## 27009 - Ordinary Differential Equations

### Syllabus Information

2018/19
Subject:
27009 - Ordinary Differential Equations
Faculty / School:
Degree:
453 - Degree in Mathematics
ECTS:
9.0
Year:
2
Semester:
Annual
Subject Type:
Compulsory
Module:
---

### 4.1. Methodological overview

The methodology followed in this course is oriented towards the achievement of the learning objectives. A wide range of teaching and learning tasks are implemented, such as lectures, problem-solving sessions and tutorials.

This course is organized as follows:

• Lectures. Two weekly sessions. The teacher will provide explanations about the theory and abundant examples.
• Problem-solving sessions. One weekly session. Exercises will be solved by the student and presented to the group. Students will be required to gather in groups and to study a concrete problem and prepare a written report, to be discussed in the classroom.

Tutorials. Students will be attended by the teacher at office hours.

### 4.3. Syllabus

This course will address the following topics:

Section I.- Linear systems: constant coefficients

• Topic 1. Linear differential equations with constant coefficients
• First-order homogeneous equation
• First-order nonhomogeneous equation
• Second order equations
• Topic 2. Homogeneous linear systems: obtaining solutions
• Eigenvectors and eigensolutions
• Generalized eigenvectors
• Generalized eigensolutions
• Topic 3. Exponential Matrix
• Convergence
• Exponential matrix definition and first properties
• Exponential matrix via generalized eigensolutions
• Differential of the exponential matrix
• Topic 4. Linear systems
• Solution of homogeneous system
• Solution of a nonhomogeneous system
• Higher-order differential equations
• Topic 5. Qualitative theory
• Notion of stability
• Stability and spectrum
• Phase portrait. Classification of 2-d systems.
• Topic 6. Laplace transform
• Laplace transform defined
• Calculus of Laplace transform
• Calculus of inverse Laplace transform
• Solution of initial value problems
• Stability

Section II.- Linear systems: general case

• Topic 7. Linear equations
• Homogeneous equations
• Nonhomogeneous equations
• Grönwall inequality
• Topic 8. Linear systems
• Existence and uniqueness of solutions (homogeneous system)
• Superposition principle. Resolvent matrix
• Nonhomogeneous equations
• Higher-order equations
• Stability*
• Topic 9. Periodic systems*
• Periodic solutions
• Structure of the solution
• Stability and resonance

Section III.- Nonlinear systems

• Topic 10. Autonomous equations
• Some examples and properties
• Existence and uniqueness. Asymptotes
• Qualitative analysis
• Topic 11. Nonautonomous equations
• Exact equations
• Integrating factors
• Other methods (separable, homogeneous,...)
• Topic 12. Existence and uniqueness
• Lipschitz functions
• Existence and uniqueness: Picard theorem
• Maximal solution
• Topic 13. Numerical methods
• Euler methods and Taylor method
• Convergence
• Runge-Kutta method
• Multistep methods*
• Topic 14. Regularity of the general solution
• Continuous dependence
• Smooth dependence.
• The variational equation
• Trivialization*
• Topic 15. Qualitative theory
• Autonomous systems
• Stability of equilibria: linearization method
• Stability of equilibria: Lyapunov functions
• Phase diagram

### 4.4. Course planning and calendar

Further information concerning the timetable, classroom, office hours, assessment dates and other details regarding this course will be provided on the first day of class or please refer to the Faculty of Sciences website and Moodle.

