## 27011 - Algebraic Structures

### Syllabus Information

2018/19
Subject:
27011 - Algebraic Structures
Faculty / School:
Degree:
453 - Degree in Mathematics
ECTS:
6.0
Year:
2
Semester:
Second semester
Subject Type:
Compulsory
Module:
---

### 1.1. Aims of the course

#### The goal of this course is to introduce the students to abstract algebra.

This will be done starting with the algebraic structures of commutative rings, extending their more concrete. knowledge of integers and polynomials.

### 1.2. Context and importance of this course in the degree

The student should have passed the courses "Números y conjuntos" and "Álgebra lineal" before enrolling in this course, as this is strongly based on them. The course is a step further in the abstraction process, which is part of the realm of Mathematics.

### 1.3. Recommendations to take this course

This course assumes an interactive approach in its structure and in its presentation, which requires engaged participation from all members of the class. The student's presence is essential to the liveliness of this course and concomitantly to their individual success in it. Therefore, regular attendance is expected.

Students should work on the exercises and problems sheets regularly, should study on a continuous basis and should make use of the office hours (their schedule will be communicated at the beginning of the course).

### 2.1. Competences

#### Being succesful in this course should mean that the student is competent to

• Reason in an abstract way.
• Recognize algebraic structures and be able to delve into their behavior.
• Be able to write and communicate abstract concepts of Mathematics.
• Be able to learn by oneself, and to look for information through different media.
• All the bla, bla, bla, one may think of.

### 2.2. Learning goals

The student, in order to pass this course, should show proficiency in the following aspects:

• Be familiar with quotient structures.
• Operations in abelian groups.
• Operations in commutative rings, with special emphasis on the rings of integeres and of polynomials.
• Construction of new rings from known ones and checking the properties that are inherited.
• Factorization as a product of irreducible elements.
• Manipulate algebraic expressions with algebraic elements.
• Work on finite fields.

### 2.3. Importance of learning goals

Being able to do abstract and logical reasoning is an essential part of Mathematics.

### 3.1. Assessment tasks (description of tasks, marking system and assessment criteria)

#### There will be a final exam which will amount for the remaining 90% of the final grade.

The student has the right to base his/her final graded on just a global exam.

### 4.1. Methodological overview

The methodology followed in this course is oriented towards the achievement of the learning objectives. A wide range of teaching and learning tasks are implemented, such as lectures, problem-solving sessions, tutorials and autonomous work and study.

This course is organized as follows:

• Lectures.
• Problem-solving sessions. Interactive classes for exercises and problems.
• Autonomous work and study. Use of the Moodle
• Tutorials. Professor will attend students during office hours, which is highly recommended.

### 4.3. Syllabus

This course will address the following topics:

• Topic 1. Integers.
• Division
• Congruences
• Topic 2. Rings
• Definitions and examples
• Homomorphisms and ideals
• Field of fractions
• Divisibility
• Matrices over a principal ideal domain
• Appendix: The Axiom of Choice and Zorn's Lemma
• Topic 3. Modules
• Definition and examples
• Direct sums. Free modules
• Finitely generated modules over PIDs
• Topic 4. Polynomials
• Irreducibility
• Roots
• Resultant and discriminant
• The Fundamental Theorem of Algebra
• Topic 5. Fields
• Algebraic extensions
• Quadratic, cubic and quartic equations
• Ruler and compass constructions
• Appendix: pi is transcendental

### 4.4. Course planning and calendar

There will be four one-hour classes each week of the corresponding semester.

Further information concerning the timetable, classroom, office hours, assessment dates and other details regarding this course will be provided on the first day of class or please refer to the Faculty of Sciences website and Moodle.

