## 27041 - Differentiable Manifolds

### Teaching Plan Information

2018/19
Subject:
27041 - Differentiable Manifolds
Faculty / School:
Degree:
453 - Degree in Mathematics
ECTS:
6.0
Year:
4
Semester:
First semester
Subject Type:
Optional
Module:
---

### 4.1. Methodological overview

The methodology followed in this course is oriented towards the achievement of the learning objectives. A wide range of teaching and learning tasks are implemented, such as lectures, problem-solving sessions, tutorials and autonomous work and study.

This course is organized as follows:

• Lectures. At the end of each chapter there will be an exercise to prove the  understanding of the contents and guarantee the learning process.
• Problem-solving sessions in small groups
• Tutorials. Teachers will attend students during office hours.
• Autonomous work and study.

### 4.3. Syllabus

This course will address the following topics:

• Topic 1. Differentiable manifolds.
• Topic 2. The topology of a manifold . Partitions of the unity.
• Topic 3. Differentiation on a manifold
• Topic 4. Submanifolds
• Topic 5. Quotient manifolds
• Topic 6. Vector fields
• Topic 7. Embedding theorems.
• Topic 8. Transversality.

### 4.4. Course planning and calendar

The same will be done with the date, place and time of the final exam. Further information concerning the timetable, classroom, office hours, assessment dates and other details regarding this course will be provided on the first day of class or please refer to the Faculty of Sciences website and Moodle.

### 4.5. Bibliography and recommended resources

• Auslander,L - Mackenzie, R.E. Introduction to Differentiable Manifolds. Mc.Graw-Hill. 1963.
• Boothby,W.M. An introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry . Ac. Press. 1975.
• Brickell,F.-Clark,R.S. . Differentiable Manifolds . Van Nostrand, 1970.
• Burns, K – Gidea ,M . Differentiable Geometry and Topology. Chapman & Hall /CRC. 2005
• Conlon,L. Differentiable Manifolds. A First Course. Birkhäuser , 1993
• Gamboa J.M. - Ruiz J.M.  Iniciación al estudio de las Variedades Diferenciables. Sanz y Torres 2016
• Lee , J.M. Introduction to smooth manifolds. Springer-Verlag 2002.
• Outerelo, E. - Ruiz, J.M - Rojo J.A. Topología Diferencial. Sanz y Torres 2014.

### Información del Plan Docente

2018/19
Asignatura:
Titulación:
Créditos:
6.0
Curso:
4
Periodo de impartición:
Primer semestre
Clase de asignatura:
Optativa
Módulo:
---

### 1.1. Objetivos de la asignatura

#### La asignatura y sus resultados previstos responden a los siguientes planteamientos y objetivos:

Se trata de una asignatura optativa desarrollada en el primer semestre con 6 ECTS.

### 1.2. Contexto y sentido de la asignatura en la titulación

Asignatura situada dentro del módulo “Ampliación de Geometría y Topología”.

Como asignatura con ramificaciones en casi todos los campos de la Matemática, se recomienda tener superadas la asignaturas de Algebra lineal, Análisis Matemático I y II y aquellas del módulo Fundamentos de Geometría y Topología.

### 1.3. Recomendaciones para cursar la asignatura

Se recomienda haber adquirido las competencias del módulo Fundamentos de Geometría y Topología. (Topología general y Geometría de curvas y superficies)

### 2.1. Competencias

#### Al superar la asignatura, el estudiante será más competente para...

Desenvolverse en el manejo de los objetivos descritos en el punto 2 anterior.

CG3. Tener la capacidad de reunir e interpretar datos relevantes, particularmente en el área de las Matemáticas, para emitir juicios, usando la capacidad de análisis y abstracción, que incluyan una reflexión sobre temas relevantes de índole social, científica o ética.

CG5: Haber desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores en Matemáticas con un alto grado de autonomía.

CT1. Saber expresar con claridad, tanto por escrito como de forma oral, razonamientos, problemas, informes, etc.

CE2. Proponer, analizar, validar e interpretar modelos de situaciones reales sencillas, utilizando las herramientas matemáticas más adecuadas a los fines que se persigan.

#### El estudiante, para superar esta asignatura, deberá demostrar los siguientes resultados...

Ser capaz de realizar cálculos en coordenadas.

### 2.3. Importancia de los resultados de aprendizaje

Proporcionan una formación de carácter básico dentro del Grado.

Los conceptos que aquí se estudian aparecen en diversas ramas : Geometría, Astronomía, Mecánica, Topología,...

### 3.1. Tipo de pruebas y su valor sobre la nota final y criterios de evaluación para cada prueba

#### El estudiante deberá demostrar que ha alcanzado los resultados de aprendizaje previstos mediante las siguientes actividades de evaluacion

Al finalizar cada uno de los temas  se realizará un ejercicio escrito de problemas y cuestiones sobre el tema tratado. Dichos ejercicios junto con la participacion oral en las clases y trabajos de complementación de los temas que se propondran a lo largo del curso (se presentarán en Latex), servirán para la calificación del seguimiento del curso, (NC).

Dicha calificación supondrá el 70% de la nota final. El 30 % restante provendrá del examen final, (EF), realizado al finalizar el periodo lectivo de la asignatura.

Sin menoscabo del derecho que, según la normativa vigente, asiste al estudiante para presentarse y, en su caso, superar la asignatura mediante la realización de una prueba global, que será el examen final anunciado antes.

Con lo cual la calificación final será el máximo entre (EF) y 0,7(NC) + 0,3(EF).

### 4.1. Presentación metodológica general

#### El proceso de aprendizaje que se ha diseñado para esta asignatura se basa en lo siguiente:

Se realizarán clases teóricas de cada tema y al finalizarlo se haran clases de problemas de dicho tema con participación oral de los estudiantes.

También se realizará un ejercicio escrito al final de cada tema con algún problema y cuestiones teórico-prácticas.

Al final de curso se realizará un examen final de la asignatura completa.

Los enunciados de las hojas de problemas, ejercicios y cuestiones así como  material específico para cada tema se colgará en el ADD con la suficiente antelación.

### 4.3. Programa

PROGRAMA :
Espacio tangente. Diferenciación sobre una variedad.
Inmersiones y submersiones
Teoremas de encaje.
Campos vectoriales

### 4.4. Planificación de las actividades de aprendizaje y calendario de fechas clave

#### Calendario de sesiones presenciales y presentación de trabajos

Se dará en clase o se colgará en el ADD.

Las fechas de los ejercicios de final de cada tema se anunciarán en clase con la debida antelación.

Se realizará una prueba escrita al final de cada tema y otra al final del curso, en fechas acordes con el periodo habilitado para exámenes dentro del calendario académico de la Facultad.

### 4.5. Bibliografía y recursos recomendados

Auslander,L - Mackenzie, R.E. Introduction to Differentiable Manifolds. Mc.Graw-Hill. 1963.
Boothby,W.M. An introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry . Ac. Press. 1975.
Brickell,F.-Clark,R.S. . Differentiable Manifolds . Van Nostrand, 1970.
Burns, K – Gidea ,M . Differentiable Geometry and Topology. Chapman & Hall /CRC. 2005
Conlon,L. Differentiable Manifolds. A First Course. Birkhäuser , 1993

Gamboa J.M. - Ruiz J.M.  Iniciación al estudio de las Variedades Diferenciables. Sanz y Torres 2016

Lee , J.M. Introduction to smooth manifolds. Springer-Verlag 2002.

Outerelo, E. - Ruiz, J.M - Rojo J.A. Topología Diferencial. Sanz y Torres 2014.