## 27004 - Numbers and Sets

### Syllabus Information

2018/19
Subject:
27004 - Numbers and Sets
Faculty / School:
Degree:
453 - Degree in Mathematics
ECTS:
6.0
Year:
1
Semester:
First semester
Subject Type:
Basic Education
Module:
---

### 4.1. Methodological overview

The methodology followed in this course is oriented towards the achievement of the learning objectives. A wide range of teaching and learning tasks are implemented, such as lectures, problem-solving sessions, tutorials and autonomous work and study.

This course is organized as follows:

• Lectures.
• Problem-solving sessions. Participatory sessions addressing issues and problems.
• Tutorials.
• Autonomous work and study.

For the online course "Information Management" a training session of 50 minutes  is expected, in order to explain to students the objectives and mechanics of operation of the virtual course in Moodle.

### 4.3. Syllabus

This course will address the following topics:

• Topic 0: Origins of number theory
• Natural numbers
• Induction principle
• Basic arithmetics
• Number theory in Antiquity
• Topic 1: Sets
• Basic Notations
• Axioms: Constructions and Operations with Sets.
• Maps and Relations.
• Axiom of Choice.
• Notions on Cardinals.
• Topic 2: Natural numbers and integers
• Peano Axioms. Natural Numbers and Set Theory.
• Operations and order relation in the set of Natural Numbers.
• Construction of The set of integers from the set of Natural Numbers.
• Euclidean algorithm, Bezout's identity and diophantine linear equations. Congruences.
• Topic 3: Fields of numbers:
• Rational Numbers (construction from Z, operations and order relation)
• Real Numbers (Approximation to their construction in Set Theory Through Dedekind's cuts).
• Complex Numbers (Operations, geometric representation).

### 4.4. Course planning and calendar

Further information concerning the timetable, classroom, office hours, assessment dates and other details regarding this course will be provided on the first day of class or please refer to the Faculty of Sciences website and Moodle.

### 4.5. Bibliography and recommended resources

• Boyer, C. Historia de las Matemáticas, Alianza Editorial, Madrid, 1986
• Dedekind, R. ¿Qué son y para qué sirven lod números. Alianza Editorial, Madrid 1998
• Ebbinghaus, H-D. et al. Numbers, Springer, New York, 1991
• Gerstein, L. J. Introduction to Mathematical Structures and Proofs, Springer, New York, 2012
• Halmos, P. R. Naive Set Theory, Van Nostrand, New York, 1960
• Kline, M. El pensamiento matemático de la antihüedad a nuestros díasvols. I and III. Alianza Editorial, Madrid, 1992
• Tattersall, J. I. Elementary Number Theory, in Nine Chapters, Cambridge Univ. Press, 1999
• Stewart, I. and Tall. D. The foundations of Mathematics, Oxford University Press, 1977

## 27004 - Números y conjuntos

### Información del Plan Docente

2018/19
Asignatura:
27004 - Números y conjuntos
Titulación:
Créditos:
6.0
Curso:
1
Periodo de impartición:
Primer semestre
Clase de asignatura:
Formación básica
Módulo:
Matemáticas

### 1.1. Objetivos de la asignatura

#### La asignatura y sus resultados previstos responden a los siguientes planteamientos y objetivos:

Se trata de una asignatura de formación básica dentro del Grado. El principal problema que tiene un estudiante al empezar sus estudios de matemáticas es la adaptación al lenguaje y métodos matemáticos. El objetivo principal de esta asignatura es conducir al estudiante a dicha adaptación.

### 1.2. Contexto y sentido de la asignatura en la titulación

Esta asignatura se encuentra dentro del módulo Estructuras Algebraicas, aunque su carácter transversal, hace que las competencias adquiridas dentro de la asignatura sean necesarias (por básicas) en el resto de los módulos del Grado.

En esta asignatura se hace hincapié en la competencia transversal “CT5. Saber obtener información efectiva mediante recursos bibliográficos e informáticos”, de utilidad en todas las asignaturas del grado.