### 4.5. Bibliography and recommended resources

• Beachy, J.A.: Abstract Algebra on line. http://www.math.niu.edu/˜beachy/aaol
• Dorronsoro, José. Números, grupos y anillos / José Dorronsoro, Eugenio Hernández . - [1ª ed.], 2a reimp. Harlow [etc.] : Addison-Wesley ; Madrid: Universidad Autónoma de Madrid, 1999
• Dummit, David Steven. Abstract algebra / David S. Dummit, Richard M. Foote . - 2nd ed. Upper Saddle River,N.J. : Prentice Hall, cop.1999
• Herstein, I. N.. Álgebra abstracta / I. N. Herstein. - México : Grupo Editorial Iberoamericano, 1988
• Kostrikin, A.I.. Introducción al álgebra / A.I. Kostrikin ; traducido del ruso por Roberto Anibal Sala . - 2a ed. amp. y rev. Moscú : Mir, 1983
• Xambó-Descamps, Sebastián. Introducción al algebra. Vol. 1 / Sebastián Xambó, Félix Delgado, Concha Fuertes . Madrid : Editorial Complutense, D.L. 1993

In the "Anillo Digital Docente" there will be material available to the students, like course notes, exercises sheets, samples of previous years exams, more references, ....

## 27011 - Estructuras algebraicas

### Información del Plan Docente

2018/19
Asignatura:
27011 - Estructuras algebraicas
Titulación:
Créditos:
6.0
Curso:
2
Periodo de impartición:
Segundo semestre
Clase de asignatura:
Obligatoria
Módulo:
---

### 1.1. Objetivos de la asignatura

#### La asignatura y sus resultados previstos responden a los siguientes planteamientos y objetivos:

Se trata de una asignatura de formación obligatoria dentro del Grado.

### 1.2. Contexto y sentido de la asignatura en la titulación

Se recomienda no matricularse en esta asignatura hasta haber aprobado las asignaturas: Numeros y conjuntos y Álgebra Lineal de primer curso.

### 1.3. Recomendaciones para cursar la asignatura

Asistencia a clase, trabajar los ejercicios y problemas propuestos, estudiar la teoría de forma continuada, usar horas de tutoría (cuyo horario se comunica a principio de curso).

### 2.1. Competencias

#### Al superar la asignatura, el estudiante será más competente para...

Desenvolverse en el manejo de los objetivos descritos y..

CG1 Poseer y comprender conocimientos en el área de las Matemáticas a un nivel, que partiendo de la formación adquirida en la educación secundaria general, se apoya en textos avanzados e incluye algunos aspectos que implican conocimientos procedentes de la vanguardia en el estudio de las Matemáticas.

CG2. Saber aplicar los conocimientos matemáticos a su trabajo de una forma profesional y poseer las competencias que se demuestran mediante la resolución de problemas en el área de las Matemáticas y de sus aplicaciones.

CG3. Tener la capacidad de reunir e interpretar datos relevantes, particularmente en el área de las Matemáticas, para emitir juicios, usando la capacidad de análisis y abstracción, que incluyan una reflexión sobre temas relevantes de índole social, científica o ética.

CG4. Poder comunicar, de forma oral y escrita, información, ideas, problemas y soluciones del ámbito matemático a un público tanto especializado como no especializado.

CG5: Haber desarrollado aquellas habilidades de aprendizaje necesarias para emprender estudios posteriores en Matemáticas con un alto grado de autonomía.

CT1. Saber expresar con claridad, tanto por escrito como de forma oral, razonamientos, problemas, informes, etc.

CT2. Aprender nuevos conocimientos y técnicas de forma autónoma.

CT3. Distinguir ante un problema lo que es sustancial de lo que es accesorio, formular conjeturas y razonar para confirmarlas o refutarlas, identificar errores en razonamientos incorrectos, etc.

CT5. Saber obtener información efectiva mediante recursos bibliográficos e informáticos.

CE1. Comprender y utilizar el lenguaje y método matemáticos. Conocer demostraciones rigurosas de los teoremas básicos de las distintas ramas de la Matemática.

