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Academic Year/course: 2018/19

30100 - Mathematics I

Syllabus Information

Academic Year:
30100 - Mathematics I
Faculty / School:
175 - Escuela Universitaria Politécnica de La Almunia
179 - Centro Universitario de la Defensa - Zaragoza
425 - Bachelor's Degree in Industrial Organisational Engineering
457 - Bachelor's Degree in Industrial Organisational Engineering
563 - Bachelor's Degree in Industrial Organisational Engineering
First semester
Subject Type:
Basic Education

4.1. Methodological overview

The learning process designed for this subject is based on the following:



The learning process designed for this subject is based on the following:

Strong interaction between the teacher/student. This interaction is brought into being through a division of work and responsibilities between the students and the teacher. Nevertheless, it must be taken into account that, to a certain degree, students can set their learning pace based on their own needs and availability, following the guidelines set by the teacher.

Matemáticas I is conceived as a stand-alone combination of contents, yet organized into two fundamental and complementary forms, which are: the theoretical concepts of each teaching unit and the solving of problems or resolution of questions, at the same time supported by other activities.


  • Lectures in which the main concepts are presented to the students, encouraging their active participation.
  • Problem sessions alternating the presentation of worked out examples by the teacher and the solution of problems by the students themselves.
  • Computer-based sessions using a suitable mathematical software.
  • Personal and autonomous work of the students throughout the term.
  • Personalized attention by mentoring sessions either individually or in-group.

4.2. Learning tasks




The programme offered to the student to help them achieve their target results is made up of the following activities...

Involves the active participation of the student, in a way that the results achieved in the learning process are developed, not taking away from those already set out, the activities are the following:

  • Face-to-face generic activities:
    • Theory Classes: The theoretical concepts of the subject are explained and illustrative examples are developed as support to the theory when necessary.
    • Practical Classes: Problems and practical cases are carried out, complementary to the theoretical concepts studied.
    • Individual Tutorials: Those carried out giving individual, personalized attention with a teacher from the department. Said tutorials may be in person or online.
  • Generic non-class activities:
    • Study and understanding of the theory taught in the lectures.
    • Understanding and assimilation of the problems and practical cases solved in the practical classes.
    • Preparation of seminars, solutions to proposed problems, etc.
    • Preparation of summaries and reports.
    • Preparation of the written tests for continuous assessment and final exams.

The subject has 6 ECTS credits, which represents 150 hours of student work in the subject during the semester, in other words, 10 hours (Lectures: 4 h.; Other Activities: 6 h.) per week for 15 weeks of class.

The overall distribution is:

  • 52 hours of lectures, with 50% theoretical demonstration and 50% solving type problems.
  • 8 hours of written assessment tests.
  • 90 hours of personal study, divided up over the 15 weeks of the semester.

There is a tutorial calendar timetable set by the teacher that can be requested by the students who want a tutorial.



In-class lectures:
In-class lectures will flexibly alternate the theoretical exposition and the presentation of worked-out examples by the teacher with problem solving periods in which the student will play the main role.

Computer-based sessions:
During the term, four computer-based sessions will take place, either in the classroom (using the students' personal laptops) or in the computer laboratory. These sessions will start with a brief theoretical introduction by the teacher, followed by a period of autonomous work by the students (with the help of the teacher) and will end with a short assessment task.

Autonomous work by the student
In addition to regular problem sheets, for each lesson the teachers will provide the students with self-evaluation exercises sheets in order to facilitate the training of the student in the main aspects of the subject. Also, some additional material (links to web sites, documents, etc.) will be made available for those students willing to deepen and broaden their knowledge.

Teachers will be available for mentoring sessions in which the students can solve the questions and difficulties that may have arisen during their autonomous work.

4.3. Syllabus




 1.- Complex numbers.
 2.- Real functions of one variable. Limits.
 3.- Continuity.
 4.- Differential Calculus.
 5.- Classical theorems.
 6.- Applications of Differentiation.
 7.- Newton's method. Interpolation.
 8.- Riemann's integral.   
 9.- The Fundamental Theorem of Calculus. Improper Integrals.
10.- Applications of Integration. Numerical quadrature.
11.- Functions of several variables: limits and continuity.
12.- Directional and partial derivatives.
13.- The Chain Rule.
14.- Tangent Planes and differentiability.
15.- Extrema. Extrema with constraints: Lagrange's multipliers.