### 4.5. Bibliography and recommended resources

• Simmons, George F.. Ecuaciones diferenciales : con aplicaciones y notas históricas / George F. Simmons ; con un capítulo sobre métodos numéricos de John S. Robertson ; traducción Lorenzo Abellanas Rapun . - 2a ed. Madrid [etc.] : McGraw-Hill, D.L. 2000
• Boyce, William E.. Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera / William E. Boyce, Richard C. DiPrima ; colaboración en la traducción Hugo Villagómez Velázquez . - 4a ed. México [etc.] : Limusa, cop.1998
• Braun, Martin. Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones / M. Braun ; Traductor Ignacio Barradas Bribiesca . - [1a ed.] México : Grupo Editorial Iberoamérica, 1990
• Hirsch, Morris W.. Ecuaciones diferenciales, sistemas dinámicos y álgebra lineal / Morris W. Hirsch, Stephen Smale ; versión española, Carlos Fernández Pérez Madrid : Alianza, 1983
• Guzmán, Miguel de. Ecuaciones diferenciales ordinarias : teoría de estabilidad y control / M. de Guzmán . - [1a. ed., reimp.] Madrid : Alhambra, 1987
• Calvo Pinilla, M.. Curso de ecuaciones diferenciales ordinarias / Manuel Calvo Pinilla y Jesús Carnicer Álvarez Zaragoza : Prensas Universitarias de Zaragoza, 2010
• Zill, Dennis G.. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado / Dennis G. Zill . - 6a ed. México [etc.] : International Thomson Editores, cop. 1997
• Marcellan, Francisco. Ecuaciones diferenciales : problemas lineales y aplicaciones / Francisco Marcellan, Luis Casasus, Alejandro Zarzo . - 1ª ed. en español, [reimp.] Madrid [etc.] : McGraw-Hill, D. L. 1991

## 27009 - Ecuaciones diferenciales ordinarias

### Información del Plan Docente

2018/19
Asignatura:
27009 - Ecuaciones diferenciales ordinarias
Titulación:
Créditos:
9.0
Curso:
2
Periodo de impartición:
Anual
Clase de asignatura:
Obligatoria
Módulo:
---

### 1.1. Objetivos de la asignatura

#### La asignatura y sus resultados previstos responden a los siguientes planteamientos y objetivos:

Se trata de una asignatura obligatoria cuyo objetivo es introducir el concepto de ecuación diferencial ordinaria, dotando al alumno de los principales herramientas para el análisis y resolución de este tipo de ecuaciones. Se pondrá al alumno en contacto con problemas reales que pueden ser descritos por medio de este tipo de ecuaciones.

### 1.2. Contexto y sentido de la asignatura en la titulación

Esta asignatura está encuadrada en el módulo titulado Ecuaciones diferenciales. Es el primer contacto del alumno con el problema de la resolución de ecuaciones diferenciales. En cursos posteriores, basándose en los conceptos estudiados en este curso, se abordará el estudio de las ecuaciones en derivadas parciales y los sistemas dinámicos, así como su tratamiento por medio de métodos de aproximación numérica.

### 1.3. Recomendaciones para cursar la asignatura

Es importante la asistencia a clase y la participación activa. Se deben asimilar las explicaciones teórico-prácticas de la materia y realizar los problemas que se propongan. Es conveniente hacer uso de las horas de tutoría para resolver dudas y ampliar conocimientos. Se deben preparar con antelación las pruebas de evaluación y los exámenes obligatorios. Es necesario seguir diariamente el desarrollo de la asignatura y poder responder a cuestiones explicadas en las semanas inmediatamente anteriores.

Durante todo el curso, se utilizarán numerosos conceptos adquiridos en las asignaturas del primer curso, en particular, en Análisis Matemático I, Álgebra lineal y Números y conjuntos. En el segundo semestre se necesitarán algunos resultados del primer semestre de la asignatura Análisis Matemático II.

### 2.1. Competencias

#### Al superar la asignatura, el estudiante será más competente para...

• Resolver ecuaciones y sistemas diferenciales lineales
• Resolver ecuaciones diferenciales elementales
• Decidir sobre la existencia y/o unicidad de soluciones de problemas de valor inicial
• Extraer información cualitativa sobre las soluciones de ecuaciones diferenciales sin necesidad de resolverlas.
• Analizar la estabilidad de los puntos de equilibrio.
• Construir y analizar algunos modelos matemáticos sencillos por medio de ecuaciones diferenciales.

