## 27010 - Linear Geometry

### Syllabus Information

2018/19
Subject:
27010 - Linear Geometry
Faculty / School:
Degree:
453 - Degree in Mathematics
ECTS:
6.0
Year:
2
Semester:
First semester
Subject Type:
Compulsory
Module:
---

### 1.1. Aims of the course

This subject and its syllabus have the following goals:

Basic notions and results of a geometric nature are introduced using the previously acquired knowledge of linear algebra.
The fundamental concepts of affine and Euclidean geometry are introduced, with a special focus on the plane and space.
This will be especially useful in order to recognize geometric objects and their properties in other areas of Mathematics and Sciences, as well as in various areas of everyday life, art, architecture, etc.

### 1.2. Context and importance of this course in the degree

This subject belongs in the Linear Algebra section. This class will provide the student a geometrical interpretation of the abstract concepts from Linear Algebra. This will be useful in a variety of other subjects throughout the Degree.

### 1.3. Recommendations to take this course

It is recommended to have completed the Algebra Lineal (27000) course.

The student is encouraged to attend and actively participate in the lectures, problem sessions, and labs, as well as to complete the individual and group work load. The use of office hours is also highly recommended. Their schedule will be announced at the beginning of the course.

### 2.1. Competences

Upon succesfully completion of this subject the student will improve the following abilities...

Carry out the goals described in section 2.1

CT1. Be able to clearly state, both orally and in writing, the student's reasoning, problem solving techniques, reports, etc.

CT3. Differentiate between essential and non-essential aspects of a problem, state conjectures and be able to provide reasons to either prove or refute them, identify errors or gaps in incorrect argumentations, etc.

### 2.2. Learning goals

In order to pass this class, the student should be able to show the following skills...

Operate with points, vectors, distances, and angles both in affine and Euclidean spaces, as well as the corresponding reference systems, subspaces, and their transformations.

Know how to solve geometrical problems on the plane and space.

Classify plane and space isometries determining their type and characteristic elements.

Classify conics and quadrics and determine their intrinsic elements.

### 2.3. Importance of learning goals

The learning objectives provide basic skills within the Degree. (See Context and reasons behind the subject area in the Degree).

The fundamental concepts of affine and Euclidean geometry are introduced, with a special focus on the plane and space.

### 3.1. Assessment tasks (description of tasks, marking system and assessment criteria)

The student must demonstrate that they have achived the learning objectives by means of the following evaluation activities:
Evaluation throughout the course (10%): classwork and lab exercises (2%) and evaluation of individual and group projects (8%).
Final exam (90%).

In addition, according to current bylaws, a student also has the right to show up to a final exam and complete the class upon passing the test.

### 4.1. Methodological overview

The methodology followed in this course is oriented towards the achievement of the learning objectives. A wide range of teaching and learning tasks are implemented, such as lectures, problem-solving sessions, laboratory sessions, tutorials and autonomous work and study.

This course is organized as follows:

• Lectures. Three weekly hours. Notes, solutions to problems, and other forums are available for students to interact with their instructors in Moodle.
• Problem-solving sessions. One weekly hour in small groups. Students are afforded the opportunity to submit individual homework assignments on a weekly basis. These assignments are checked by the instructor and returned on a regular basis. This process allows students to pinpoint strengths/weaknesses and helps their learning process.
• Laboratory sessions. Involving the use of computers. SageMath will be used (https://sage-mtm.unizar.es/)
• Tutorials. Students will be attended by the teacher at office hours.
• Autonomous work and study.
• Final exam.

### 4.3. Syllabus

This course will address the following topics:

• Topic 1: Affine Spaces. Definition of affine spaces. Examples. First properties. Linear varieties and affine subspaces. Relative position of affine subspaces. New affine spaces from old. Grassmann formulas. Affine references and coordinates. Barycenter. Simple ratio. Thales, Ceva, and Menelao Theorems. Exercises.
• Topic 2: Affine Morphisms. Definition of affine morphisms. Properties of affine morphisms. Examples. Homologies on the plane. Affine morphisms in coordinates. Invariant affine subspaces. Exercises.
• Topic 3: Euclidean Affine Spaces and Motions. Euclidean affine space. Pythagorean Theorem. Distance between linear varieties. Definition of Euclidean motions. Examples. Gliding vector. Classification of Euclidean motions. Motions on the plane and three-dimensional space. Geometric interpretation. Exercises.
• Topic 4: Quadrics and Affine Classification. Equivalent quadratic polynomials. Invariants and classification theorems. Affine classification of conics. Three dimensional quadrics. Quadrics with center. Exercises.