In-class lectures' program:

Lesson 1: Sequences.
Lesson 2: Series.
Lesson 3: Functions of one and two real variables.
Lesson 4: Derivatives of functions of one real variable.
Lesson 5: Derivatives of functions of two real variables.
Lesson 6: Indefinite integrals.
Lesson 7: Definite integrals.
Lesson 8: Improper integrals.
Lesson 9: Integration of functions of two real variables.
Lesson 10: Vector calculus.

Computer-based sessions' program:

Session 1: Introduction to the mathematical software.
Session 2: Functions and functions approximation.
Session 3: Symbolic and numerical differentiation.
Session 4: Symbolic and numerical integration.


4.4. Course planning and calendar





A detailed  schedule will be published in the Moodle page of the subjet.

The dates of the final exams will be those that are officially published on the School website.



The planning of in-class and computer-based sessions will be organized according to the previously presented program. Of course, this planning is subject to modifications according to the actual calendar. In particular, the dates of examinations and the deadlines for written assignments will be announced due time in Moodle.

4.5. Bibliography and recommended resources

Students are encouraged to make use of the material that is made available at the Moodle Platform.

Curso Académico: 2018/19

30100 - Matemáticas I

Información del Plan Docente

Año académico:
30100 - Matemáticas I
Centro académico:
175 - Escuela Universitaria Politécnica de La Almunia
179 - Centro Universitario de la Defensa - Zaragoza
425 - Graduado en Ingeniería de Organización Industrial
457 - Graduado en Ingeniería de Organización Industrial
563 - Graduado en Ingeniería de Organización Industrial
Periodo de impartición:
Primer semestre
Clase de asignatura:
Formación básica

1.1. Objetivos de la asignatura

La asignatura y sus resultados previstos responden a los siguientes planteamientos y objetivos:

Los métodos matemáticos básicos forman parte de las numerosas herramientas con las que todos los profesionales de la Ingeniería y la Defensa deben contar para resolver los problemas que aparecen en su trabajo. 


Esta asignatura pertenece al módulo de formación básica y proporciona al alumno la capacidad para la resolución de los problemas matemáticos que puedan plantearse en la ingeniería. Aptitud para aplicar los conocimientos sobre: cálculo diferencial e integral; ecuaciones diferenciales y en derivadas parciales; métodos numéricos; algorítmica numérica; estadística y optimización. Esta capacidad viene cubierta por las asignaturas Matemáticas I, Matemáticas II, Matemáticas III y Estadística. Matemáticas I es una asignatura de carácter obligatorio de 6 créditos ECTS y se imparte en el primer cuatrimestre de primer curso.

1.2. Contexto y sentido de la asignatura en la titulación

La asignatura  Matemáticas I se imparte durante el primer semestre del primer curso del Grado en Ingeniería de Organización Industrial. La asignatura pretende capacitar al alumno para el seguimiento de otras asignaturas de carácter científico del plan de estudios que tienen las matemáticas como herramienta básica. Los contenidos que se tratarán en la asignatura tienen gran aplicación práctica en otras disciplinas de la titulación como la física, la estadística, el dibujo, la informática, la mecánica o la economía. El lenguaje, el pensamiento crítico y el modo de razonar que proporcionan las matemáticas, facilitará al alumno la comprensión de dichas asignaturas.

1.3. Recomendaciones para cursar la asignatura

El perfil recomendable para cursar la asignatura es poseer los conocimientos y destrezas adquiridos en las asignaturas Matemáticas I y II de Bachillerato, preferiblemente de orientación científico-tecnológica.

Para seguir de un modo correcto esta asignatura es además necesario tener una buena disposición para realizar un trabajo y esfuerzo continuado desde el inicio del curso. Se requiere por tanto un trabajo diario de la asignatura para poder seguir sin problema las clases. Es aconsejable que el alumno resuelva sus dudas a medida que vayan surgiendo, tanto en el aula como haciendo uso de las tutorías y medios que el profesor pone a su a disposición.