#### El estudiante, para superar esta asignatura, deberá demostrar los siguientes resultados...

• Sabe distinguir una ecuación diferencial de otros tipos de ecuaciones y sabe clasificarla de acuerdo a su linealidad y otras características.
• Sabe aplicar los distintos métodos de resolución a dichas ecuaciones cuando esto sea posible y sabe analizar cualitativamente la forma de las soluciones cuando no sea posible encontrar la solución.

### 2.3. Importancia de los resultados de aprendizaje

• Proporcionan una formación básica dentro del Grado (ver Contexto y sentido de la asignatura en la titulación).
• Proporcionan al alumno una visión de los aspectos matemáticos relacionados con el análisis y la resolución de problemas matemáticos que describen el comportamiento dinámico de multitud de procesos reales.

### 3.1. Tipo de pruebas y su valor sobre la nota final y criterios de evaluación para cada prueba

#### El estudiante deberá demostrar que ha alcanzado los resultados de aprendizaje previstos mediante las siguientes actividades de evaluacion

• Se evaluará el aprendizaje del alumno mediante la resolución de problemas y cuestiones teórico-prácticas propuestas por el profesor en grupos reducidos a lo largo del curso. Los resultados serán presentados y discutidos en clase. Este apartado representará un 15% de la nota.
• Se debe entregar, dentro del plazo establecido por el profesor, un informe con los resultados del trabajo en grupo. Este apartado representará un 5% de la nota.
• Se realizará una prueba escrita a mitad de semestre, sobre los contenidos teóricos de la asignatura estudiados hasta ese momento. Este apartado representará un 15% de la nota.
• Se realizará un examen parcial al finalizar cada semestre, donde se valorará el grado de conocimiento que sobre la materia tratada en clase hasta ese momento tiene el alumno. Este apartado representará un 65% de la nota (ambos parciales tendrán el mismo peso).
• Quienes no hayan superado la asignatura por el método anterior, pueden aprobar la asignatura mediante una prueba global, que se celebrará en las fechas establecidas a tal efecto por la Facultad de Ciencias. El resultado de dicha prueba supondrá el 100% de la calificación.
• Las pruebas escritas globales y las de final de semestre constarán de problemas de aplicación (60%) así como de cuestiones teórico-prácticas y temas teóricos a desarrollar (40%).

### 4.1. Presentación metodológica general

#### El proceso de aprendizaje que se ha diseñado para esta asignatura se basa en lo siguiente:

• Clases magistrales, en las que se mostrarán los aspectos esenciales de la teoría.
• Clases de problemas en grupos reducidos, en las que los alumnos resolverán ejercicios y los expondrán al resto de la clase.
• Tutorías individuales de carácter voluntario.
• Estudio y trabajo individual del alumno.

#### El programa que se ofrece al estudiante para ayudarle a lograr los resultados previstos comprende las siguientes actividades...

• Clases magistrales.
• Clases de problemas en grupos reducidos.
• Tutorías individuales.
• Estudio y trabajo individual del alumno.

### 4.3. Programa

I.- Sistemas lineales con coeficientes constantes

1.- Ecuaciones lineales

Ecuaciones de orden 1
Ecuaciones de orden 2: solución de la ecuación homogénea
Ecuaciones de orden 2: solución de la ecuación no homogénea

2.- Sistemas lineales homogéneos: obtención de soluciones

Soluciones propias
Aplicaciones

3.- Exponencial de una matriz

Convergencia de sucesiones de matrices
Exponencial de una matriz
Cálculo de la exponencial

4.- Sistemas lineales con coeficientes constantes

Solución del sistema homogéneo
Estructura de la solución
Solución del sistema no homogéneo
Ecuaciones de orden superior
Sistemas con impulsos instantáneos *

5.- Teoría cualitativa

Diagrama de fases y clasificación de los sistemas bidimensionales

Aplicación a la resolución de \textsc{edo

II.- Sistemas lineales con coeficientes variables

7.- Ecuaciones lineales
Ecuaciones con coeficientes variables

8.- Sistemas lineales

Sistemas homogéneos: existencia y unicidad de soluciones
Matriz resolvente
Solución del problema no homogéneo
Dependencia de parámetros
Ecuaciones de orden superior

