3 Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden:

5.3.2 Ecuaciones homogéneas.

5.4 Ecuaciones diferenciales lineales de orden n con coeficientes constantes.

5.5  Análisis cualitativo: puntos de equilibrío y estabilidad.

### 4.4. Planificación de las actividades de aprendizaje y calendario de fechas clave

El día de la presentación de la asignatura se expondrá, en cada grupo, el calendario detallado de la asignatura según las características del curso académico.

-      Planteamiento inicial de la asignatura: Inicio de las clases (teóricas y prácticas)

-      Asistencia y aprovechamiento continuado a las clases teóricas y practicas

-      Asistencia a las prácticas P6 (según calendario del grupo)

-      Realización, según calendario indicado el día de la presentación, de pruebas intermedias de evaluación

-      Examen final en la fecha fijada en el calendario de exámenes del Centro

-      Las fechas clave de la asignatura se anunciarán en el aula y/o plataformas docentes del profesorado