2.1. Competencias

Al superar la asignatura, el estudiante será más competente para...

Resolver problemas y tomar decisiones con iniciativa, creatividad y razonamiento crítico.

Comunicar y transmitir conocimientos, habilidades y destrezas en castellano.

Aprender de forma continuada y desarrollar estrategias de aprendizaje autónomo.

Aplicar las tecnologías de la información y de las comunicaciones en la ingeniería.

Resolver los problemas matemáticos que puedan plantearse en la Ingeniería.  Aptitud para aplicar los conocimientos sobre:  Cálculo Diferencial e Integral, Métodos Numéricos y Algoritmia Numérica.

2.2. Resultados de aprendizaje

El estudiante, para superar esta asignatura, deberá demostrar los siguientes resultados...

Sabe aplicar los resultados fundamentales del Cálculo Diferencial e Integral de funciones de una y varias variables.  Es además capaz de describir los conceptos básicos como el de límite, continuidad, derivabilidad e integración, así como sus aplicaciones e interpretaciones geométricas más importantes.

Desarrolla y experimenta estrategias de resolución de problemas y distingue el método más adecuado en cada situación.

Es capaz de razonar la dificultad de resolver un problema de forma exacta y la necesidad de recurrir a la aplicación de métodos de aproximación numérica para su resolución, determinando el grado de precisión y el error cometido.

Sabe utilizar algún software matemático en sus aplicaciones al Cálculo Diferencial e Integral de funciones de una y varias variables.

Es capaz de plantear y resolver con rigor problemas de las áreas anteriores aplicados a la Ingeniería de Organización Industrial,  seleccionando de forma crítica los métodos y resultados teóricos más adecuados, y ante la complejidad de la resolución de estos problemas reales de modo analítico es capaz de resolverlos con el software matemático propuesto en el apartado 5. 

Es capaz de resolver, trabajando en equipo, los problemas del apartado 5,  ampliando la información y los métodos propuestos en el aula. Es además capaz de realizar presentaciones orales de los resultados obtenidos, usando el lenguaje matemático adecuado y los programas informáticos convenientes.

Es capaz de expresar tanto de forma oral como escrita y utilizando el lenguaje científico, los conceptos básicos de la asignatura así como el proceso de resolución de problemas.

2.3. Importancia de los resultados de aprendizaje

Los resultados de aprendizaje que se obtienen son importantes porque proporcionan a los estudiantes los conocimientos matemáticos y procedimentales que se encuentran en la base de otras asignaturas de carácter científico-tecnológico del Grado, como, por ejemplo, las asignaturas de Física, Informática, Mecánica, Estadística, Investigación Operativa, Economía, Electrónica, Resistencia de materiales… La capacidad para aplicar técnicas matemáticas a la resolución de problemas concretos de los distintos campos relacionados con la ingeniería, resulta una competencia fundamental de un ingeniero/oficial, así como la utilización de recursos ya existentes y la interpretación de los resultados obtenidos.

3.1. Tipo de pruebas y su valor sobre la nota final y criterios de evaluación para cada prueba



El estudiante deberá demostrar que ha alcanzado los resultados de aprendizaje previstos mediante las siguientes actividades de evaluación:

Pruebas escritas: A lo largo del curso se realizarán dos pruebas escritas. Versarán sobre aspectos teóricos y/o prácticos de la asignatura. Están relacionadas con los resultados de aprendizaje 1, 2, 3, 4, 5 y 7. Su peso en la nota final sera de un 80%.

Controles participativos: Para evaluar la participación de los alumnos en clase se llevarán a cabo controles periódicos en clase. Como mínimo se realizarán 4 controles que consistirán en la realización de ejercicios de tipo práctico. Los resultados de aprendizaje con los que están relacionados son el 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7. Su peso total en la nota final será del 20%.