### 1.3. Recomendaciones para cursar la asignatura

Se recomienda la asistencia a las clases teóricas y prácticas, el trabajo personal, la participación en las sesiones sobre cuestiones y problemas propuestos y el uso de las horas de tutoría.

### 2.1. Competencias

#### Al superar la asignatura, el estudiante será más competente para...

Al superar la asignatura, el estudiante será más competente para desenvolverse en el manejo de los objetivos descritos en los resultados de aprendizaje expuestos anteriormente. Además avanzará en la adquisición de las siguientes competencias:

CT1. Saber expresar con claridad, tanto por escrito como de forma oral, razonamientos, problemas, informes, etc.

CT3. Distinguir ante un problema lo que es sustancial de lo que es accesorio, formular conjeturas y razonar para confirmarlas o refutarlas, identificar errores en razonamientos incorrectos, etc.

CE1. Comprender y utilizar el lenguaje y método matemáticos. Conocer demostraciones rigurosas de los teoremas básicos de las distintas ramas de la Matemática.

CE3. Resolver problemas matemáticos mediante habilidades de cálculo básico y otras técnicas.

CT5. Saber obtener información efectiva mediante recursos bibliográficos e informáticos.

#### El estudiante, para superar esta asignatura, deberá demostrar los siguientes resultados...

• Manejar el lenguaje y las propiedades básicas de conjuntos y aplicaciones.
• Utilizar los números naturales, el principio de inducción y los argumentos combinatorios básicos
• Conocer los resultados básicos de la aritmética de los números enteros y de la aritmética modular
• Comprender la construcción basada en la teoría de conjuntos de los números racionales y reales

### 2.3. Importancia de los resultados de aprendizaje

Los resultados de aprendizaje que se obtienen en la asignatura son importantes porque proporcionan una formación de carácter básico dentro del Grado. En esta asignatura se adquieren competencias en el uso del lenguaje matemático y de los conceptos fundamentales de las matemáticas sin los cuales no es posible enfrentarse adecuadamente a los problemas matemáticos. Esta adquisición se realiza también en las asignaturas Álgebra Lineal y Análisis Matemático I.

### 3.1. Tipo de pruebas y su valor sobre la nota final y criterios de evaluación para cada prueba

#### El estudiante deberá demostrar que ha alcanzado los resultados de aprendizaje previstos mediante las siguientes actividades de evaluacion

El estudiante deberá demostrar que ha alcanzado los resultados de aprendizaje previstos mediante las siguientes actividades de evaluación:

- Evaluación durante el curso (hasta el 10%), de su participación en las cuestiones, ejercicios y problemas planteados que puede dejar de manifiesto en alguno o varios de los siguientes escenarios:

• En las sesiones que, con carácter voluntario y aparte de las tutorías, se desarrollan semanalmente. Tratando allí entre todos cualquier tema que los alumnos planteen, sus ideas y soluciones a los problemas propuestos u otros comentarios relacionados.
• En las sesiones de tutorías
• En la propia clase de la asignatura

- Examen parcial Teoría de Conjuntos (con caracter eliminatorio para el examen final) 40% de la nota de éste.

- Examen Final (al menos el 90%).

La realización del curso "Competencia Digital Básica: aprende a informarte, a crear y a comunicarte digitalmente (nivel básico)" y la obtención del apto.

Sin menoscabo del derecho que, según la normativa vigente, asiste al estudiante para presentarse y, en su caso, superar la asignatura mediante la realización de una prueba global.