9.- Sistemas lineales con coeficientes periódicos *

Soluciones periódica del sistema homogéneo
Estructura de la solución
Soluciones periódica del sistema homogéneo

III.- Sistemas no lineales

10.- Ecuaciones escalares autónomas

Análisis cualitativo

11.- Ecuaciones escalares no autónomas

Ecuaciones exactas
Factores integrantes
Otros métodos

12.- Existencia y unicidad de soluciones

Condición de Lipschitz
Existencia y unicidad: teorema de Picard

13.- Métodos numéricos para problemas de valor inicial

Métodos de Euler y de Taylor
Convergencia
Método de Runge-Kutta
Métodos multipaso *

Dependencia continua
Dependencia diferenciable
La ecuación variacional
Trivialización *

15.- Teoría cualitativa

Sistemas autónomos
Caso escalar
Estabilidad de puntos de equilibrio: método de linealización
Estabilidad de puntos de equilibrio: funciones de Lyapunov *
Diagrama de fases de un sistema en el plano

* Estos temas se estudiarán si hay tiempo y el profesor lo estima oprtuno.

### 4.4. Planificación de las actividades de aprendizaje y calendario de fechas clave

Ver el calendario académico de la Universidad de Zaragoza y los horarios establecidos por la Facultad de Ciencias.

• Resolución y discusión de ejercicios en clase. Realización de trabajos por grupos, entrega del informe y exposición.
• Realización de una prueba teórica escrita a mitad de cada semestre.
• Realización de una prueba teórico-práctica escrita al final de cada cuatrimestre, según el calendario determinado por la Facultad de Ciencias.
• Examen global de la asignatura en las convocatorias de Junio y Septiembre, en las fechas determinadas por la Facultad de Ciencias.
• Durante el curso en la web de la Facultad de Ciencias se dará más información explícita.

### 4.5. Bibliografía y recursos recomendados

• Simmons, George F.. Ecuaciones diferenciales : con aplicaciones y notas históricas / George F. Simmons ; con un capítulo sobre métodos numéricos de John S. Robertson ; traducción Lorenzo Abellanas Rapun . - 2a ed. Madrid [etc.] : McGraw-Hill, D.L. 2000
• Boyce, William E.. Ecuaciones diferenciales y problemas con valores en la frontera / William E. Boyce, Richard C. DiPrima ; colaboración en la traducción Hugo Villagómez Velázquez . - 4a ed. México [etc.] : Limusa, cop.1998
• Braun, Martin. Ecuaciones diferenciales y sus aplicaciones / M. Braun ; Traductor Ignacio Barradas Bribiesca . - [1a ed.] México : Grupo Editorial Iberoamérica, 1990
• Hirsch, Morris W.. Ecuaciones diferenciales, sistemas dinámicos y álgebra lineal / Morris W. Hirsch, Stephen Smale ; versión española, Carlos Fernández Pérez Madrid : Alianza, 1983
• Guzmán, Miguel de. Ecuaciones diferenciales ordinarias : teoría de estabilidad y control / M. de Guzmán . - [1a. ed., reimp.] Madrid : Alhambra, 1987
• Calvo Pinilla, M.. Curso de ecuaciones diferenciales ordinarias / Manuel Calvo Pinilla y Jesús Carnicer Álvarez Zaragoza : Prensas Universitarias de Zaragoza, 2010
• Zill, Dennis G.. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado / Dennis G. Zill . - 6a ed. México [etc.] : International Thomson Editores, cop. 1997
• Marcellan, Francisco. Ecuaciones diferenciales : problemas lineales y aplicaciones / Francisco Marcellan, Luis Casasus, Alejandro Zarzo . - 1ª ed. en español, [reimp.] Madrid [etc.] : McGraw-Hill, D. L. 1991