Prueba global: Los alumnos que no hayan superado la asignatura con el sistema de calificación continuada, deberán realizar en las convocatorias oficiales una prueba escrita de carácter obligatorio equivalente a las pruebas escritas descritas anteriormente, cuyo peso en la nota final será del 100%.

Criteios de evaluación: Los criterios de evaluación son los mismos para todas las actividades de evaluación. Se evaluará:

  • el entendimiento de los conceptos matemáticos usados para resolver los problemas;
  • el uso de estrategias y procedimientos eficientes en su resolución;
  • explicaciones claras y detalladas;
  • la ausencia de errores matemáticos en el desarrollo y las soluciones;
  • uso correcto de la terminología y notación;
  • exposición ordenada, clara y organizada.

Durante el curso se concretarán (en función del calendario real) y publicarán en la plataforma Moodle las fechas de las pruebas escritas, controles, etc. El calendario de las pruebas globales de evaluación se publica en la página web de la Escuela.




La evaluación de la asignatura se realizará mediante pruebas de los siguientes tipos:

• Pruebas Teórico-Prácticas
• Pruebas Aplicadas


Las Pruebas Teórico-Prácticas evalúan la capacidad de razonamiento matemático, desarrollo analítico y numérico en problemas de carácter teórico-práctico. Durante el cuatrimestre, y de manera coordinada con el resto de asignaturas del curso, se realizará una prueba escrita de evaluación continua correspondiente al primer bloque de la asignatura. La obtención de una nota igual o superior a 4,5 en esta prueba de evaluación continua eximirá, al alumno interesado en ello, de la repetición del primer bloque de la asignatura en la prueba final de evaluación de la primera convocatoria del curso. En tal caso, el alumno deberá presentarse y superar la parte correspondiente de los contenidos teórico-prácticos no cubiertos en la prueba de evaluación continua. Para poder superar las Pruebas Teórico-Prácticas en la primera convocatoria del curso los alumnos deberán obtener una nota igual o superior a 4,5 en cada uno de los bloques y el promedio de ellas deberá ser mayor o igual a 5. En segunda convocatoria el examen no tendrá una separación explícita entre bloques y bastará con obtener una calificación mayor o igual a 5 en el mismo.

Las Pruebas Aplicadas evalúan la capacidad de razonamiento matemático y destreza en el uso de herramientas de cálculo simbólico, numérico y gráfico en problemas de carácter aplicado. Durante el cuatrimestre se realizarán, siguiendo la presentación de contenidos de la asignatura, una serie de prácticas con ordenador. La evaluación de cada práctica se realizará mediante uno o varios de los siguientes métodos: cuestionarios escritos de carácter individual, recolección de los ficheros de trabajo desarrollados durante la sesión, y/o elaboración de un informe de prácticas. Para superar las Pruebas Aplicadas será necesario obtener una nota ponderada igual o superior a 5. La superación de estas sesiones prácticas durante el cuatrimestre eximirá, al alumno interesado en ello, de realizar una prueba de evaluación final de las Pruebas Aplicadas.

Para superar la asignatura será necesario obtener una calificación igual o superior a 5 en cada tipo de prueba, es decir, una calificación igual o superior a 5 en la nota ponderada de las Pruebas Teórico-Prácticas y una calificación mayor o igual que 5 en la nota ponderada de las Pruebas Aplicadas.

La calificación final de la asignatura se calculará ponderando las calificaciones de las Pruebas Teórico-Prácticas y Aplicadas del siguiente modo: la calificación de las Pruebas Teórico-Prácticas corresponderá como mínimo al 85% de la calificación final mientras que la calificación de las Pruebas Aplicadas no superará el 15% de la calificación final.

En los casos en los que la asignatura no se supere por no haber superado alguna de las pruebas (Teórico-Prácticas o Aplicadas), se conservará la calificación de las pruebas superadas durante el resto de convocatorias del curso académico.


4.1. Presentación metodológica general

El proceso de aprendizaje que se ha diseñado para esta asignatura se basa en lo siguiente:




La metodología que se propone trata de fomentar el trabajo continuado del estudiante y se centra en los aspectos más prácticos del cálculo diferencial e integral. Con el fin de conseguir este objetivo se fomentará  el uso de herramientas de tipo informático. Las explicaciones teóricas de los conceptos de la asignatura serán reforzadas con ejemplos o casos prácticos analizados con el ordenador. Asimismo se realizarán tutorías (presenciales, vía correo electrónico y plataforma Moodle) con el fin de reforzar los conceptos desarrollados en las clases.