### 4.1. Presentación metodológica general

#### El proceso de aprendizaje que se ha diseñado para esta asignatura se basa en lo siguiente:

• Clases teóricas: exposición de los contenidos necesarios para la adquisición de los resultados de aprendizaje.
• Clases prácticas: planteamiento de problemas relacionados con la asignatura.
• Sesiones participativas tratando cuestiones, métodos y solución de problemas.
• Curso online "Competencia Digital Básica: aprende a informarte, a crear y a comunicarte digitalmente (nivel básico)"

#### El programa que se ofrece al estudiante para ayudarle a lograr los resultados previstos comprende las siguientes actividades

Más información sobre las actividades de la asignatura, incluyendo apuntes y problemas, está accesible en:  http://moodle.unizar.es

Para el curso “Competencia Digital Básica: aprende a informarte, a crear y a comunicarte digitalmente (nivel básico)” se prevé:

Sesión presencial, de 50 minutos de duración, en la que se explica a los estudiantes los objetivos y la mecánica de funcionamiento del curso virtual en Moodle.

Trabajo autónomo del estudiante, de 8 a 10 horas aproximadamente de dedicación.

### 4.3. Programa

Capítulo 0: ORÍGENES DE LA TEORÍA DE NÚMEROS: Números Naturales y principio de inducción. Números poligonales. Aritmética en los Elementos de Euclides (Algoritmo de la División y algoritmo euclídeo, Teorema Fundamental de la Aritmética). Ternas Pitagóricas, sumas de cuadrados. Números de Fibonacci. Numeros de Lucas, de Pell y de Pell-Lucas. Ecuación de Pell.

Capítulo 1:CONJUNTOS: Notaciones básicas. Axiomas de Extensión, de Especificación de Unión de Conjunto de partes. Pares ordenados, producto cartesiano, relaciones binarias. Aplicaciones. Axioma de Elección. Relaciones de orden y conjuntos cocientes. Nociones sobre cardinales.

Capítulo 2: NÚMEROS NATURALES Y ENTEROS.

1. Números Naturales (Presentación axiomática y relación con la Teoría de Conjuntos): Axiomas de Peano, operaciones y relación de orden (principio de buena ordenación).
2. Números enteros: Construcción a partir de los números naturales. Algoritmo euclídeo (en Z)., identidad de Bezout y ecuaciones diofánticas lineales. Congruencias y operaciones con residuos.

Capítulo 3: CUERPOS DE NÚMEROS.

1. Números racionales: Construcción a partir de los números enteros. Operaciones y Relación de orden.
2. Números reales: Presentación axiomática y nociones sobre la construcción en Teoría de Conjuntos a través de las cortaduras de Dedekind. Valor absoluto. Completitud de R.
3. Números complejos: Construcción a partir de los números reales. Representación geométrica (el Plano complejo). Operaciones. Extracción de raíces, Raíces de la unidad.

### 4.4. Planificación de las actividades de aprendizaje y calendario de fechas clave

#### Calendario de sesiones presenciales y presentación de trabajos

Ver el calendario académico de la Universidad de Zaragoza y los horarios establecidos por la Facultad de Ciencias y se comunicará al inicio del curso. Son 4 horas semanales. El curso “Gestión de la Información” se llevará a cabo durante una semana a fijar en el mes de octubre.

La prueba correspondiente a la parte de Teoría de Conjuntos se realizará al finalizar ésta (en Noviembre).

Prueba al final del curso en las convocatorias oficiales, en las fechas que la Facultad de Ciencias hace públicas antes de iniciarse el curso.

### 4.5. Bibliografía y recursos recomendados

• Boyer, C. Historia de las matemáticas. Alianza Editorial, Madrid, 1986
• Dedekind, R. ¿Qué son y para qué sirven los números? Alianza Editorial, Madrid, 1998
• Ebbinghaus H-D. et al. Numbers, Springer, New York, 1991
• Gerstein, L. J. Introduction to Mathematical Structures and Proofs, Springer, New York, 2012
• Halmos, P. Naive Set Theory, Van Nostrand, New York, 1960
• Kline, M. El pensamiento matemático de la Antigüedad a nuestros días, vols. I y III. Alianza Editorial, Madrid, 1992
• Tattersall, . J. Elementary Number Theory in Nine Chapters, Cambridgwe Univ. Press, 1999
• Stewart, I.; Tall, D. "The Foundations of Mathematics". Oxford Univ. Press, 1977