### 4.4. Course planning and calendar

Further information concerning the timetable, classroom, office hours, assessment dates and other details regarding this course will be provided on the first day of class or please refer to the Faculty of Sciences website (http://ciencias.unizar.es/) and Moodle.

### 4.5. Bibliography and recommended resources

Basic reference:

• A. Reventós, Affine maps, Euclidean motions and quadrics, Springer 2011.

Complementary references:

• Manuel Castellet, Irene Llerena. Algebra lineal y geometría. Reverté, D.L. 2000
• Luis M. Merino González, Evangelina Santos Aláez. Álgebra lineal: con métodos elementales. Los autores, D.L. 1999

## 27010 - Geometría lineal

### Información del Plan Docente

2018/19
Asignatura:
27010 - Geometría lineal
Titulación:
Créditos:
6.0
Curso:
2
Periodo de impartición:
Primer semestre
Clase de asignatura:
Obligatoria
Módulo:
---

### 1.1. Objetivos de la asignatura

#### La asignatura y sus resultados previstos responden a los siguientes planteamientos y objetivos:

Esta asignatura constituye una primera toma de contacto del estudiante con la geometría a partir de los conocimientos de álgebra lineal previamente adquiridos. Supone una introducción a conceptos y resultados básicos de la geometría afín y la geometría Euclídea. Se presta especial atención al plano y al espacio, lo que facilita el reconocimiento de objetos y propiedades de carácter geométrico en otras ramas de las matemáticas y las ciencias, así como en algunas facetas de la vida cotidiana, el arte, la arquitectura, etc.

### 1.2. Contexto y sentido de la asignatura en la titulación

La asignatura pertenece al módulo Algebra Lineal y Geometría. La mayor parte de los restantes módulos contienen asignaturas que dependen de los conocimientos a adquirir en este módulo. Se recomienda haber aprobado la asignatura Algebra Lineal.

### 1.3. Recomendaciones para cursar la asignatura

Se recomienda haber aprobado la asignatura de primer curso Algebra Lineal.

Se recomienda la asistencia y participación activa en las clases de teoría, problemas y prácticas, el trabajo individual y en grupo de problemas propuestos, y el uso de las horas de tutoría, cuyo horario se indicará al comienzo del curso.

### 2.1. Competencias

#### Al superar la asignatura, el estudiante será más competente para...

Desenvolverse en el manejo de los objetivos descritos en el apartado de Resultados de Aprendizaje.

CT1. Saber expresar con claridad, tanto por escrito como de forma oral, razonamientos, problemas, informes, etc.

CT3. Distinguir ante un problema lo que es sustancial de lo que es accesorio, formular conjeturas y razonar para confirmarlas o refutarlas, identificar errores en razonamientos incorrectos, etc.

CE1. Comprender y utilizar el lenguaje y método matemáticos. Conocer demostraciones rigurosas de teoremas básicos de las distintas ramas de la Matemática.

CE3. Resolver problemas matemáticos mediante habilidades de cálculo básico y otras técnicas.

#### El estudiante, para superar esta asignatura, deberá demostrar los siguientes resultados...

Operar con puntos, vectores, distancias y ángulos en espacios afines y euclídeos así como los correspondientes sistemas de referencia, subespacios y transformaciones.

Saber resolver problemas geométricos del plano y del espacio.

Clasificar isometrías del plano y del espacio determinando su tipo y elementos característicos.

Clasificar cónicas y cuádricas y hallar sus elementos notables.

### 2.3. Importancia de los resultados de aprendizaje

Proporcionan una formación básica dentro del Grado (véase Contexto y sentido de la asignatura en la titulación). La asignatura supone una introducción a conceptos y resultados básicos de la geometría afín y la geometría Euclídea, prestando especial atención al plano y al espacio.

### 3.1. Tipo de pruebas y su valor sobre la nota final y criterios de evaluación para cada prueba

#### El estudiante deberá demostrar que ha alcanzado los resultados de aprendizaje previstos mediante las siguientes actividades de evaluacion

Evaluación a lo largo del curso (10%): trabajo en clase y prácticas de ordenador (2%) y evaluación de trabajos individuales y en grupo (8%).