En todas las aplicaciones de la informática a la materia bajo estudio se usa sólo software de libre distribución, de manera que todos los alumnos puedan acceder a él tanto dentro como fuera del centro.



  • Sesiones presenciales de clase en las que se presentan los conceptos principales de la asignatura, fomentando siempre la participación activa del alumno.
  • Sesiones de problemas en las que se alterna la presentación de ejemplos resueltos en detalle con la resolución de problemas por parte de los estudiantes.
  • Prácticas con ordenador utilizando un software adecuado.
  • Trabajo autónomo personal del alumno a lo largo del cuatrimestre.
  • Atención personalizada a los estudiantes mediante tutorías individuales o en grupo.


4.2. Actividades de aprendizaje



Clases teóricas, en las que se exponen los conceptos fundamentales que constituyen el cuerpo de conocimientos básicos que deben aprenderse para conseguir los resultados de aprendizaje. Los conceptos teóricos se complementan con ejemplos detallados que ilustran su funcionamiento dentro de un contexto concreto.

Clases prácticas, en las que se proponen problemas que deberán resolverse empleando los métodos y conceptos considerados con anterioridad. En estas clases se fomenta la discusión, la participación, la cooperación y la reflexión. El uso del paquete informático adecuado a cada situación es permanente (Maxima para cálculo simbólico, Octave para cálculo numérico), de manera que las clases de problemas son a su vez clases de prácticas con el ordenador. Así, el uso del ordenador se enfoca de forma natural como el método de cálculo más conveniente, y quedan integradas las técnicas informáticas con las técnicas abstractas.

Controles de participación, que son clases de problemas y sesiones de evaluación a la vez. Mientras los alumnos resuelven un problema propuesto, se puede evaluar su implicación y colaboración además del resultado que obtienen. Esto sirve como motivación para que trabajen el problema de forma colectiva y con el profesor, facilitando la asimilación de conceptos que se persigue.

Trabajo personal, en el que los alumnos dedican tiempo fuera de clase para estudiar los conceptos impartidos en clase, resolver problemas análogos y/o complementarios a los considerados en clase.



Sesiones de clase:
En las sesiones de clase se alternarán de forma flexible las exposiciones teóricas por parte del profesor con la presentación de ejemplos y la resolución de problemas por parte del alumno.

Sesiones de prácticas por ordenador:
Durante el cuatrimestre se llevarán a cabo hasta cuatro prácticas con ordenador, bien en el aula (haciendo uso de los portátiles de los alumnos) o bien en el aula de informática. Las prácticas comenzarán con una breve introducción teórica por parte del profesor, seguidas de un periodo de trabajo autónomo de los alumnos (ayudados por el profesor) y podrán concluir con una pequeña tarea de evaluación.

Trabajo autónomo del alumno:
Además de las hojas de problemas habituales, en cada tema los profesores proporcionarán a los alumnos hojas con ejercicios de autoevaluación para facilitar que el alumno se ejercite en los aspectos principales de la asignatura. Además, también se facilitará material adicional (enlaces a páginas web, documentos, etc.) para aquellos alumnos que deseen profundizar y ampliar sus conocimientos.

Los profesores estarán disponibles para sesiones de tutoría en las que los alumnos podrán resolver las dudas y dificultades surgidas durante su trabajo autónomo.