CE3. Resolver problemas matemáticos mediante habilidades de cálculo básico y otras técnicas

#### El estudiante, para superar esta asignatura, deberá demostrar los siguientes resultados...

Familiarizarse con las estructuras cociente

Operar en grupos abelianos

Operar en anillos (preferentemente de números y polinomios).

Construir anillos a partir de otros conocidos y estudiar las propiedades heredadas

Factorizar como producto de irreducibles

Manipular expresiones que involucren elementos algebraicos

Operar en cuerpos finitos

### 2.3. Importancia de los resultados de aprendizaje

Proporcionan una formación básica dentro del Grado. (Ver Contexto y sentido de la asignatura en la titulación)

### 3.1. Tipo de pruebas y su valor sobre la nota final y criterios de evaluación para cada prueba

#### El estudiante deberá demostrar que ha alcanzado los resultados de aprendizaje previstos mediante las siguientes actividades de evaluacion

El 10% de la nota se obtendrá mediante evaluación a lo largo del curso. Esta consistirá en la resolución de ejercicios, cuestiones y problemas de la asignatura durante el periodo que se imparta la asignatura. Habrá un examen final en la primera convocatoria.

Sin menoscabo del derecho que, según la normativa vigente, asiste al estudiante para presentarse y, en su caso, superar la asignatura mediante la realización de una prueba global.

### 4.1. Presentación metodológica general

#### El proceso de aprendizaje que se ha diseñado para esta asignatura se basa en lo siguiente:

Clases de teoría, clases de problemas, clases prácticas tutelando el trabajo de los estudiantes, tutorías individuales. Trabajo personal del estudiante. Uso del add, y/o moodle

#### Las actividades de aprendizaje para esta asignatura son las siguientes:

Clases de teoría en forma de exposiciones.
Clases de problemas participativas.
Apoyo a la formación mediante documentos y enlaces  en la página de la asignatura en el ADD de la universidad, moodle.unizar.es  (acceso restringido  a los alumnos matriculados con el NIP y la contraseña suministrada por la Universidad)

### 4.3. Programa

• Anillos, ideales, homomorfismos de anillos.
• Anillos de polinomios.
• Cuerpos. El cuerpo de cocientes de un dominio de integridad.
• Dominios euclídeos, principales y factoriales.
• Grupos abelianos.
• Extensiones de cuerpos.
• Cuerpos finitos.
• Construcciones con regla y compás.

### 4.4. Planificación de las actividades de aprendizaje y calendario de fechas clave

#### Calendario de sesiones presenciales y presentación de trabajos

Ver el calendario académico de la Universidad de Zaragoza y los horarios establecidos por la Facultad de Ciencias y se comunicará al inicio del curso. Son 4 horas semanales.

Prueba al final del curso en las convocatorias oficiales, en las fechas que la Facultad de Ciencias hace públicas antes de iniciarse el curso.

### 4.5. Bibliografía y recursos recomendados

• Beachy, J.A.: Abstract Algebra on line. http://www.math.niu.edu/˜beachy/aaol
• Dorronsoro, José. Números, grupos y anillos / José Dorronsoro, Eugenio Hernández . - [1ª ed.], 2a reimp. Harlow [etc.] : Addison-Wesley ; Madrid: Universidad Autónoma de Madrid, 1999
• Dummit, David Steven. Abstract algebra / David S. Dummit, Richard M. Foote . - 2nd ed. Upper Saddle River,N.J. : Prentice Hall, cop.1999
• Herstein, I. N.. Álgebra abstracta / I. N. Herstein. - México : Grupo Editorial Iberoamericano, 1988
• Kostrikin, A.I.. Introducción al álgebra / A.I. Kostrikin ; traducido del ruso por Roberto Anibal Sala . - 2a ed. amp. y rev. Moscú : Mir, 1983
• Xambó-Descamps, Sebastián. Introducción al algebra. Vol. 1 / Sebastián Xambó, Félix Delgado, Concha Fuertes . Madrid : Editorial Complutense, D.L. 1993