Examen final (90%).

Sin menoscabo del derecho que, según la normativa vigente, asiste al estudiante para presentarse y, en su caso, superar la asignatura mediante la realización de una prueba global.

### 4.1. Presentación metodológica general

#### El proceso de aprendizaje que se ha diseñado para esta asignatura se basa en lo siguiente:

-Clases de teoría.

-Clases de problemas.

-Tutorías individuales.

-Estudio y trabajo personal del alumno.

- Clases de teoría en forma de exposiciones.
- Clases de problemas participativas.
- Prácticas de ordenador en grupos reducidos.

- Tutorías individuales.

- Estudio y trabajo personal del alumno.

- Apoyo a la formación mediante documentos y enlaces en la página de la asignatura en el ADD de la universidad, moodle.unizar.es (acceso restringido a los alumnos matriculados con el NIP y la contraseña suministrada por la Universidad).

- Además de las actividades de aprendizaje anteriores, los estudiantes tienen la oportunidad de entregar trabajos individuales que se proponen semanalmente. Estos trabajos son evaluados por el profesor y se devuelven al alumno explicándole los aspectos mejorables. Este proceso permite detectar debilidades, afianzar fortalezas y, en general, ayuda al estudiante en su proceso de aprendizaje a lo largo de la asignatura.

### 4.3. Programa

#### El programa que se ofrece al estudiante para ayudarle a lograr los resultados previstos comprende las siguientes actividades...

Temario de la asignatura:

Tema 1: ESPACIOS AFINES. Definición de espacio afín. Ejemplos. Primeras propiedades. Variedades lineales y subespacios afines. Posición relativa de subespacios afines. Nuevos subespacios afines a partir de otros. Fórmulas de Grassmann. Referencias afines y coordenadas. Baricentro. Razón simple. Los teoremas de Tales, Ceva y Menelao. Ejercicios.

Tema 2: APLICACIONES AFINES. Definición de aplicación afín. Propiedades de las aplicaciones afines. Ejemplos. Homologías en el plano. Aplicaciones afines en coordenadas. Subespacios afines invariantes. Ejercicios.

Tema 3: ESPACIOS AFINES EUCLIDEOS Y MOVIMIENTOS.
Espacio afín Euclídeo. Teorema de Pitágoras. Distancia entre variedades. Definición de movimiento Euclídeo. Ejemplos. Vector deslizante. Clasificación de movimientos Euclídeos. Movimientos en el plano y en el espacio. Interpretación geométrica. Ejercicios.

Tema 4: CUADRICAS Y SU CLASIFICACION AFIN.
Polinomios cuadráticos equivalentes. Invariantes y teorema de clasificación. Clasificación afín de cónicas. Cuádricas en dimensión tres. Cuádricas con centro. Ejercicios.

### 4.4. Planificación de las actividades de aprendizaje y calendario de fechas clave

#### Calendario de sesiones presenciales y presentación de trabajos

Véase el calendario académico de la Universidad de Zaragoza y los horarios publicados en la web de la Facultad de Ciencias. Con carácter general se dedicarán tres horas de teoría y una de problemas por semana. Las fechas concretas de entrega de trabajos se anunciarán en clase y en moodle, al igual que el lugar y fecha del examen final.

Habrá una prueba escrita al final del semestre en el periodo oficial de exámenes en la fecha que la Facultad hace pública antes del inicio del curso.

### 4.5. Bibliografía y recursos recomendados

La información detallada sobre las actividades de la asignatura, apuntes y problemas, estará disponible en http://moodle.unizar.es

Bibliografía principal:

• Reventós Tarrida, Agustí. Affine maps, Euclidean motions and quadrics / Agustí Reventós Tarrida London : Springer, cop. 2011

Bibliografía complementeria:

• Castellet, Manuel. Algebra lineal y geometría / Manuel Castellet, Irene Llerena ; con la colaboración de Carlos Casacuberta Barcelona [etc.] : Reverté, D.L. 2000
• Merino González, Luis M.. Álgebra lineal : con métodos elementales / Luis M. Merino González, Evangelina Santos Aláez . - [1ª ed.] [Granada] : Los autores, D.L. 1999
• Hernández Rodríguez, Eugenio. Algebra y geometría / Eugenio Hernández . - [2a ed.] Wilmington, Delaware ; Madrid : Addison-Wesley Iberoamericana : Universidad Autónoma, cop. 1994