4.3. Programa

El programa que se ofrece al estudiante para ayudarle a lograr los resultados previstos comprende los siguientes contenidos




  1. Números complejos.
  2. Función real de variable real. Límites, indeterminaciones y equivalencias.  
  3. Continuidad, discontinuidades. Teoremas clásicos. Método de la bisección.
  4. Derivada y recta tangente. Propiedades de la derivada. Regla de la cadena. Derivación de la función inversa, implícita y paramétrica.
  5. Teoremas clásicos: Rolle, valor medio, L'Hopital,... Desarrollos limitados de Taylor.
  6. Aplicaciones: Monotonía, extremos, concavidad y convexidad.
  7. Métodos de la tangente y la secante. Interpolación.
  8. Integral de Riemann. Propiedades básicas de la integral de Riemann.  
  9. Teoremas fundamentales del cálculo. Integrales impropias.
  10. Aplicaciones de la integral. Métodos de cuadratura numérica.
  11. Funciones de varias variables: límites y continuidad.
  12. Derivadas direccionales y parciales.
  13. La regla de la cadena.
  14. Diferenciabilidad y plano tangente.
  15. Extremos y extremos condicionados: el método de los multiplicadores de Lagrange.



Programa de clases teórico-prácticas:

Tema 1: Sucesiones
Tema 2: Series
Tema 3: Funciones reales de una y dos variables reales
Tema 4: Derivación de funciones de una variable
Tema 5: Derivación de funciones de dos variables
Tema 6: Integral indefinida
Tema 7: Integral definida
Tema 8: Integral impropia
Tema 9: Integración de funciones de dos variables
Tema 10: Cálculo vectorial

Programa de clases aplicadas (prácticas con ordenador):

Práctica 1: Introducción al software matemático
Práctica 2: Funciones y aproximación de funciones
Práctica 3: Derivación simbólica y numérica y sus aplicaciones
Práctica 4: Integración simbólica y numérica y sus aplicaciones

4.4. Planificación de las actividades de aprendizaje y calendario de fechas clave




La asignatura se articula con 4 horas de clase presencial a la semana durante las 15 semanas que dura el semestre. Cada uno de los 15 puntos  del programa (citados anteriormente) se corresponden aproximadamente con la materia desarrollada en una semana.

Un calendario detallado de actividades está a disposición del alumno a través de la página Moodle de la asignatura.


La distribución aproximada por semanas de los contenidos tiene el siguiente esquema: 
\item Funciones reales de variable real; límites.
\item Continuidad de funciones; teoremas clásicos.
\item El concepto de derivada. Recta tangente. La regla de la cadena.
\item Teoremas clásicos sobre derivación. Desarrollos limitados de Taylor. Aplicaciones de la derivación. 
\item Interpolación.
\item Cálculo de primitivas.
\item Integral de Riemann. Teoremas fundamentales del cálculo. Integrales impropias.
\item Aplicaciones de la integral. Cuadratura numérica. 
\item Funciones de varias variables: límites y continuidad.
\item Derivadas direccionales y parciales; la regla de la cadena.
\item Diferenciabilidad y plano tangente.
\item Extremos y extremos condicionados: el método de los multiplicadores de Lagrange. 
\item El concepto de integral doble. Integrales iteradas sobre rectángulos.
\item Integrales dobles sobre recintos más generales. Cambios de variable.
\item Integrales triples.
Durante el curso se concretarán (en función del calendario real) y publicarán en la plataforma Moodle las fechas concretas de las pruebas escritas, entrega de trabajos, etc.


La planificación de clases teóricas y de sesiones de prácticas por ordenador se llevará a cabo en base al programa presentado anteriormente. Por supuesto, esta planificación está sujeta a modificaciones de acuerdo con el calendario concreto final. En particular, las fechas de exámenes y los plazos de entrega de los trabajos se anunciarán en su momento a través de Moodle.

 Consultar las páginas web de los centros para obtener información acerca de:
  • Calendario académico (periodo de clases y periodos no lectivos, festividades, periodo de exámenes).
  • Horarios y aulas.
  • Fechas en las que tendrán lugar los exámenes de las convocatorias oficiales de la asignatura.

Además el profesor informará con la suficiente antelación de las fechas de realización de las distintas pruebas asociadas al sistema de evaluación continua. Estas fechas se fijarán con antelación por el profesor, y pueden modificarse con previo aviso si el desarrollo del calendario así lo exige.

4.5. Bibliografía y recursos recomendados

Se recomienda la el uso de los recursos docentes que a tal fin se disponen en la Plataforma Moodle.